平面问题有限元解法(公式推导讲解)

平面问题的有限单元解法2/6/2023南京农业大学工学院机械工程系有限单元法基本思想有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解的一种数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元分析，最终得到对整个物体的分析。有限单元法的分析步骤如下：物体离散化单元特性分析单元组集，整体分析求解未知节点的位移由节点的位移求解各单元的位移和应力2/6/2023有限元单元模型中几个重要概念单元网格划分中每一个小的块体节点确定单元形状、单元之间相互联结的点节点力单元上节点处的结构内力载荷作用在单元节点上的外力（集中力、分布力）约束限制某些节点的某些自由度弹性模量（杨式模量）E泊松比（横向变形系数）μ密度单元单元载荷节点节点力约束2/6/20231.研究内容内容：弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。

任务：解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。

弹性力学的内容及基本假定2.研究对象一般弹性实体结构：三维弹性固体、板状结构、杆件等2/6/2023弹性力学的内容及基本假定3.研究方法由平衡方程、几何方程、物理方程三方面分析4.数学理论基础——偏微分方程（高阶，二、三个变量）数值解法：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。2/6/2023弹性力学的内容及基本假定5.基本假定（1）.连续性假定整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。作用：使得σ、ε、u等量表示成坐标的连续函数。2/6/2023弹性力学的内容及基本假定（2）.完全弹性假定

假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力与应变间成线性比例关系。脆性材料——一直到破坏前，都可近似为线弹性的；塑性材料——比例阶段，可视为线弹性的。（3）.均匀性假定

假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性质相同。作用：弹性常数（E、μ）等——不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果可应用于整个物体。2/6/2023弹性力学的内容及基本假定（4）.各向同性假定（5）.小变形假定

假定物体内一点的力学性质在所有各个方向都相同。作用：弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；

假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小于物体的原来的尺寸。作用：建立方程时，可略去高阶微量；可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。使求解的方程线性化。2/6/2023基本概念：外力、应力、形变、位移。1.外力：体力、面力(1)体力——分布在物体体积内的力——体力分布集度（矢量）xyzO单位：N/m3kN/m3说明：f是坐标的连续分布函数；弹性力学中的几个基本概念p2/6/2023(2)面力——分布在物体表面的力——面力分布集度（矢量）xyzO单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)说明：弹性力学中的几个基本概念是坐标的连续分布函数；p2/6/20232.应力(1)一点应力的概念ΔAΔF内力(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑)P截面上P点的应力应力矢量.的极限方向应力分量n(法线)应力的法向分量——正应力应力的切向分量——切应力单位:MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布弹性力学中的几个基本概念2/6/2023(2)一点的应力状态通过一点P的各个面上应力状况的集合——称为一点的应力状态x面的应力：y面的应力：z面的应力：弹性力学中的几个基本概念2/6/2023用矩阵表示：其中，只有6个量独立。切应力互等定理应力正负号的规定：正应力——拉为正，压为负。切应力——坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzO弹性力学中的几个基本概念2/6/20233.形变形变——物体的形状改变xyzO（1）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。PBCA——用正应变ε度量——切应变γ度量（切应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）三个方向的正应变：三个平面内的切应变：(1)一点形变的度量应变的正负：正应变：伸长时为正，缩短时为负；切应变：以直角变小时为正，变大时为负；弹性力学中的几个基本概念2/6/2023(2)一点应变状态其中应变无量纲；4.位移注：一点的位移——矢量S应变分量均为位置坐标的函数xyzOSwuvP位移分量：u——x方向的位移分量；v——y方向的位移分量；w——z方向的位移分量。量纲：m或mm弹性力学中的几个基本概念2/6/2023工程力学问题建立力学模型的过程中，一般从三方面进行简化：结构简化如空间问题向平面问题的简化，向轴对称问题的简化，实体结构向板、壳结构的简化。受力简化如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效力系等。材料简化根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。2/6/2023平面问题的基本理论任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题，但是如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某些特殊的外力和约束，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。两种典型的平面问题平面应力问题平面应变问题2/6/2023平面应力问题(1)几何特征xyyztba一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。——平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿z

方向不变化。2/6/2023xyyztba(3)应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：由切应力互等定理，有结论：平面应力问题只有三个应力分量：xy应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。2/6/2023平面应变问题(1)几何特征水坝滚柱厚壁圆筒

