第1章函数、极限及连续

李俊杰E-mail:高等数学Tel:主要内容函数,极限,连续（1）

一元微分学（2）

一元积分学（1）

向量代数与空间解析几何微分方程（1）

3函数与极限导数与微分中值定理不定积分与定积分微分方程和空间解几082428412928092428393128102424353928112828343228122229333828历届数学试题分数统计表集合映射函数复合函数反函数初等函数有界性单调性奇偶性周期性函数考点：定义域12:（1）、11:（1）、10:（1）、09:（1）、08:（2）、07:（1）、②求解析式

12:（11）、11:（11）、07:（2）、③求反函数

10:（11）、08：（11）、07:（11）、④函数的性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）

11:（2）、10:（1）、08:（1）07:（5）1、集合定义、表示法及集合之间的关系（略）点的

邻域2、区间和领域区间（略）第一节函数一、集合与区间点的

邻域其中,a

称为邻域中心,

称为邻域半径.去心

邻域左

邻域:右

邻域:2、区间和领域区间（略）定义域1.函数的概念定义.

设数集则称映射为定义在D

上的函数,记为f(D)称为值域自变量因变量二、函数(对应规则)(值域)(定义域)

定义域

对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.如,

绝对值函数定义域值域符号函数当x>0当x=0当x<0EX2、4三.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称说明:

还可定义有上界、有下界、无界(2)单调性在I

上有界.(3)奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:

若在x=0有定义,则当为奇函数时,必有(4)周期性且则称为周期函数

,若称

l

为周期(一般指最小正周期

).周期为周期为四.反函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f

的反函数

.其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:

2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数EX9则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u

称为中间变量.注意:

构成复合函数的条件不可少.五.复合函数与初等函数1.复合函数EX10、11例.

将下列函数分解成基本初等函数的复合.(1)y=cos2x,是由y=u2,u=cosx复合而成.(2)y=arctge–x,是由y=arctgu,复合而成.(3)是由复合而成.2.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(a)(b)(d)(d)①幂函数②指数函数③对数函数④三角函数⑤反三角函数⑤反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.例如

,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数

.可表为故为初等函数.12:（1）、11:（1）、10:（1）、09:（1）、08:（2）、07:（1）第7--8页1、6、8、13、1512:（11）、11:（11）、07:（2）、第7--9页2、2910:（11）、08：（11）、07:（11）、第9页19、22、2711:（2）、10:（1）、08:（1）、07:（5）第7--8页4、5、12、16极限考点：①两个重要极限12:（12）、12:（13）、11:（12）、09:（11）、08:（12）、07:（12）②等价无穷小

12:（2）、11:（3）、09:（2）、07:（3）③有界乘以无穷小

11:（13）、10:（12）④罗必达法则

12：（21）、11:（22）、10:（22）、09:（12）、09:（21）、08:（21）、07:（21）第二节数列极限自变量变化过程的六种形式:第三节函数的极限1、自变量趋于有限值时函数的极限EX4、52、自变量趋于无穷大时函数的极限第四节极限运算法则1.夹逼准则

(准则1)

(P20)1.夹逼准则

(准则1’)函数极限存在的夹逼准则且(1)(2)两个重要极限12:（12）、12:（13）、11:（12）、09:（11）、08:（12）、07:（12）第9页20、23、25、30第六节无穷大与无穷小都是无穷小,引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.12:（2）、11:（3）、09:（2）、07:（3）第7--9页3、9、17、11:（13）、10:（12）第8页28、31连续考点：连续：极限与连续关系11:（4）、已知连续求参数10:（21）、08:（3）、07:（28）③讨论点的连续性09:（22）、④间断点11:（21）、09:（3）、08:（13）、07:（13）零点存在定理：12:（31）、09（31）在在三、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点

.在无定义;为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:(4)为其跳跃间断点.间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称为可去间断点

.为跳跃间断点

.第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个极限不存在，但为有界量,则称若其中有一个为为无穷间断点

.为振荡间断点

.第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型

极限与连续关系11:（4）、

已知连续求参数10:（21）、08:（3）、07:（28）③