2017年高中数学第二章参数方程阶段质量评估4-4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE12-学必求其心得，业必贵于专精第二讲参数方程一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－1－t，y＝2＋3t））(t为参数）所表示的图形分别是()A．圆、直线 B．直线、圆C．圆、圆 D．直线、直线解析:∵ρ＝cosθ，∴x2＋y2＝x，∴表示一个圆．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－1－t，y＝2＋3t）)得到直线3x＋y＝－1.答案:A2．直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－2＋t，，y＝1－t））(t为参数)被圆（x－3）2＋(y＋1)2＝25所截得的弦长为()A．7eq\r(2） B．40eq\f（1，4)C．eq\r（82) D．eq\r（93＋4\r(3)）解析：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－2＋t，,y＝1－t）)⇒eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－2＋\f（\r(2）,2)·\r(2）t，,y＝1－\f（\r(2），2）·\r(2)t，）)令t′＝eq\r（2）t，把eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－2＋\f(\r(2），2)t′,，y＝1－\f(\r（2),2)t′））代入(x－3）2＋(y＋1）2＝25。整理，得t′2－7eq\r（2)t′＋4＝0，|t′1－t′2|＝eq\r（t′1＋t′22－4t′1t′2)＝eq\r(82）。答案:C3．点集M＝eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x，y|\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，y＝3sinθ))θ是参数，0＜θ＜π）)，N＝{（x，y）｜y＝x＋b},若M∩N≠∅，则b满足(）A．－3eq\r(2）≤b≤3eq\r(2) B．－3＜b＜3eq\r（2）C．0≤b≤3eq\r（2) D．－3＜b≤3eq\r(2)解析：用数形结合法解．答案：D4．已知直线eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝x0＋tcosα,y＝y0＋tsinα）)(t为参数)上的两点A、B所对应的参数分别为t1、t2，且eq\o(AP,\s\up6（→))＝λeq\o（PB,\s\up6（→））（λ≠－1），则点P所对应的参数为（）A．eq\f(t1＋t2,2） B．eq\f（t1＋t2，1＋λ)C．eq\f(t1＋λt2,1＋λ） D．eq\f(t2＋λt1，1＋λ)答案：C5．已知集合A＝｛(x,y）｜(x－1）2＋y2＝1}，B＝eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x，y\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(y，x)·\f（y,x－2）＝－1)）))，C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(ρ，θ\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（ρ＝2cosθ，θ≠\f（kπ,4）,k∈Z))）)，D＝eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosθ，y＝sinθ）），θ≠kπ，k∈Z）)）)，下列等式成立的是(）A．A＝B B．B＝DC．A＝C D．B＝C解析：集合B与D都是曲线(x－1)2＋y2＝1（x≠0，x≠2）．答案：B6．已知圆的渐开线eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝rcosφ＋φsinφ,y＝rsinφ－φcosφ))(φ为参数）上有一点的坐标为(3，0），则渐开线对应的基圆的面积为()A．π B．3πC．4π D．9π解析：把已知点（3,0)代入参数方程得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3＝rcosφ＋φsinφ，①,0＝rsinφ－φcosφ。②）)①×cosφ＋②×sinφ得r＝3,所以基圆的面积为9π。答案：D7．过抛物线eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2t2，，y＝\r（3）t)）（t为参数）的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为（）A．eq\f(π，3) B．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)C．eq\f(π，6) D．eq\f(π，6)或eq\f（5π,6)解析:将抛物线的参数方程化成普通方程为y2＝eq\f(3,2)x，它的焦点为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3，8），0)）.设弦所在直线的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f（3,8)）），由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y2＝\f（3，2）x，,y＝k\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（3,8））)，))消去y,得64k2x2－48(k2＋2)x＋9k2＝0，设弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则|x1－x2|＝eq\r（x1＋x22－4x1x2）＝eq\r(\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3，4）·\f（k2＋2，k2））)2－\f(9,16)）＝2解得k＝±eq\r（3)。故倾斜角为eq\f(π,3）或eq\f(2π,3）答案：B8．下列双曲线中,与双曲线eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\r（3)secθ，y＝tanθ））（θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是()A．eq\f（y2,3）－eq\f（x2,9）＝1 B．eq\f(y2,3)－eq\f（x2，9)＝－1C．eq\f（y2,3)－x2＝1 D．eq\f（y2，3)－x2＝－1解析：双曲线的普通方程为eq\f(x2,3）－eq\f（y2,1）＝1离心率为eq\f（2,\r(3)）＝eq\f(2\r（3）,3）,渐近线为y＝±eq\f（\r(3）,3）xB中eq\f（y2,3）－eq\f（x2,9）＝－1即eq\f（x2,9)－eq\f（y2，3）＝1其离心率为eq\f(2\r(3）,3)，渐近线为y＝eq\f（\r(3)，3）x，故与原双曲线的离心率及渐近线相同．答案:B9．已知点P在椭圆x2＋8y2＝8上,且P到直线l：x－y＋4＝0的距离最小，则P点坐标是()A．eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(8，3),\f（1，3）)) B．eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,3）,\f(8，3))）C．（0，±1) D．(±2eq\r(2)，0)解析：设eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1＋\r（5)cosθ，y＝－2＋\r（5)sinθ)）（θ为参数）取x－2y＝1＋eq\r（5）cosθ＋4－2eq\r(5）sinθ＝5＋eq\r(5)cosθ－2eq\r（5）sinθ＝5＋5sin(θ－φ）．故最大值为10.答案:B10．已知直线l：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\r(3）t，,y＝2－t））(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2，则点A（0，2)到P1，P2两点距离之和是（）A．4＋eq\r(3） B．2（2＋eq\r（3）)C．4(2＋eq\r（3)） D．8＋eq\r（3)解析：把直线参数方程化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－\f(\r(3），2)t′，,y＝2＋\f（1,2）t′)）(t′为参数），代入y2＝2x,求得t′1＋t′2＝－4(2＋eq\r（3)),t′1t′2＝16〉0，知在l上两点P1，P2都在A(0，2）的下方，则|AP1｜＋|AP2｜＝|t′1|＋｜t′2|＝｜t′1＋t′2｜＝4(2＋eq\r（3））．答案：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上）11．如图所示，齿轮的廓线eq\x\to(AB)为圆的渐开线的一段弧．已知此渐开线的基圆的直径为225mm，则此渐开线的参数方程为________。答案:eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(225，2）cost＋tsint，y＝\f(225,2)sint－tcost）)（t为参数)12．在直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程是eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝sinθ＋1,，x＝cosθ)）(θ是参数）,以O为极点,x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为________.解析:由题意知,曲线C:x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0，所以(ρcosθ)2＋（ρsinθ)2－2ρsinθ＝0，化简得ρ＝2sinθ。答案：ρ＝2sinθ13．点M（x,y)在椭圆eq\f（x2，12）＋eq\f(y2,4)＝1上,则点M到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为________，此时点M的坐标是________.解析：椭圆的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(3)cosθ,,y＝2sinθ））(θ为参数),则点M（2eq\r（3）cosθ，2sinθ）到直线x＋y－4＝0的距离d＝eq\f（|2\r(3)cosθ＋2sinθ－4｜，\r（2)）＝eq\f(\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(4sin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π，3)）)－4）),\r(2)）。当θ＋eq\f（π，3)＝eq\f（3,2）π时，dmax＝4eq\r(2），此时M(－3，－1)．答案：4eq\r(2）（－3，－1）14．若曲线y2＝4x与直线eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2＋2tcosα，y＝－4＋tcosβ））(t为参数）相切，则eq\f(cosα，cosβ)＝________.解析:∵eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2＋2tcosα，y＝－4＋tcosβ)），∴eq\f（x－2,y＋4）＝2eq\f(cosα,cosβ）＝2m，其中m＝eq\f(cosα,cosβ),∴x＝2＋2my＋8m，代入y2＝4x得y2＝4（2＋2my＋8my2－8my－8－32m∵直线与曲线相切，∴Δ＝(－8m）2－4×(－8－32＝64m2＋4×8（1＋2m2＋∴(m＋1）2＝eq\f（1,2）,m＝－1±eq\f(\r（2）,2)，∴eq\f(cosα,cosβ）＝－1±eq\f(\r（2)，2）.答案：－1±eq\f(\r(2)，2）三、解答题（本大题共4题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ。以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f（\r(2)，2）t＋m,y＝\f（\r（2）,2）t））(t是参数)．(1)将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程;（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB｜＝eq\r(14)，试求实数m的值．解析：(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，直线l的直角坐标方程为y＝x－m（2）m＝1或m＝316．(12分)求椭圆4x2＋y2－8xcosθ－4ysin2θ－sin22θ＝0中心的轨迹方程(θ为参数），并证明无论θ取何值,椭圆的大小、形状保持不变．解析：椭圆方程可化为4（x－cosθ）2＋(y－2sin2θ)2＝4,即(x－cosθ）2＋eq\f（y－2sin2θ2,4）＝1,故椭圆中心的轨迹方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝cosθ,y＝2sin2θ）)，消去θ得y＝2－2x2（｜x|≤1)．对于所给椭圆无论θ如何变化，它的长轴长始终为4，短轴长为2，离心率eq\f(\r（3）,2）.因此椭圆的大小形状保持不变．17．(12分)已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝eq\f(36，4cos2θ＋9sin2θ）；(1）若以极点为原点，极轴所在的直线为x轴，求曲线C的直角坐标方程;（2）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求x＋2y的最大值．解析：（1)曲线的极坐标方程ρ2＝eq\f（36，4cos2θ＋9sin2θ），即4ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝36，∴4x2＋9y2＝36，∴eq\f(x2，9)＋eq\f(y2，4)＝1。(2）设P(3cosθ，2sinθ),则x＋2y＝3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ＋φ)，∵θ∈R，∴当sin（θ＋φ）＝1时，x＋2y的最大值为5。18。（14分)如图所示，设矩形ABCD的顶点C，坐标为(4，4），点A在圆x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)上移动,且AB，AD两边分别平行于x轴,y轴，求矩形ABCD面积的最小值及对应点A的坐标．解析：设A(3cosθ，3sinθ)(0＜θ＜90