一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。

——近似认为无限长(2)外力特征

外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。

约束——沿长度z方向不变化。(3)变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，则沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面2/6/2023水坝任一横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移问题——平面应变问题注：平面应变问题中但是，2/6/2023如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题2/6/2023三大基本方程根据静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程。平面问题中，根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程： (1-1)根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程：

(1-2)根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程： (1-3)(1-3‘)2/6/2023平衡微分方程从弹性体中取出一个微分体，根据平衡条件导出应力分量与体力分量之间的关系式，也就是平面问题的平衡微分方程。从弹性体中取出一个微小的正平行六面体，它在x和y方向的尺寸分别为dx和dy，在z方向的尺寸为一个单位长度。以x为投影轴，列出投影的平衡方程：约简以后，两边除以dxdy，得：同理，以y为投影轴，列出投影的平衡方程，化简得：2/6/2023几何方程经过弹性体内的任意一点P，沿x轴和y轴的正方向取两个微小长度的线段PA＝dx和PB＝dy。假定弹性体受力后，P,A,B三点分别移动到P’,A’,B’.线段PA的正应变是：注:由于位移微小，y方向的位移v引起的PA的伸缩，是高一阶微量，略去不计。线段PB的正应变是：线段PA与

PB之间的直角的改变，即切应变线段PA的转角α是：线段PB的转角β是：2/6/2023物理方程在理想的弹性体中，形变分量和应力分量之间的关系，在材料力学根据胡克定律导出如下：在平面应力问题中，式变为：在平面应变问题中，只要将上式中的E换为，μ换为就得到平面应变问题的物理方程。2/6/2023假定已知任一点P处坐标面上的应力分量σx，σ

y，τxy=τyx

。求经过该点的，平行于z轴而倾斜于x轴和

y轴的任何倾斜面上应力。在P点附近取一个平面AB，它平行于上述斜面，并经过P点划出一个微小的三棱柱PAB。当AB无限小而趋于P点时，平面AB上的应力就成为斜面上的应力。平面问题中一点的应力状态设斜面AB的长度为ds，则PB面及PA面的长度分别为lds及mds，而PAB的面积为

ldsmds/2，棱柱的厚度设为1。由x轴平衡条件，得：其中，fx为体力分量。将上式除以ds，并令ds趋于0（斜面AB趋于P点），即得：由y轴平衡条件，得：用n表示斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：2/6/2023边界条件若在su部分边界上给定了约束位移分量和，则对于此边界上的每一点，位移函数u和v应满足条件：其中（u）s和（v）s是位移的边界值，和在边界上是坐标的已知函数。边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。位移边界条件：应力边界条件：若在su部分边界上给定了面力和，则由平衡条件得出平面应力问题的应力(或面力）边界条件为：其中，l,m是边界面外法线的方向余弦。2/6/2023圣维南原理在求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足区域内的三套基本方程，还必须满足边界上的边界条件。但是，要使边界条件得到完全满足，往往遇到很大的困难。圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大方便。圣维南原理表明，如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。2/6/2023圣维南原理的应用例，设有柱形构件，在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力F（a）。如果把一端或两端的拉力变换为静力等效的力，则只有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变，而其余部分所受影响是可以不计的。由于（d）图中，面力连续分布，边界条件简单，应力容易求得。其它三种情况，应力难以求得。把d情况下的应力解答应用到其它三个情况，虽不能满足两端的应力边界条件，但仍然可以表明离杆端较远处的应力状态，没有显著的误差。图e，构件右端有位移边界条件，，d情况的解答，不能满足位移边界条件，但e图右端的面力，一定是合成为经过截面形心的力F。所以把图d情况的解答应用于图e时，仍然只是在靠近两端处有显著的误差，而在离两端较远之处，误差可以不计。2/6/2023圣维南原理的应用例，厚度δ=1的梁中，左右两端x=±l，的边界面是正、负x面，其上作用有一般分布的面力±。按照严格的应力边界条件，应力分量在边界上满足：上式要求在边界上y值不同的各点，应力分量与对应的面力分量必须处处相等，这种严格的条件是较难满足的。当l>>h时，x=±l是梁的边界的一小部分，可以应用圣维南原理，利用静力等效条件来代替，即，使应力的主矢量和主矩分别等于对应的面力的主矢量和主矩。2/6/2023圣维南原理的应用应力的主矢量和主矩的绝对值分别等于面力的主矢量和主矩的绝对值；面力的主矢量和主矩的方向就是应力的主矢量和主矩的方向。2/6/2023按位移法求解平面问题以上几节已经建立了弹性力学平面问题的基本方程和边界条件，即：平衡微分方程、几何方程和物理方程，以及位移的边界条件和应力的边界条件。求解弹性力学平面问题即求解3个应力分量、3个形变分量及2个位移分量的未知函数。通常采用类似于代数方程中消元法进行求解。按位移求解的方法，称为位移法。它以位移分量为基本未知函数。按应力求解的方法，称为应力法。它以应力分量为基本未知函数。2/6/2023按位移法求解平面问题平面问题中，取位移分量u和v为基本未知函数。从方程中消去形变分量和应力分量：将几何方程代入上式利用平衡微分方程和边界条件，导出用位移表示的平衡微分方程：2/6/2023按位移法求解平面问题利用应力边界条件得到用位移表示的应力边界条件其中：位移边界条件如（1-4）不变按位移法求解平面应力问题时，要使位移分量在区域内满足平衡微分方程，在边界上满足位移边界条件或应力边界条件。2/6/2023按位移法求解平面问题（例题）设有如图所示的杆件，在y方向的上端为固定，而下端为自由，受自重体力fx＝0，fy＝ρg的作用。试用位移法求解此问题。解：将这个问题简化为一维问题处理。设u=0,v=v(y)，泊松比μ＝0。代入位移表示的平衡微分方程，得：第一式自然满足，第二式成为：解出：2/6/2023按位移法求解平面问题（例题）设有左图所示的杆件，在y方向的上端为固定，而下端为自由，受自重体力fx＝0，fy＝ρg的作用。试用位移法求解此问题。解出：上下边的边界条件分别要求：将（a）式代入（b）式得：B＝0，再代入（c）式，即得：得到解答：2/6/2023有限元单元法分析步骤（一）结构离散化

