高中数学人教A版3第三章统计案例 第三章残差分析

第三章统计案例回归分析的基本思想及其初步应用第2课时残差分析A级基础巩固一、选择题1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表所示：分类甲乙丙丁rm106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，所以选D正确．答案：D2．为了表示n个点与相应直线在整体上的接近程度，我们常用的表示法为()解析：由回归直线方程可知，为一个量的估计值，而yi为它的实际值，在最小二乘估计中（yi－a－bxi）2，即（yi－）2.答案：C3.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和如下表所示：分类甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁解析：根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小（对于已经获取的样本数据，R2的表达式中为确定的数，则残差平方和越小，R2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．答案：D4．通过残差图我们发现在采集样本点过程中，样本点数据不准确的是()A．第四个 B．第五个C．第六个 D．第八个解析：由题图可知，第六个的数据偏差最大，所以第六个数据不准确．答案：C5．如图所示，5个(x，y)数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误的是()A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强解析：由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．答案：B二、填空题6．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei恒为0，则R2为________．解析：由ei恒为0，知yi＝eq\o(y,\s\up12(^))i，即yi－eq\o(y,\s\up12(^))i＝0，答案：17．x，y满足如下表的关系：xy1则x，y之间符合的函数模型为________．解析：通过数据发现y的值与x的平方值比较接近，所以x，y之间的函数模型为y＝x2.答案：y＝x28．关于x与y，有如下数据：x24568y3040605070有如下的两个模型：(1)eq\o(y,\s\up12(^))＝＋；(2)eq\o(y,\s\up12(^))＝7x＋17.通过残差分析发现第(1)个线性回归模型比第(2)个拟合效果好．则Req\o\al(2,1)________Req\o\al(2,2)，Q1________Q2(用大于，小于号填空，R，Q分别是相关指数和残差平方和)．解析：根据相关指数和残差平方和的意义知Req\o\al(2,1)＞Req\o\al(2,2)，Q1＜Q2.答案：＞＜三、解答题9．在实验中得到变量y与x的数据如下表所示：x78335y由经验知，y与eq\f(1,x)之间具有线性相关关系，试求y与x之间的回归曲线方程，并预测x0＝时，y0的值．解：令u＝eq\f(1,x)，由题目所给数据可得下表所示的数据：序号uiyiueq\o\al(2,i)uiyi12255912139001230411512合计56计算得eq\o(b,\s\up12(^))＝，eq\o(a,\s\up12(^))＝.所以eq\o(y,\s\up12(^))＝＋.所以试求回归曲线方程为eq\o(y,\s\up12(^))＝＋eq\f,x).当x0＝时，y0＝＋eq\f,≈.10．关于x与y有以下数据：x24568y3040605070已知x与y线性相关，由最小二乘法得eq\o(b,\s\up12(^))＝.(1)求y与x的线性回归方程；(2)现有第二个线性模型：eq\o(y,\s\up12(^))＝7x＋17，且R2＝.若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．解：(1)依题意设y与x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up12(^))＝＋eq\o(a,\s\up12(^)).eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))＝eq\f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝50，因为eq\o(y,\s\up12(^))＝＋eq\o(a,\s\up12(^))经过(eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y)))，所以y与x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up12(^))＝＋.所以50＝×5＋eq\o(a,\s\up12(^)).所以eq\o(a,\s\up12(^))＝.(2)由(1)的线性模型得yi－yi与yi－eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))的关系如下表所示：yi－yi－－10－yi－eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))－20－1010020由于Req\o\al(2,1)＝，R2＝知Req\o\al(2,1)＞R2，所以(1)的线性模型拟合效果比较好．B级能力提升1．在研究身高和体重的关系时，得到的结论是“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多”，则求得的相关指数R2≈()A． B．C． D．解析：根据相关指数的意义知R2≈.答案：B2．若某函数型相对一组数据的残差平方和为89，其相关指数为，则总偏差平方和为________，回归平方和为________．解析：因为R2＝1－eq\f(残差平方和,总偏差平方和)，0．95＝1－eq\f(89,总偏差平方和)，所以总偏差平方和为1780；回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝1780－89＝1691.答案：178016913．某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：次数x3033353739444650成绩y3034373942464851(1)作出散点图；(2)求出回归方程；(3)作出残差图；(4)计算相关指数R2；(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．解：(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))＝,＝13180，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝－88.所以回归方程为eq\o(y,\s\up12(^))＝－88.(3)作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比