jk2015-2-系统数学模型

本章主要教学内容2.1物理系统建模初步2.2非线性系统模型的线性化2.5传递函数方框图及其化简2.4系统的传递函数*2.3拉氏变换及其反变换第二章

系统的数学模型1本节教学内容2.1.1系统数学模型的定义2.1.2系统建模的基础2.1.3一般物理系统建模本节教学要求1.知晓机电系统建模的基本要素3.学会建立质量-弹簧-

阻尼系统的数学模型2.熟悉机电系统建模的基本方法2.1

物理系统建模初步2数学模型定义：描述系统变量间及系统与环境间相互关系的动态特性的运动方程称为系统数学模型，也称为系统动力学方程或系统微分方程。2.1.1

数学模型的定义

建立数学模型的两种途径解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。2.1物理系统建模初步32.1.2

系统建模的基础机械系统建模三要素质量要素(惯性力)弹性要素(弹性力)K：弹性系数阻尼要素(摩擦力)B：粘性摩擦系数或阻尼系数2.1物理系统建模初步4

系统建模举例：机械平移系统确定系统输入、输出——输入(作用力)f，输出(质量位移)x。进行系统受力分析确定系统的零点：通常取为系统静止(平衡)工作点注意受力方向的一致性。建立系统力平衡方程(利用牛顿定律)，并整理：2.1物理系统建模初步5

系统建模举例：机械旋转系统确定系统输入、输出——输入(扭矩)T，输出(转角)；进行系统受力分析；建立系统扭矩平衡方程(利用牛顿定律)，并整理：2.1物理系统建模初步6电容电路系统建模三要素电阻电感2.1.2

系统建模的基础2.1物理系统建模初步7

系统建模举例——RLC串联网络电路确定系统输入、输出——输入(电压)Ui

，输出(电压)Uo。进行系统回路分析。建立系统电压、电流平衡方程(利用基尔霍夫定律)，并整理：2.1物理系统建模初步8

相似物理系统——具有相同形式数学模型的物理系统2.1物理系统建模初步92.1.3

一般物理系统建模划分环节写出每一环节(元件)的数学模型消去中间变量写成标准形式输出部分输入部分2.1物理系统建模初步10

机械系统建模举例建立微分方程受力分析A点：fc2+fk2=fc1B点：fc1=fk1建立元件运动方程x2.1物理系统建模初步11课后作业（75~76页）

思考题：2.1

作业题：2.2、2.4（只需列写微分方程）2.1物理系统建模初步122.2

非线性系统模型的线性化本节教学内容2.2.1典型的非线性特性2.2.2线性化问题的提出2.2.3线性化基本方法本节教学要求知晓线性和非线性系统的概念；了解非线性系统基本类型；体会非线性系统线性化的基本方法。

132.2.1典型的非线性特性饱和非线性死区非线性间隙非线性继电器非线性2.2非线性系统模型的线性化142.2.1典型的非线性特性饱和非线性2.2非线性系统模型的线性化15死区非线性2.2非线性系统模型的线性化间隙非线性162.2非线性系统模型的线性化2.2.2线性化问题的提出线性系统与非线性系统的区别线性系统线性系统可以用线性微分方程描述。线性系统满足迭加原理。举例：非线性系统非线性系统不能用线性微分方程描述。非线性系统不满足迭加原理。举例：【注】线性微分方程是系统变量及其各阶导数的一次方程。172.2非线性系统模型的线性化2.2.2线性化问题的提出为什么要进行线性化：一般的工程系统大多为非线性系统，而直接进行非线性系统的分析、设计十分复杂，且无统一的方法。对线性系统的分析、设计已有成熟的理论方法，并且线性系统满足迭加原理，便于分析。某些非线性系统模型的线性化已有成功经验和理论方法。线性化定义：将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。线性化的局限性：

对于本质非线性系统，如继电器非线性特性等，没有合适的线性化方法，只能实行非线性控制。对于可线性化的系统，其线性化模型适用的区间有限。182.2非线性系统模型的线性化2.2.3线性化方法非线性模型线性化的基本方法——小偏差线性化方法确定系统的平衡工作点；以系统变量相对于平衡点的增量或差，作为模型变量；以增量作为变量所得到的系统模型，即为系统的线性化模型。(该方法的实质是利用泰勒级数展开式，保留一次式，忽略高次项。)例1单摆动力学模型的线性化单摆非线性动力学模型单摆线性化动力学模型（以=0为系统额定工作点）(摆球粘性摩擦系数为)19本节教学内容2.3.1Laplace变换的定义2.3.2

Laplace变换的计算2.3.3

Laplace变换求解方程本节教学要求借助拉普拉斯变换建立起时域与复域的对应关系；熟悉拉氏正反变换的一般计算及重要性质；掌握用拉氏变换求解线性微分方程的基本方法。2.3

