《概率》教材分析

概率教材分析人教B版选修2—3一、本章主要内容与结构1.

内容

（1）离散型随机变量及其分布列；（2）超几何分布；（3）条件概率及事件的独立性；（4）独立重复试验与二项分布；（5）随机变量的数学期望与方差；（6）正态分布。2.

结构概率是高中数学中非常重要的基础知识，也是人类必备的常识，通过学习本章知识，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并利用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察分析问题的意识，增强学生学习数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。3.本章地位和作用4.本章教学重点和难点离散型随机变量及其分布列、期望和方差；

难点

重点对期望和方差的理解和计算，体会它们在实际问题中的应用1.考试说明对《概率》部分的考点要求：二、课标要求：2.知识点细化量表（个人意见）

知识点要求2.1.1离散型随机变量随机变量、离散型随机变量C2.1.2离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列的概念、离散型随机变量的分布列分布列的性质C二点分布B2.1.3超几何分布超几何分布的概念、超几何分布的应用A2.2.1条件概率条件概率、事件的交（或积）A2.2.2事件的独立性相互独立事件、相互独立事件的概率公式B知识点要求2.2.3独立重复试验与二项分布n次独立重复试验的概念、n次独立重复试验中恰好发生k次的概率、二项分布B2.3.1离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望的概念、二点分布的期望、二项分布的期望，另：超几何分布的期望、离散型随机变量的数学期望的意义及应用B2.3.2离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差、标准差的概念、二点分布的方差、二项分布的方差，离散型随机变量的方差的意义及应用B2.3正态分布概率密度曲线、正态分布、正态曲线及性质A三、教学建议（一）整体要求：《标准》（第27页）概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。教师应通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活遇到的一些错误认识。《标准》（第62页）

学生将在必修课程学习概率的基础上，学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差等内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念，观察、分析问题的意识。解读《课标》1.通过实例，理解所有的概念，避免过分注重形式化的倾向。这部分内容的每个概念，都必须运用数学和生活中的大量详实事例引证或推理。教学中不应简单从抽象的定义出发，机械地模仿，得出概念。重点是理解“离散型随机变量及其分布列”、“均值”、“方差”、“正态分布”的概念。（1）离散型随机变量:射击问题、天气预报、抛掷骰子、抛掷一枚硬币等实例（2）独立重复试验与二项分布：姚明投篮、人寿保险、有放回的抽样、抛硬币100次等（3）…….解读《课标》2.“随机观念”贯穿于这部分内容的始终。首先要认识离散型随机变量的分布列对刻画随机现象的重要性；其次掌握超几何分布、二项分布是两个非常重要的应用广泛的概率模型。另外正态分布应用更广泛。通过这些“分布”的学习，初步学会一种方法（即利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法），形成一种意识（用随机观念观察分析问题的意识）。但“方法”和“意识”的培养，仍然离不开实例。

（二）、具体要求1.离散型随机变量及其分布列（1）《课标》要求：在对具体问题的分析中，理解取有限量的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。

解读：随机现象的两个基本特点：①结果的随机性；②频率的稳定性。了解随机现象是指：①知道这个随机现象中所有可能的结果；②知道每个结果出现的概率。（二）、具体要求(课本P70自测与评估)设随机变量X的概率分布为P（X=k）=m/k(k=1,2,3,4):（1）确定常数m的值（2）写出X的分布列（3）计算P（1<X<4)2.两个重要的离散型随机变量模型

通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。在具体情境中，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。

（1）《课标》要求：（2）解读：二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型，要求通过实例引入这两个概率模型，不追求形式化的描述。注意超几何分布的使用条件为不放回地抽取，二项分布的使用条件为n次独立重复实验相当于有放回抽取。常见的离散型随机变量的概率分布如果离散型随机变量

的概率分布为:超几何分布:则称服从超几何分布.期望:方差:

有一批产品N件，其中M件是次品.从中任意抽取n件产品进行检验，那么次品数服从超几何分布.数学模型:

注:超几何分布是产品抽样检查的高度概括.（教材P45）高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏。在一个口袋中装有10个红球，20个白球，摸到4个红球的就中一等奖，求获一等奖的概率。通过实例，理解超几何分布及其推导过程，并能简单的应用。常见的离散型随机变量的概率分布如果离散型随机变量的概率分布为:二项分布:则称服从二项分布,记作B(n,p)

.期望:数学模型:

某射手每次射击击中目标的概率均为p,假设连续射击中每次射击是相互独立的,那么在n次射击中击中目标的次数服从参数为n,p的二项分布.方差:注:二项分布是伯努利概型的高度概括,是引进随机变量后的再认识,要注意到它们的一致性.二项分布的实例：

二项分布有着十分广泛的应用。比如下列问题中的随机变量ξ都可以看作是服从二项分布的：n次独立射击，每次命中率相同，ξ为命中次数。一枚硬币掷n次，ξ为正面出现的次数。常见的离散型随机变量的概率分布几何分布：如果随机变量

