2017-2018学年高二数学上学期期末复习备考黄金30题专题02大题好拿分（基础版20题）文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE31学必求其心得，业必贵于专精大题好拿分【基础版】1．【题文】设条件P:,条件：,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围。【答案】【解析】试题分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．试题解析：,则或或，由是成立的必要不充分条件,即只能，故必须满足。2．【题文】已知；方程表示焦点在轴上的椭圆.若为真，求的取值范围.【答案】。【解析】试题分析:因为，可命题为真时,又由命题为时,即可求解实数的取值范围。试题解析：因为，所以若命题为真,则。若命题为真，则,即。因为为真，所以。3．【题文】已知命题:函数是上的减函数;命题：时，不等式恒成立.若命题“”是真命题,求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：分别求出命题下的的取值，根据为真命题，则命题和中至少有一个真命题，分成三种情况讨论，即可求解实数的取值范围．4．【题文】如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是,如图所示，俯视图是一个边长为的正方形．(1)求该几何体的表面积；（2）求该几何体的外接球的体积．【答案】(1）；（2）.【解析】试题分析：(1）该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形,高为2，求其3对面积之和；（2）由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，求出其面积。试题解析:(1）由题意可知,该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形，高为2，因此该几何体的表面积是2×4×4＋4×4×2＝64。(2)由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，则外接球的半径r＝,因此外接球的体积V＝πr3＝×27π＝36π，所以该几何体的外接球的体积是36π.5．【题文】某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点,G是PB的中点.(1)根据三视图,画出该几何体的直观图。(2)在直观图中,①证明:PD∥平面AGC；②证明:平面PBD⊥平面AGC。【答案】（1）见解析；(2)见解析试题解析：(1）该几何体的直观图如图所示.(2）如图,①连接AC,BD交于点O,连接OG,因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD，又OG⊂平面AGC，PD⊄平面AGC，所以PD∥平面AGC。②连接PO,由三视图，PO⊥平面ABCD,所以AO⊥PO。又AO⊥BO，BO∩PO=O,所以AO⊥平面PBD，因为AO⊂平面AGC,所以平面PBD⊥平面AGC。6．【题文】如图所示，在四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，,平面平面，且，，分别为的中点.（1）证明:平面；（2）证明:平面平面；（3）求四棱锥的体积。【答案】(1)见解析；（2）.【解析】试题分析:（1）EF∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PAD内一直线平行，连AC，根据中位线可知EF∥PA，EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，满足定理所需条件；（2平面PAD⊥平面ABCD,根据面面垂直的判定定理可知在平面ABCD内一直线与平面PAD垂直,根据面面垂直的性质定理可知CD⊥平面PAD，又CD⊂平面ABCD，满足定理所需条件；（3）过P作PO⊥AD于O，从而PO⊥平面ABCD，即为四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式求出所求即可．解：（1)如图所示,连接。∵四边形为矩形，且为的中点，∴也是的中点.又是的中点，，∵平面，平面。平面(2)证明：∵平面平面，，平面平面,∴平面。∵平面,∴平面平面。(3）取的中点，连接.∵平面平面，为等腰三角形,∴平面，即为四棱锥的高.∵,∴.又，∴四棱锥的体积。7．【题文】已知平行四边形的三个顶点的坐标为。(Ⅰ）在中，求边中线所在直线方程(Ⅱ）求的面积。【答案】（I）；(II)8.