Laplace变换及其反变换202.3.1拉氏变换的定义设函数f(t)

满足：

f(t)

为实函数；当

t<0

时,f(t)=0；当t0

时,f(t)

的积分在s

的某一域内收敛2.3Laplace变换及其反变换则函数f(t)的拉普拉斯变换存在，并定义为：式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）；F(s)——称为函数f(t)

的拉普拉斯变换或象函数；f(t)——称为F(s)的象原函数；L

——

为拉氏变换的符号。212.3Laplace变换及其反变换拉氏变换的存在条件：若函数

f(t)

满足下列条件:在的任一有限区间上分段连续；当时，存在常数M>0及，使得成立，则f(t)

的拉氏变换在半平面Re(s)>c

上一定存在，而且为一致收敛，且为解析函数。拉氏反变换的定义：

其中L－1为拉氏反变换的符号。2.3.1拉氏变换的定义222.3Laplace变换及其反变换2.3.2拉氏变换的计算计算举例指数函数的拉氏变换被积函数（a为常数）由定义计算拉氏变换232.3Laplace变换及其反变换2.3.2拉氏变换的计算计算举例三角函数的拉氏变换被积函数（为常数）由定义计算拉氏变换(利用欧拉公式简化积分计算)同理可得242.3Laplace变换及其反变换计算举例单位脉冲函数的拉氏变换单位脉冲函数定义(表示为长度为1的有向线段)(取样性质)单位脉冲函数性质(也可直接利用取样性质计算)单位脉冲函数变换252.3Laplace变换及其反变换计算举例单位阶跃函数的拉氏变换单位阶跃函数由定义计算拉氏变换262.3Laplace变换及其反变换计算举例单位速度（斜坡）函数的拉氏变换单位速度函数由定义计算拉氏变换272.3Laplace变换及其反变换2.3.2拉氏变换的计算拉氏变换的重要性质线性性质*（包括叠加性质和比例性质）叠加性质比例性质282.3Laplace变换及其反变换拉氏变换的重要性质微分性质*微分性质证明（利用分步积分）微分性质292.3Laplace变换及其反变换拉氏变换的重要性质微分性质*多重微分设则多重微分性质证明微分性质常用形式当初始条件时，则有借助该性质，可将时域中的线性微分方程转换成复域中的代数方程。302.3Laplace变换及其反变换拉氏变换的重要性质积分性质积分性质若则又设，则积分性质证明积分性质一般形式312.3Laplace变换及其反变换拉氏变换的重要性质位移性质位移性质若则位移性质证明原函数乘以指数函数e-at

等于其像函数在复数域中作位移a。举例322.3Laplace变换及其反变换拉氏变换的重要性质延时性质延时性质证明原函数平移

等于其像函数乘以e-s延时性质若，且>0，则332.3Laplace变换及其反变换拉氏变换的重要性质初值定理初值定理证明函数f(t)在t=0处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值相等。初值定理若且存在则有342.3Laplace变换及其反变换拉氏变换的重要性质终值定理终值定理终值定理证明原函数f(t)的稳态值可由sF

(s)在s趋于0处的取值求出。35拉氏反变换方法部分分式法:将F(s)分解成若干简单函数之和，分别求各简单函数的逆变换即可求出相应的f(t)。2.3Laplace变换及其反变换2.3.2拉氏变换的计算362.3Laplace变换及其反变换利用单位阶跃函数拉氏变换和拉氏变换的比例、位移性质拉氏反变换方法部分分式法——举例求拉氏反变换将F(s)写成部分分式展开形式:372.3Laplace变换及其反变换公式法:

设，其中A(s)、B(s)是不可约多项式，A(s)、B(s)的阶数分别是m、n，且m<n，则有

B(s)有n个互异的单零点s1,s2,…,sn,则若s1是B(s)的一个q阶零点,sq+1,sq+2,…,sn是B(s)的单零点,则重零点部分单零点部分382.3Laplace变换及其反变换拉氏反变换方法公式法:举例求拉氏反变换由

B(s)=s(s+1)(s+3)=0，得B(s)零点:s1=0,s2=-1,s3=-3求B(s)的零点由单零点公式法,求F(s)的反变换392.3Laplace变换及其反变换拉氏反变换方法公式法:举例求拉氏反变换由

B(s)=s(s-1)2=0，得B(s)零点：s1=s2=1，s3=0求B(s)的零点由重零点公式法,求F(s)的反变换402.3Laplace变换及其反变换将微分方程通过拉氏变换变为

s

的代数方程；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。2.3.3拉氏变换求解微分方程412.3Laplace变换及其反变换例线性微分方程，初始条件方程两边拉氏变换代入初始条件展开成部分分式求拉氏反变换终值定理校验422.3Laplace变换及其反变换2.求下列函数的拉氏逆变换①

