高中数学北师大版本册总复习总复习 2023版第3章1正整数指数函数

§1正整数指数函数1.了解正整数指数函数模型的实际背景．2.了解正整数指数函数的概念．(重点)3.理解具体的指数函数的图像特征．(重点)4.会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理正整数指数函数的概念阅读教材P61～P63有关内容，完成下列问题．1.一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.2.正整数指数函数的图像特点前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．3.当0<a<1时，y＝ax(x∈N＋)是减函数，当a>1时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．4.指数型函数把形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正整数指数函数的定义域为N.()(2)正整数指数函数的图像是间断的．()(3)函数y＝2·3x，x∈N＋是正整数指数函数．()【答案】(1)×(2)√(3)×[小组合作型]正整数指数函数的定义(1)下列函数中是正整数指数函数的是()A．y＝10x＋1，(x∈N＋) B．y＝(－2)x，(x∈N＋)C．y＝5·2x，(x∈N＋) D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，(x∈N＋)(2)函数y＝(a2－3a＋3)ax是正整数指数函数，则a【精彩点拨】明确正整数指数函数的结构形式是求解本例的关键．【尝试解答】(1)A中y＝10x＋1的指数为x＋1，而不是x，故不是正整数指数函数；B中y＝(－2)x的底数－2<0，故不是正整数指数函数；C中y＝5·2x的系数为5，不是1，故不是正整数指数函数；D中y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x符合正整数指数函数的定义．(2)由正整数指数函数定义知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1，,a>0，a≠1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2或1，,a>0，a≠1，))∴a＝2.【答案】(1)D(2)21.正整数指数函数解析式的基本特征：ax前面的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数的位置上，底数a是大于零且不等于1的常数．2.要注意正整数指数函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)与幂函数y＝xa的区别．[再练一题]1.正整数指数函数f(x)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，则f(x)＝______. 【导学号：04100039】【解析】设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，∴a2＝eq\f(1,2)，∴a＝eq\f(\r(2),2)，∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x，x∈N＋.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x，x∈N＋正整数指数函数的图像与性质(1)画出函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性；(2)画出函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．【精彩点拨】使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．【尝试解答】(1)函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x(x∈N＋)的图像如图①所示，从图像可知，函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x(x∈N＋)是单调递减的．(2)函数y＝3x(x∈N＋)的图像如图②所示，从图像可知，函数y＝3x(x∈N＋)是单调递增的．①②1.正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．2.当0<a<1时，y＝ax(x∈N＋)是减函数；当a>1时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．[再练一题]2.若函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的定义域为{1,2,3,4,5}，则函数的值域为________．【解析】当x＝1时，f(x)＝eq\f(1,3)，当x＝2时，f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(1,9)，当x＝3时，f(3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,27)，当x＝4时，f(4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(1,81)，当x＝5时，f(5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5＝eq\f(1,243).所以函数f(x)的值域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,9)，\f(1,27)，\f(1,81)，\f(1,243))).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,9)，\f(1,27)，\f(1,81)，\f(1,243)))[探究共研型]正整数指数函数的应用探究1某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去，你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5时，得到的细胞个数吗？用图像表示呢？【提示】分裂次数(n)12345细胞个数(y)2481632探究2请你写出探究1中得到的细胞个数y与分裂次数n之间的函数关系式．【提示】细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为y＝2n，n∈N＋.雾霾对人的身体健康的危害日益严重，患呼吸道疾病的人数明显增多，据不完全统计，某地从2023年到2023年间平均每年上升2%.若按这个增长率进行研究，设从2023年开始经过x(x∈N＋)年，患呼吸道疾病的人数为y人，若2023年患病人数为11万人：(参考数据≈,≈(1)试计算出2023年患呼吸道疾病的人数；(2)写出x，y之间的关系式，并计算2023年患呼吸道疾病的人数．【精彩点拨】利用正整数指数型函数模型，列出关系式，计算．【尝试解答】(1)设2023年患病人数为a万人，则a(1＋2%)5≈11，即a×≈11.∵≈，∴a≈10(万人)，∴2023年患呼吸道疾病的人数约10万人．(2)2023年患病的人数为10(1＋20%)，2023年患病的人数为10(1＋20%)＋10(1＋2%)×2%＝10(1＋2%)2，2023年患病的人数为10(1＋20%)2＋10(1＋2%)2×2%＝10(1＋2%)3.…x年后患病的人数为10(1＋20%)x.故y＝10(1＋2%)x＝10×(x∈N＋)，在2023年，x＝8，故患病人数y≈10×＝10××≈10××＝(万人)．∴2023年患呼吸道疾病的人数约万人．1.由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．2.在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋p)x表示．[再练一题]3.日本福岛核电站爆炸中释放的碘­131不断衰变，每经过8天(周期)剩留的这种物质是原来的50%，写出这种物质的剩留量y随时间x(周期)变化的函数解析式．【解】设这种物质最初的质量是1，经过x个周期，剩留量是y.经过1个周期，剩留量y＝1×50%＝；经过2个周期，剩留量y＝(1×50%)×50%＝；…经过x个周期，剩留量y＝(x∈N＋).1.给出下列函数：①y＝πx；②y＝4－x；③y＝x3；④y＝(1－eq\r(2))x.当x∈N＋时，是正整数指数函数的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】由正整数指数函数的定义，知①y＝πx，②y＝4－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x是正整数指数函数．【答案】B2.函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x∈N＋是()A．增函数 B．减函数C．奇函数 D．偶函数【解析】正整数指数函数，不具备奇偶性，故C、D错误，因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x∈N＋的底数0<eq\f(1,2)<1，故此函数是减函数．【答案】B3.指数型函数y＝2x，x∈{1,2,3,4,5}的值域为________．【解析】当x＝1,2,3,4,5时，y＝2,4,8,16,32，故y＝2x，x∈{1,2,3,4,5}的值域为{2,4,8,16,32}．【答案】{2,4,8,16,32}4.某药品经过两次降价，每瓶的零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设为x，则求两次降价的百分率列出的方程为________．【导学号：04100040】【解析】由题意，两次降价后的药品价格满足100(1－x)2＝81.【答案】100(1－x)2＝815.由于某款手机的制作成本不断降低，若五年内每年手机价格降低原来的eq\f(1,3)，设现在的手机价格为8100元．(1)写出手机价格y随年数x的变化的关系式，并写出