【解析】试题分析：(I）由中点坐标公式得边的中点，由斜率公式得直线斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可；（II）由两点间距离公式可得可得的值,由两点式可得直线的方程为,由点到直线距离公式可得点到直线的距离,由三角形的面积公式可得结果。试题解析：(I)设边中点为，则点坐标为∴直线.∴直线方程为：即：∴边中线所在直线的方程为：8．【题文】如图所示，在四棱锥中，平面是的中点,是上的点且为中边上的高。（1）证明：平面；(2)若,求三棱锥的体积.【答案】（1)见解析；(2）【解析】试题分析：（1）利用平行四边形得到线线平行，从而可证线面平行;（2)求棱锥髙时，利用E是中点，转化为求P到底面距离的一半,而易证平面，高即为PH。试题解析:(1）取中点，连接∵为中点，∴，，∵，∴，∴四边形是平行四边形,∴，∵平面,平面∴平面（2）∵平面，平面，∴，∵，∴平面，∵为中点，∴到平面的距离，又，9．【题文】已知函数．（1）求的单调区间和极值；（2)求曲线在点处的切线方程．【答案】（1)极大值为，极小值为（2)【解析】试题分析：(Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），求出方程f′（x)=0的根，根据二次函数的图象求出f′（x)＜0、f′(x）＞0的解集，由导数与函数单调性关系求出f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）由导数的几何意义求出f′（0）:切线的斜率，由解析式求出f（0)的值,根据点斜式求出曲线在点（0，f（0））处的切线方程,再化为一般式方程试题解析:(1）,，．①当，即时；［②当,即时．当变化时,，的变化情况如下表：当时,有极大值，并且极大值为当时，有极小值，并且极小值为（2），．10．【题文】已知的内接三角形中,点的坐标是，重心的坐标是，求（1）直线的方程；（2）弦的长度.【答案】（1）；（2)．【解析】试题分析:（1）设，，根据重心的性质，我们不难求出边上中点的坐标，及所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出答案．

（2）求出圆心到BC所在直线的距离,即可求出弦的长度．试题解析：(1）设，则由已知得，所以BC中点的坐标为,故所以BC所在直线方程为:，即．（2）由（1）得圆心到BC所在直线的距离为，所以弦BC的长度为．11．【题文】已知⊙C经过点、两点，且圆心C在直线上。（1）求⊙C的方程；（2）若直线与⊙C总有公共点,求实数的取值范围。【答案】（1)（2)试题解析:（1）解法1:设圆的方程为,则，所以⊙C方程为.解法2：由于AB的中点为，,则线段AB的垂直平分线方程为而圆心C必为直线与直线的交点，由解得，即圆心，又半径为，故⊙C的方程为。（2）解法1：因为直线与⊙C总有公共点，则圆心到直线的距离不超过圆的半径，即,将其变形得，解得.解法2：由，因为直线与⊙C总有公共点，则，解得。点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法;若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．12．【题文】（1）若抛物线的焦点是椭圆左顶点，求此抛物线的标准方程；（2）某双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求此双曲线的标准方程.【答案】（1);（2）。【解析】试题分析（1)求出椭圆的左顶点,设抛物线的方程为，可得焦点坐标，即可求解抛物线的方程；(2）求得椭圆的焦点，可设双曲线的方程为,根据渐近线的方程，得出关于的方程组，解得的值，进而得到双曲线的方程.试题解析:（1）椭圆左顶点为，设抛物线的方程为，可得，计算得出，则抛物线的标准方程为；(2）椭圆的焦点为，可设双曲线的方程为，则,由渐近线方程，可得，计算得出，则双曲线的方程为。13．【题文】已知椭圆方程为，离心率，且短轴长为4.（1)求椭圆的方程；（2）过点作一弦，使弦被这点平分，求此弦所在直线的方程.【答案】（1)；（2）。【解析】试题分析（1）根据椭圆的几何性质，求解出的值，即可得到椭圆的标准方程；(2）设斜率为，把直线方程代入椭圆的方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式，列出方程，即可求解的值,得到直线的方程。试题解析：（1）由已知得，，解得，椭圆的方程为;点睛：本题主要考查了椭圆标准方程的求解和直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，解答中熟记椭圆的标准方程和几何性质,以及利用方程的根与系数的关系是解答的关键.14．【题文】已知椭圆的左右焦点分别为，左顶点为,,椭圆的离心率.（1）求椭圆的标准方程;（2）若是椭圆上任意一点，求的取值范围。【答案】(1)；(2）。【解析】试题分析：（1）由题意可得到：，，从而写出椭圆的标准方程；