3.对微分方程

通过拉氏变换，求Y(s)/R(s)1.求下列函数的拉氏变换式②

课后作业4.已知f(t)的拉氏变换式

求f(t)的稳态值f()，并分析此时a应满足什么条件。43传递函数是古典控制理论最基本的数学工具

本节教学内容2.4.1传递函数的定义2.4.2传递函数的零、极点和放大系数2.4.3典型环节的传递函数本节教学要求1.明确传递函数的定义3.熟悉典型环节及其传递函数的形式2.理解传递函数零点、极点和放大系数的概念2.4

系统的传递函数442.4.1传递函数的定义式中，Xi(s)

：系统输入量的拉氏变换；Xo(s)：系统输出量的拉氏变换。传递函数的定义

：在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比：零初始条件:输入量施加于系统之前，系统处于平衡工作状态，即t<0时，系统输出量及其各阶导数均为0。G(s)Xi(s)X0(s)2.4系统传递函数452.4系统传递函数举例求图示机械系统传递函数系统建模mxo两边同取拉氏变换设由定义求传递函数xoximck462.4系统传递函数系统传递函数的一般形式系统微分方程一般形式微分方程拉氏变换(初始条件为零)系统的传递函数472.4系统传递函数系统传递函数的主要特点传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性，传递函数的分子反映系统与外界之间的关系——系统传递函数与输入信号无关！对于给定的输入，系统的输出完全取决于系统的传递函数——传递函数的零初始状态性质！传递函数分母的阶数n必不小于分子的阶数m

——

物理系统必是一个因果系统！传递函数的量纲取决于系统输出与输入的量纲比——

传递函数的物理意义！物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同类型的传递函数——传递函数的抽象性与通用性！482.4系统传递函数多项式形式的传递函数零极点形式的传递函数传递函数零点极点放大系数使G(s)=0的点zj

(j=1,2,…,m)，称为G(s)的零点——影响瞬态响应曲线的形状；使

的点

pi

(i=1,2,…,n)，称为G(s)的极点——它决定瞬态响应的类型，决定系统的稳定性；称为G(s)的放大系数

——决定系统响应的稳态值或稳态精度。2.4.2传递函数的零、极点和放大系数492.4系统传递函数零点、极点分布图——将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形.零点用“O”表示极点用“×”表示传递函数的局限性传递函数只适用于线性定常系统；只适合于单输入单输出系统的描述；无法描述系统内部中间变量的变化情况；传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律。2.4.2传递函数的零、极点和放大系数502.4系统传递函数典型环节的概念2.4.3典型环节的传递函数任何一个复杂的高阶系统传递函数，其分子、分母多项式均可分解成一系列一次因式和二次因式的乘积,这些一、二次因式因为各有其特点而被称之为典型环节。因此一个高阶系统的传递函数其实是由这些典型环节组合而成的。典型环节实质上是根据微分方程划分的，它不一定是某个具体的物理装置或元件，其既可以是某个元件部分运动特性的表述，也可以是几个元件协调运动综合效果的体现。同一元件根据其在系统中的不同作用，可以用不同的环节特性进行描述。51放大环节传递函数放大环节微分方程(K:环节的放大系数)2.4系统传递函数放大环节/比例环节——也称为无惯性环节、零阶环节，是一种最简单的环节，其特点是环节的输出与输入始终成比例。弹簧、杠杆、可调电阻、比例放大器等都可看成比例环节。举例齿轮传动副——xi

、xo分别为输入、输出轴转速,z1、z2

分别为输入和输出齿轮齿数。不考虑齿轮的弹性变形、转动惯量及传动间隙，该传动副应满足即xiz1xoz2522.4系统传递函数惯性环节——惯性环节的动力学方程为一阶微分方程，也称为一阶惯性环节；惯性环节由储能元件和耗能元件构成；惯性环节输出滞后于输入，不能立即复现突变的输入。惯性环节传递函数惯性环节微分方程T——环节的时间常数532.4系统传递函数惯性环节——举例弹簧-阻尼系统阻尼器活塞受力分析C——阻尼器系数

k——弹簧刚度微分方程传递函数弹簧为储能元件，阻尼器为耗能元件。54微分环节——

微分环节的输出与输入的变化率成正比；理想的微分环节属于非因果系统，使输出超前于输入；微分环节可增加系统的阻尼，因而可改善系统的动态性能；微分环节对躁声敏感；实际的微分环节通常存在惯性。微分环节传递函数微分环节微分方程(T——微分环节时间常数)2.4系统传递函数55微分环节——举例RC微分网络-+cR2R1uiuoii1微分方程传递函数由于i1与i的等式只是近似的，所以该微分关系也只是近似的.2.4系统传递函数562.4系统传递函数微分环节——举例机械-液压阻尼器传递函数只有当|Ts|<<1时，该阻尼器可近似为微分环节。微分方程油缸力平衡方程节流阀流量方程系统微分方程572.4系统传递函数积分环节——

