无 穷 小 与 无 穷 大

无穷小与无穷大2/6/202311.定义6:极限为零的变量称为无穷小.例如:第、四节极限目录后退主页退出本节重点与难点本节目的要求本节复习指导本节引入知识2/6/202322/6/20233又如:注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.无穷小与函数极限的关系:第三、四节极限目录后退主页退出本节重点与难点本节目的要求本节复习指导本节引入知识2/6/20234推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.性质2有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小.性质3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.第三、四节极限目录后退主页退出本节重点与难点本节目的要求本节复习指导本节引入知识2/6/202352.无穷大量绝对值无限增大的变量称为无穷大.定义7:例如:第三、四节极限目录后退主页退出本节重点与难点本节目的要求本节复习指导本节引入知识2/6/20236特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.第三、四节极限目录后退主页退出本节重点与难点本节目的要求本节复习指导本节引入知识2/6/20237第三、四节极限目录后退主页退出本节重点与难点本节目的要求本节复习指导本节引入知识2/6/20238无穷小与无穷大的关系定理在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.注意:

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.第三、四节极限目录后退主页退出本节重点与难点本节目的要求本节复习指导本节引入知识2/6/20239例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限四、无穷小的比较2/6/202310定义:记作=O()或=O()2/6/202311例1解例2解2/6/202312常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,2/6/202313解2/6/202314定理(等价无穷小替换定理)证五、等价无穷小代换2/6/202315例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意2/6/202316例4解解错2/6/202317例5解例62/6/202318例7已知当x→0时，是等价无穷小，求a.2/6/2023191.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.小结2/6/202320等价无穷小替换求极限利用等价无穷小替换能较方便求出某些较复杂的极限。常用的等价无穷小（）说明：做等价替换时，只能对分子或分母进行整体代换。例十七、求极限解：因当所以上页下页2/6/202321例十八、求极限解：因为当所以例十九、求极限解：因为所以

上页下页2/6/202322提高题一、求下列极限：二、设函数问a为何值时，函数在x=0处的极限存在。上页下页2/6/202323提高题（解析）一、求下列极限：解：二、解：要使函数在x=0处极限存在，必须使

--完--上页主页2/6/202324思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？2/6/202325思考题解答不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时2/6/202326比较下列各对无穷小的阶1）x→1时与2）x→1时,与2(1-x)4）x→1时,与3）x→0时,与解1）2）与2(1-x)是同阶无穷小。2/6/2023273）是比sinxtanx低阶无穷小。又∴sinxtanx是

的2阶无穷小。2/6/2023284）是比高阶无穷小：k=2是的2阶无穷小。2/6/202329小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