高中数学人教A版1第三章导数及其应用

第三章3.3.一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知函数f(x)＝2x2的图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－2＝2(Δx)2＋4Δx.∴eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋4.答案：C2．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,]内相应的平均速度为()A． B．3C．4 D．解析：eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3＋－3＋22,＝eq\f,＝.答案：D3．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于()A．2 B．－2C．3 D．－3解析：∵f′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(ax＋Δx＋3－ax＋3,Δx)＝a，∴f′(1)＝a＝3.答案：C4．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的导数D．在区间[x0，x1]上的导数解析：根据平均变化率的定义可知，当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比就是函数在区间[x0，x1]上的平均变化率．答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若函数y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)等于________．解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－1－1,Δx)＝4＋2Δx.答案：4＋2Δx6．设f(x)在点x＝x0处可导，且f′(x0)＝－2，则eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(fx0－fx0－Δx,Δx)等于________．解析：eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(fx0－fx0－Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f[x0＋－Δx]－fx0,－Δx)＝f′(x0)＝－2.答案：－2三、解答题(每小题10分，共20分)7．求函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为eq\f(1,3)，哪一点附近平均变化率最大？解析：在x＝1附近的平均变化率为k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx.若Δx＝eq\f(1,3)，则k1＝2＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，k2＝4＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)，k3＝6＋eq\f(1,3)＝eq\f(19,3).由于k1<k2<k3，∴在x＝3附近的平均变化率最大．8．利用导数的定义，求出函数y＝x＋eq\f(1,x)在x＝x0处的导数，并据此求函数在x＝1处的导数．解析：y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(x0＋Δx＋\f(1,x0＋Δx)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(1,x0))),Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δx＋\f(－Δx,x0x0＋Δx),Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x0x0＋Δx)))＝1－eq\f(1,x\o\al(2,0)).从而y′|x＝1＝1－eq\f(1,12)＝0.9．(10分)一质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．解析：Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δ