将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。结构的离散化是有限元法分析的第一步，关系到计算精度和效率，包括以下三个方面：单元类型的选择。选定单元类型，确定单元形状、单元节点数、节点自由度数等。单元划分。网格划分越细，节点越多，计算结果越精确，但计算量越大。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显，对应应力变化平缓区域不必要细分网格。节点编码。

注意：有限元分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是由同样材料、众多单元以一定方式连接成的离散物体。用有限元分析计算所获得的结果是近似的（满足工程要求即可）。平面问题有限单元法基本概念2/6/2023有限元单元法分析步骤（二）单元特性分析

选择未知量模式选择节点位移作为基本未知量时，称为位移法；选节点力作为基本未知量时，称为力法；取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量，称为混合法。分析单元力学性质根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等，找出单元节点力和节点位移关系式，应用几何方程和物理方程建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。计算等效节点力作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，即用等效力来替代所有作用在单元上的力。2/6/2023有限元单元法分析步骤（三）整体分析集成整体节点载荷矢量F。结构离散化后，单元之间通过节点传递力，作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，形成等效节点载荷。将所有节点载荷按照整体节点编码顺序组集成整体节点载荷矢量。组成整体刚度矩阵K，得到总体平衡方程：引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。

通过上述分析可以看出有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分析，合是为了对整体的结构进行综合分析。2/6/2023有限单元法中基本量的矩阵表示有限单元法(FEM)中，为了简洁清晰地表示各个基本量以及它们之间的关系，也为了便于编制程序利用计算机进行计算，广泛采用矩阵表示和矩阵运算。平面问题中，物体受体力，可用体力列阵表示：(1)物体受面力，可用面力列阵表示：(2)3个应力分量的应力列阵表示：(3)3个形变分量的应变列阵表示：(4)2个位移分量的位移列阵表示：(5)2/6/2023弹性力学中基本方程的矩阵表示几何方程的矩阵表示为： (6)物理方程矩阵表示为： (7)利用应力列阵和应变列阵（3）、（4）得： (8)其中矩阵 (9)只与弹性常数E及μ有关，称为平面问题的弹性矩阵。2/6/2023虚位移原理用u*和v*表示虚位移，用表示与该虚位移相应的虚应变。根据虚功方程：处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。对于厚度为t的薄板，虚功方程可用矩阵表示为：其中，分别为体力列阵，面力列阵和应力列阵。为虚位移列阵有限单元法中，作用于弹性体的各种外力常以作用于某些点的等效集中力来代替。在厚度为t的薄板上，设作用于i点的集中力沿x及y方向的分量为Fix,Fiy,作用于j点的力为Fjx,Fjy等。这些集中力以及它们相应的虚位移用列阵表示为：为虚应变列阵2/6/2023虚位移原理(续)代入虚功方程，得：上式为集中力作用下的虚功方程。集中力列阵（13）虚位移列阵（14）外力在虚位移上所做的功为：2/6/2023（1）取三角形单元的节点位移为基本未知量：