的概率分布为：则称

服从参数为p的几何分布。

，

。数学模型：某射手每次射击击中目标的概率均为p,假设连续射击中每次射击是相互独立的，直到击中目标为止，那么射击的次数

服从几何分布。几何分布在新课标中已经删减掉.二项分布的实例:掷n个相同的骰子，ξ为一点出现的次数。

n个新生婴儿，ξ为男婴的个数。女性患色盲的概率为0.25%，ξ为任取n个女人中患色盲的人数。案例消除对“概率”的“误解”。（教材P56例3）将一枚均匀的硬币随机抛掷100次，出现正面的概率为1/2，求恰好50次正面的概率为多少？二项分布的应用

解：令ξ为掷100次硬币正面出现的次数，则ξ服从n=100,p=1/2的二项分布,那么“掷100次恰出现50次正面”的概率为

二项分布的应用

很多人以为“100次出现50次正面”是必然的，或者说，它的概率应该很大，但计算表明这概率只有8%左右，如何解释？有人给出了一个掷均匀硬币的模拟试验（见费勒著《概率论及其应用》），这试验相当于100个人，每人都掷100次均匀硬币，记录下各自掷出正面的次数如下：二项分布的应用

实验数据

54,46,53,55,46,54,41,48,51,5348,46,40,53,49,49,48,54,53,45,43,52,58,51,51,

50,52,

50,53,49,58,60,54,55,50,48,47,57,52,55,48,51,51,49,44,52,

50,46,53,41,49,50,45,52,52,48,47,47,47,51,45,47,41,51,49,59,50,55,53,50,53,52,46,52,44,51,48,51,46,54,45,47,46,52,47,48,59,57,45,48,47,41,51,48,59,51,52,55,39,41。

这里共掷了10000次，正面出现的次数，即上述100个数字之和，为4979，这表明正面出现的频率为0.4979，可以认为硬币是均匀的。另一方面，在上述100个数字中，50出现了7次。即“掷100次硬币，出现50次正面”的频率是7/100，和0.08相差不算大。

二项分布的应用超几何分布的实例

例如从全班任取n个人，取到女生的人数；从扑克牌中取n张，取到黑桃的张数；买n张彩票，中奖的张数，等等都可以用超几何分布描述。中奖问题：

在奖券抽奖时，设发行了N张奖券，其中M张能中奖，中奖率是M/N。买n张奖券，令ξ为n张奖券中能中奖的张数，则ξ服从超几何分布。中奖的概率是:

中奖问题：

假定发行的奖券数量巨大，可近似认为每张奖券是否中奖是相互独立的，中奖率M/N不变，令ξ为n张奖券里中奖的张数，则ξ可看作服从二项分布。中奖问题：

我们用二项分布来近似描述抽奖问题。假设中奖率是千分之一，问买n张奖券能中奖的概率。解：令ξ为n张奖券里中奖的张数，可以近似认为ξ服从二项分布。中奖的概率记为，中奖问题：下表给出了数值的结果:n100020003000400050000.6320.8650.9500.9820.993

我们看到中奖率千分之一的奖券并非买1000张就能中奖，中奖的概率约为63%

；买3000张奖券中奖的概率为95%，再多买2000张，即买5000张，中奖的概率只提高了4.3%。3、离散型随机变量的均值与方差（1）《课标》要求：通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

（2）解读：

离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量的平均水平，而离散型随机变量的方差反映了取值的稳定性。期望对决策的作用

在实际中，有许多决策问题，例如，如何使成本最低，利润最大，工期最短等等。它们通常表现为在一定的限制条件下，如何使某个量达到极大或极小。这类问题也被称为优化问题。4、正态分布

（1）《课标》要求：通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。

(2)解读：要点：直观认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。第一、通过实例，认识正态分布和正态曲线的意义。可以用高尔顿板实验。第二，可以用计算机和几何画板研究正态曲线随着μ和σ变化而变化的特点。并结合正态分布密度函数的解析式及概率的性质，可以发现正态曲线的特点和3σ原则。正态密度曲线图象的特征；正态密度曲线——

函数表达式P(x)=，x

R；标准正态分布N(0,1)及3原则（在一次试验里，x几乎总是落在(

-3,

+3)中（99.73%））；会查正态分布表，（了解）任一正态分布X~N(，2)，可通过可以转换为标准正态分布Z~N(0，1)。4.用数学眼光发现、解释实际生活中的问题（1）.生日问题：有r个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，则事件

“r个人的生日都不同”的概率。

，即至少有2个人的生日在同一天的概率r1520232425304050550.250.410.510.540.570.710.890.970.99生日相同，其实这是一件很容易发生的事情。23人以上的班级，至少有2名同学生日相同的概率超过1/2，

55名同学的生日都不同的概率接近1%，至少有2名同学生日相同的概率接近99%。(2).电梯问题：一幢17层的塔楼，有r个人从第一层走进电梯，每人在哪一层下电梯是等可能的，则事件B“r个人在不同层走出电梯”的概率为

，当r取2，4，6，10时事件

的概率分别为r