高中数学人教A版第二章数列 课后提升作业八

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课后提升作业八等差数列(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12=() 【解析】选A.因为a7+a9=2a8=16,即a8=8,又a12+a4=2a8,解得a12=15.2.已知a=13+2A.3B.2C.13D.【解析】选A.因为a+b=3-2+3+2=23,所以a+b2=3,即a,b的等差中项为3.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=() 【解析】选B.由a1故a7=a1+6d=2+6=8.4.(2023·临沂高二检测)在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1=() 【解析】选B.由题意得a解得a1=-8,d=3.5.若{an}是等差数列,下列数列中仍为等差数列的有()①{|an|};②{an+1-an};③{pan+q}(p,q为常数);④{2an+n}.个 个个 个【解析】选,1,3成等差数列,取绝对值后,1,1,3不成等差数列,①不是等差数列.若{an}是等差数列,利用等差数列的定义,{an+1-an}为常数列,故{an+1-an}为等差数列.若{an}的公差为d,则pan+q-(pan-1+q)=p(an-an-1)=pd为常数,故{pan+q}为等差数列.(2an+n)-(2an-1+n-1)=2(an-an-1)+1=2d+1,故{2an+n}为等差数列,所以②③④均成立.【补偿训练】(2023·郑州高二检测)下面数列中,是等差数列的有()①4,5,6,7,8,…②3,0,-3,0,-6,…③0,0,0,0,…④110,210,310个个个个【解析】选C.①是以4为首项,公差为1的等差数列,③是以0为首项,公差为0的等差数列,④是首项为110,公差为16.在等差数列{an}中,已知a1=13,a2+a5=4,an 【解析】选C.因为a1+d+a1+4d=4,且a1=13,所以d=23,又因为an=a1+(n-1)d=13+(n【延伸探究】本题中条件“an=33”若换为“an=31”,求此时n的值.【解析】由本题解析知an=13+(n-1)×2令an=31得2n-1=93,即n=47.7.(2023·益阳高二检测)若a1=1,an+1=an3a()A.34103 B.1100 【解析】选B.因为an+1=an3an+1,所以1an+1因为a1=1,所以数列1an是以1为首项,3为公差的等差数列,所以1an=1+3(n-1)=3n-2,所以a所以数列{an}的第34项为13×34-2=18.(2023·北京高考改编)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是()A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a2=aD.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0【解析】选C.对a1=2,a2=-1,a3=-4,选项A,B不成立.选项C,由等差中项的定义知,a2=a1+a32,故C正确.选项D,(a2-a1)(a2二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2023·菏泽高一检测)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2023,则该数列的首项为________.【解析】由题意设首项为a1,则a1+2023=2×1010=2023,所以a1=5.答案:510.(2023·开封高二检测)数列{an}满足递推关系an=3an-1+3n-1(n∈N*,n≥2),a1=5,则使数列an+m3【解析】由题意知an+m3n-an-1+m3n-1=则1+2m=0,故m=-12答案:-1三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知等差数列{an}:3,7,11,15,….(1)135,4m+19(m∈N*)是{an}中的项吗?试说明理由.(2)若ap,aq(p,q∈N*)是数列{an}中的项,则2ap+3aq是数列{an}中的项吗?并说明你的理由.【解析】a1=3,d=4,an=a1+(n-1)d=4n-1.(1)令an=4n-1=135,所以n=34,所以135是数列{an}中的第34项.令an=4n-1=4m+19,则n=m+5∈N*,所以4m+19是{an}中的第m+5项.(2)因为ap,aq是{an}中的项,所以ap=4p-1,aq=4q-1.所以2ap+3aq=2(4p-1)+3(4q-1)=8p+12q-5=4(2p+3q-1)-1,2p+3q-1∈N*,所以2ap+3aq是{an}中的第2p+3q-1项.

12.已知1a,1b,1c成等差数列,求证:b+ca【解题指南】由1a,1b,1c成等差数列得2b=1a+1c,再推证2×【证明】因为1a,1b,所以2b=1a+因为b+ca+a=c2+=2(a+c)2所以b+ca,a+c【能力挑战题】数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1.所以当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.(2)数列{an}不可能为等差数列,理由如下:由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).若存在λ,使{an}