（2)设，利用向量的数量积即可得,结合，利用二次函数求最值即可.试题解析：(1)由已知可得所以因为所以所以椭圆的标准方程为：15．【题文】在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线交抛物线于（异于点），已知，直线交抛物线于另一点.（1)求抛物线的方程;（2）,求的值。【答案】（1)；(2）.【解析】试题分析：(1）由抛物线的焦点为,结合题意得抛物线方程;(2)已知直线代入抛物线方程:，消去，,得，直线与直线联立得得，由在抛物线上可解得.试题解析：(1）由题意，，所以,所以抛物线（2）已知直线代入抛物线方程：，消去,，得;.直线，代入抛物线方程：，,得.。由得，解得。16．【题文】已知椭圆（）的左右焦点分别为、，离心率.过的直线交椭圆于、两点，三角形的周长为。(1）求椭圆的方程；(2）若弦，求直线的方程。【答案】（1)；（2）。(2）设点的坐标为,的坐标为，的斜率为（显然存在）。.点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题，弦长问题,可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．17．【题文】已知椭圆（）的离心率，椭圆过点(1）求椭圆的方程；（2)直线的斜率为,直线与椭圆交于两点，已知,求面积的最大值。【答案】（1）;（2）2。【解析】试题分析:（1)根据椭圆的离心率和椭圆过点即可求出，则椭圆的方程可求;（2）设直线方程把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为的底，由点线距离公式求出的高,然后用基本不等式求最值．试题解析:（1)∵∴∵椭圆过点∴（2）。18．【题文】在直角坐标系中，已知中心在原点,离心率为的椭圆的一个焦点为圆：的圆心．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上一点，过作两条斜率之积为的直线,，当直线，都与圆相切时，求的坐标．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），或，或，或.【解析】试题分析：（1)圆心坐标是已知的，故椭圆的焦点是已知的，从而半焦距已知了，又有离心率，故半长轴长也能求出，从而求出，而根据题意,椭圆方程是标准方程，可其方程易得；(2）设P点坐标为，再设一条切线的斜率为，则另一条切线的斜率为，三个未知数需要三个方程，点P在椭圆上,一个等式,两条直线都圆的切线,利用圆心到切线的距离等于圆的半径又得到两个等式，三个等量关系，三个未知数理论上可解了，当然具体解题时,可设切线斜率为,则点斜率式写出直线方程，利用圆心到切线距离等于圆半径得出关于的方程，而是这个方程的两解，由韦达定理得，这个结果又是，就列出了关于P点坐标的一个方程，再由P点在椭圆上，可解出P点坐标．试题解析：（1）圆的标准方程为，圆心为，所以，又，，,而据题意椭圆的方程是标准方程，故其方程为．4分（2）设,得∵,依题意到的距离为整理得同理∴是方程的两实根10分12分∴14分16分19．【题文】已知函数．（1）求函数的单调区间．（2)若对恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1)单调增区间单调减区间（2)【解析】试题分析：（1）对函数求导，令，解不等式，即得到递增区间，令，解不等式,即得递减区间；(2）若对恒成立，即对恒成立，所以问题转化为求成立即可，即求函数在区间上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在上的最小值，于是可以求出的取值范围。试题解析：（1）令，解得或，令，解得：.故函数的单调增区间为，单调减区间为。（2)由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，，∴,∵对恒成立，∴，即，∴20．【题文】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点,且。（1）求该抛物线的方程;(2)已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且,判断直线是否过定点？并说明理由.【答案】（1）;（2)定点【解析】试题分析:（1)利用点斜式设直线直线的方程,与抛物线联立方程组，结合韦达定理与弦长公式求,再根据解得.（2）先设直线方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简，得或，代入方程可得直线过定点（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，设直线的方程为:,联立，得，则①。设，则