(a)其中，

称为单元的节点位移列阵；（2）应用插值公式，由单元节点位移求出单元的位移函数： (b)其中，N称为形函数矩阵；（3）应用几何方程，由单元的节点位移求出单元的应变： (c)其中，B是表示与之间关系的矩阵；

三角形单元离散化结构分析步骤2/6/2023

(f)其中，Fe

是单元的节点力，k称为单元劲度列阵；

对三角形板单元，节点力为：

(e)

（5）应用虚功方程，导出单元节点力与节点位移之间的关系。对右图中的i节点：节点对单元的作用力为节点力，作用于单元上。三角形单元离散化结构分析步骤(续）（4）应用物理方程，由单元的节点位移求出单元的应力：

(d)其中，S称为应力转换矩阵；

Fe是作用于单元的外力，此外，单元内部还作用有应力。根据虚功方程，从而得到节点力的公式：2/6/2023（7）列出各节点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。由于节点i受有环绕节点的单元移置而来的节点载荷和节点力因而i节点的平衡方程为：

（i=1,2,…,n）(h)三角形单元离散化结构分析步骤(续）（6）应用虚功方程，将单元中的外力载荷向节点移置，化为节点载荷（即求出单元的节点载荷）： (g)

将（f）代入（h），整理得：（j)其中，K称为整体刚度矩阵，FL是整体节点载荷列阵，δ是整体节点位移列阵。

在上述求解步骤中，（2）至（6）是针对每个单元进行的，称为单元分析；（7）是针对整个结构进行的称为整体分析。2/6/2023对三角形i,j,m三个节点，位移函数应当等于该节点的位移值，即：

三角形单元的位移模式对每个单元，只要求得单元中的位移函数，就可以应用几何方程求得应变，再应用物理方程求得应力。有限单元法中常取节点位移为基本未知量，由单元的节点位移求出单元中的位移函数是首先必须解决的问题。可以假定一个位移模式，来表示单元中的位移函数（即在单元中做出位移插值函数）。三角形单元中，可以假定位移分量只是坐标的线性函数，即假定：6个方程解出α1-6，代入u，v式整理得：其中：2/6/2023三角形单元的位移模式Ni也可以写成为：其中系数ai,bi,ci是：其中A就等于三角形ijm的面积：按照解析几何学，在图示的坐标系中，为了得出的面积A不致成为负值，节点i，j，m的次序必须是逆时针转向的。

Ni，Nj，Nm这三个函数，表明了单元ijm的位移形态（也就是位移在单元内的变化规律），因而称为形态函数，简称形函数。2/6/2023三角形单元的位移模式位移模式的表示式可用矩阵表示为：简写为：其中是单元的节点位移列阵。是形态函数矩阵或形函数矩阵。有限单元法中，应力转换矩阵和劲度矩阵的建立以及载荷的移置等，都依赖于位移模式。2/6/2023简写为：其中应变转换矩阵B可写成分块形式：

其子矩阵为：单元的应变列阵和应力列阵利用几何方程和物理方程，求出单元中的应变和应力，用节点位移表示：将位移函数(16)和(18)代入几何方程(6)，得出用节点位移表示单元应变。2/6/2023将D表达式(9)和B表达式(27)代入上式，并写成分块形式，即得到平面应力问题中的应力转换矩阵：单元的应力列阵（续）再将单元的应变式(26)代入物理方程(8)，得出用节点位移表示单元中应力的表达式。