积分环节的输出是其当前和过去输入的累加；积分环节具有“记忆”功能：即使当前输入为0，其输出也可维持不变。积分环节可用于改善系统的稳态性能；积分环节具有明显滞后作用，会使系统反应“迟钝”。积分环节传递函数积分环节微分方程(T——积分环节时间常数)582.4系统传递函数积分环节——举例柱塞缸系统柱塞缸微分方程

q——输入流量

x

——柱塞位移

A——柱塞工作面积传递函数体会积分环节的“记忆”作用！Axq592.4系统传递函数积分环节——举例积分运算放大器微分方程

ur——输入电压

uc

——输出电压传递函数体会积分环节的“记忆”作用！602.4系统传递函数二阶振荡环节——振荡环节的动力学方程是二阶微分方程，属于二阶环节；振荡环节的响应特性取决于其无阻尼固有频率n和阻尼比

0<<1二阶环节为振荡环节；

1

二阶环节为两个一阶惯性环节的组合。振荡环节存在不同形式的储能元件，振荡过程就是元件间能量转换的过程。二阶振荡环节传递函数二阶振荡环节微分方程n:无阻尼固有频率;T:振荡环节的时间常数，T=1/n；:阻尼比.（常用形式）612.4系统传递函数cJMθk扭转惯量-阻尼-弹簧系统振荡环节——举例1

图示为一作旋转运动的扭转惯量-阻尼-弹簧系统。在转动惯量为J的转子上带有叶片与弹簧，其弹簧扭转刚度与粘性系数分别为k与c。输入为外扭矩M，输出为转子转角θ。微分方程式中当0≤ξ＜1，输出为一振荡过程，此时系统为振荡环节.传递函数622.4系统传递函数uiCiRLuoRiciL振荡环节

——举例2

图示为电感L、电阻R与电容C的串、并联线路，ui为输入电压，uo为输出电压。消去中间变量微分方程式中LRC电路与惯量-阻尼-弹簧的机械系统相似.传递函数632.4系统传递函数课后作业（77页）思考题：2.8、2.14

作业题：2.7（1）、（4）；2.964本节教学内容2.5.1传递函数方框图2.5.2传递函数方框图的等效变换

2.5.3控制系统的传递函数本节教学要求1.理解传递函数方框图的构成及相关概念3.掌握扰动作用下的传递函数方框图的运算2.掌握传递函数方框图等效变换的方法2.5

传递函数方框图及其化简652.5.1传递函数方框图结构方框图(按功能划分说明系统工作原理)函数方框图(数学模型的图解形式)两种方框图的比较2.5传递函数方框图及其化简662.5.1传递函数方框图2.5传递函数方框图及其化简方框图的构成要素信号引出点(线)/测量点表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。信号线672.5传递函数方框图及其化简方框图的构成要素函数方框具有运算功能，即输入信号与函数方框相乘。函数方框(环节)相加点/比较点/综合点用符号“

”及相应的信号箭头表示.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。相邻求和点可以互换、合并、分解（也就是代数运算的交换律、结合律和分配律）。求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。682.5传递函数方框图及其化简

框图等效变换的化简法n个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传递函数的乘积。串联运算规则同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递函数之和。并联运算规则2.5.2传递函数方框图的等效变换692.5传递函数方框图及其化简前向通路传递函数:G(s)=Xo(s)/E(s)反馈通路传递函数:H(s)=B(s)/Xo(s)

开环传递函数:Gk(s)=B(s)/E(s)=G(s)H(s)比较点:Xi(s)-B(s)=E(s)(负反馈)

Xi(s)+B(s)=E(s)(正反馈)反馈运算规则(负反馈)(正反馈)2.5.2传递函数方框图的等效变换（化简法）702.5传递函数方框图及其化简基于相加点的化简1相加点分解相加点交换相加点前移相加点后移712.5传递函数方框图及其化简基于分支点的化简交换分支点交换分支点、相加点分支点前移分支点后移A722.5传递函数方框图及其化简把几个回路共用的线路及环节分开，使每一个局部回路、及主反馈都有自己专用线路和环节。确定系统中的输入、输出量，把输入量到输出量的一条线路列成方块图中的前向通道。通过比较点和引出点的移动消除交错回路。先求出串、并联环节和具有局部反馈环节的传递函数，然后求出整个系统的传递函数。方框图的化简原则732.5传递函数方框图及其化简

框图等效变换的化简法举例