概率论与数理统计第七讲

概率论与数理统计

第七讲本文件可从网址/cgi-bin/mydocument/share_list.cgi?uid=math下载，此外，网址/上还有大量的习题解独立试验概型事件的独立性定义1.4如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响,即P(A|B)=P(A),则称事件A对于事件B独立.由此定义及条件概率P(A|B)的定义有如A与B独立,则在实用中两个事件独立经常是由于两个试验独立,且总的试验由两个试验拼成.这两个试验相互之间没有任何影响.在解题过程中,通常题目中已经告诉你哪些事件独立或者说相互无关.在科学实验中,两个事件是否独立是需要经过理论和实验的反复验证的.比如一种治疗方法或者一种药是否和另一种病的好转或者恶化有关系,或者完全没有关系(独立).定义1.5如果n(n>2)个事件A1,A2,…,An中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响,则称A1,A2,…,An相互独立.若A1,A2,…,An相互独立,则有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)除非两个事件之一的概率为0,否则两个相互独立的事件A与B通常是相容的,这是因为P(AB)=P(A)P(B)不为零.计算相互独立事件的交的概率通常是好算的,只须将它们各自的概率相乘即可.但经常也要计算到相互独立事件的并的概率,这时候或者可以用广义加法法则,即

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)如果是要求多个相互独立的事件的并的概率,则应当利用狄.摩根定理将事件的并转换为事件的交,也就是考虑事件的逆的概率.但是,经常有的难题喜欢求某些独立事件的交了再并的概率,这时候不得不套用广义加法法则,尤其常用的是三个事件的并的加法法则,P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)例如,常见的求AB+CD+EF的概率,则P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)-P(ABCD)-P(ABEF)-P(CDEF)+P(ABCDEF)如果A,B,C,D,E,F相互之间独立,则上式中的各个交事件的概率再变成各概率之积.而一种非常常见的题型,就是假设事件A,B,C相互独立,但是问其中至少两件发生的概率,或者至少两件不发生的概率.而A,B,C至少两件发生的事件为AB+AC+BC,因此P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-P(ABC)-P(ABC)-P(ABC)+P(ABC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC)=P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)

-2P(A)P(B)P(C)而A,B,C至少两件不发生的事件为例1甲,乙,丙3部机床独立工作,由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9,0.8及0.85.求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率.解用事件A,B,C分别表示在这段时间内机床甲,乙,丙不需工人照管.依题意A,B,C相互独立,并且P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85则这段时间内有机床需要工人照管的概率为而当至少有两部机床需要照管的时候,就有机床因无人照管而停工了,这样的事件是例2若例1中的3部机床性能相同,设P(A)=P(B)=P(C)=0.8,求这段时间内恰有一部机床需人照管的概率假设事件E为"三部中恰有一部需人照管",而D1,D2,D3为恰好甲,乙,丙机床需人照管,则而E=D1+D2+D3为三个互不相容事件之和,

而且P(D1)=P(D2)=P(D3),都是由一个0.2与两个0.8相乘,因此可以写成例3如图所示,开关电路中开关a,b,c,d开或关的概率都是0.5,且各开关是否关闭相互独立.求灯亮的概率以及若已见灯亮,开关a与b同时关闭的概率abcd解令事件A,B,C,D分别表示开关a,b,c,d关闭,E表示灯亮,则E=AB+C+DabcdP(E)=P(AB+C+D)

=P(AB)+P(C)+P(D)-P(ABC)-P(ABD)

-P(CD)+P(ABCD)

=P(A)P(B)+P(C)+P(D)-P(A)P(B)P(C)

-P(A)P(B)P(D)-P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)

=0.52+0.5+0.5-0.53-0.53-0.52+0.54=0.8125

P(AB|E)=P(ABE)/P(E)

而ABE,故ABE=AB,因此甲,乙,丙三人进行定点投篮比赛,已知甲的命中率为0.9,乙的命中率为0.8,丙的命中率为0.7,现每人各投一次,求:(1)三人中至少有两人投进的概率;(2)三人中至多有两人投进的概率.解:设A="甲投进",B="乙投进",C="丙投进"则三人中至少两人投中的事件为AB+AC+BC三人中至多有两人投进的事件为ABC98年经济类考研题因此1998经济类考研题

设A,B,C是三个相互独立的随机事件,且0<P(C)<1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是解由题设,A,B,C是三个相互独立的随机事件,那么其中任意两个事件或其对立事件的和,差,交与另一事件或者其对立事件是相互独立的,根据这一性质,只有B是不成立的.1994年经济类考研题这是因为,如果2000年经济类考研题

设A,B,C三个事件两两独立,则A,B,C相互独立的充分必要条件是()

A.A与BC独立 B.AB与A+C独立

C.AB与AC独立 D.A+B与A+C独立解:选项B,C,D的两个事件中都出现事件A,因此都不可能独立.因此考察选项A,如A与BC独立,则P(ABC)=P(A