其中子矩阵为：简写为：其中，2/6/2023由式(26)引起的虚应变为：由于节点力在虚位移上的虚功应当等于应力在虚应变上的虚功，即：

单元的结点列阵与劲度矩阵对于任一单元，均假设所受的外力载荷已经被移置到节点上，并且单元已经切开，如右图所示：单元只受到结点对单元的作用力，即结点力：假想在结点i,j,m处发生了虚位移，即：对单元而言，这些节点力是外力，使单元内部产生应力。2/6/2023从而建立了单元节点力和节点位移之间的关系。对于三角形单元，B中的元素为常量。并且，因此，k可简写为：

k称为单元的劲度矩阵。单元的结点列阵与劲度矩阵（续）由于中的元素是常量，并且虚位移的值可以是任意的：则将B和D表达式代入上式，得：令则式可以简写为2/6/2023载荷向节点移置，单元的载荷列阵设单元ijm在坐标为（x，y）的任意一点M，在单位厚度上受有集中载荷fP，其坐标方向的分量为fPx和fPy，用矩阵表示为fP=（fPx

fPy）T，将此集中力移置到单元的节点处，转换为节点载荷，并且单元节点载荷列阵表示为：假想单元的各点发生了虚位移：由位移模式，相应于集中力fP的作用点（x,y）的虚位移为：集中载荷的移置2/6/2023载荷向节点移置，单元的载荷列阵（续）由于虚位移可以是任意的，所以：把N的表达式（25）代入上式，上式改写为：其中，Ni,

Nj,

Nm，为它们在M点的函数值：根据静力等效原则，节点载荷在节点虚位移上的虚功等于原载荷集中力在其作用点的虚位移上的虚功，即：2/6/2023载荷向节点移置，单元的载荷列阵（续）例，设单元ijm的密度为ρ，试求自重的等效节点载荷。分析：因为fx=0，

fy=-ρg，故由式（43）得：由设上述单元受有分布的体力f=（fx

fy）T，可将微分体积tdxdy上的体力ftdxdy当作集中力，利用（40）式积分，得到：体力的移置注意单元的自重为-ρgtA，可见移置到每个结点的载荷均为1/3自重。2/6/2023载荷向节点移置，单元的载荷列阵（续）设上述单元的某一边上受有分布的面力

，可将微分面积tds上的面力当作集中载荷，利用（40）式积分，得到：面力的移置例，设在ij边上受有沿x方向的均布面力q，试求等效节点载荷。分析：因为

，故由式（45）得：2/6/2023注意：式(46)和(48）中的编码i,j,m仅是每个单元的局部编码，对于整个结构，则将节点的平衡方程按整体结点编码1，2，…，n排列起来，就组成整个结构的节点平衡方程组：

整体的结构分析节点平衡方程组因此，节点i的平衡方程是：以上几节的分析都是针对单元进行的，即将单元上的外力载荷都向节点移置而成为节点载荷；另一方面求出节点载荷与单元之间的相互作用力，如图所示。结点对单元的作用力是节点力，相反，单元对节点的作用力。于是，作用于节点i上的力，有节点载荷FLi，和单元对节点的作用力。即：其中，是对环绕节点i的单元求和，写成标量形式：

2/6/2023由整体平衡方程组，解出节点位移δ，便可由式(23)和(30)求出每个单元的位移函数、应力和应变。整体的结构分析节点平衡方程组其中，整体节点位移列阵：整体节点载荷列阵：K是整体刚度矩阵，其元素是： 整个结构的节点平衡方程组即整体劲度矩阵的元素,Krs就是按整体节点编码的、同下标rs的单元劲度矩阵元素叠加而得到的。2/6/2023平面有限元解法（例）设有对角受压的正方形薄板（如上图所示），载荷沿厚度均匀分布，为2N/m。试对该结构进行分析，建立单元刚度矩阵、整体刚度矩阵和整体节点载荷列阵，建立整体节点方程组，通过编程求解出节点的位移，并从而求出各单元的应力。（为简单起见，取板的厚度t=1,弹性常数E=1,泊松比μ＝0）2/6/2023平面有限元解法——划分单元由于平面薄板沿xz面和yz面均对称，所以只取1/4之一部分作为分析和计算对象。将对象划分成4个单元，共有6个节点，单元和节点上均编上号码，其中节点的整体编码1至6，以及个单元的节点局部编码i,j,m,均示于上图中。单元号ⅠⅡⅢⅣ局部编码整体编码i3526j1253m24352/6/2023平面有限元解法——整体劲度矩阵每个单元，节点的局部编码和整体编码对应关系已经确定，每个单元劲度矩阵中任一子矩阵在整体劲度矩阵中的位置及其力学意义也就明确了。如单元Ⅰ的kii，即k33，它的四个元素表示当结构的节点3沿x或y方向有单位位移时，在节点3的x方向或y方向引起的节点力。暂时不考虑位移边界条件，把所分析结构的整体节点平衡方程组列出：整体劲度矩阵写成6×6的矩阵，它的每个子块是2×2的矩