山西省运城市河东第一中学2021年高三数学文联考试题含解析

山西省运城市河东第一中学2021年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α等于 ()参考答案：A略2.若将函数f（x）=1+sinωx（0＜ω＜4，ω∈Z）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，且y=g（x）的图象的一条对称轴方程为x=，则分f（x）的最小正周期为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数图象的对称性，求得ω的值，进而利用正弦函数的周期公式即可计算得解．【解答】解：将函数f（x）=1+sinωx的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的解析式为：y=g（x）=sin[ω（x﹣）]+1=sin（ωx﹣）+1，∵y=g（x）的图象的一条对称轴方程为x=，∴ω﹣=kπ+，k∈Z，解得：ω=6k+3，k∈Z，∵0＜ω＜4，∴ω=3，可得：f（x）=1+sin3x，∴f（x）的最小正周期为T=．故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数图象的对称性，三角函数周期公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．3.在n元数集S={a1，a2，…an}中，设X（S）=，若S的非空子集A满足X（A）=X（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为fs（k），已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，则下列说法错误的是（）A．fs（4）=fs（5） B．fs（4）=fT（5）C．fs（1）+fs（4）=fT（5）+fT（8） D．fs（2）+fs（3）=fT（4）参考答案：D【考点】子集与真子集．【分析】根据新定义求出k元平均子集的个数，逐一判断．【解答】解：X（S）=5，将S中的元素分成5组（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5）．则fS（1）==1，fS（2）==4，fS（3）=?=4，fS（4）==6，fS（5）=?=6，同理：X（T）=0，将T中的元素分成5组（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3），（4，﹣4），（0）．则fT（1）==1，fT（2）==4，fT（3）=?=4，fT（4）==6，fT（5）=?=6，fT（8）==1，∴fS（4）=fS（5）=6，fS（4）=fT（5）=6，fS（1）+fS（4）=fT（5）+fT（8）=7．故选：D．4.如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，点在射线上，则的最小值为A．

B．C．

D．参考答案：B5.已知，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B6.已知和是平面上的两个单位向量，且，，若O为坐标原点，均为正常数，则的最大值为(

)A． B．

C．

D．参考答案：A略7.函数f（x）=?cosx的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值，问题得以解决．【解答】解：f（﹣x）=?cos（﹣x）=?cosx=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，当x∈（0，）时，cosx＞0，＞0，∴f（x）＞0在（0，）上恒成立，故选：C【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，，点D是边BC的中点，且，则△ABC的面积为A．

B．

C．或

D．或参考答案：D9.（04年全国卷IV）△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=

（

）

A． B．

C．

D．参考答案：答案：B10.已知函数f（x）=+a，若f（x）是奇函数，则a=（）A．0 B． C． D．参考答案：B考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的定义f（x）+f（﹣x）=0，x=1，特殊值求解即可．解答：解：∵函数f（x）=+a，f（x）是奇函数，∴f（1）+f（﹣1）=0，即++a=0，2a=1，a=，故选：B点评：本题考查了奇函数的定义性质，难度很小，属于容易题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量、的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于

．参考答案：12.某同学对函数进行研究后，得出以下结论：①函数的图像是轴对称图形；②对任意实数，均成立；③函数的图像与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④当常数满足时，函数的图像与直线有且仅有一个公共点.其中所有正确结论的序号是

▲

．参考答案：①②④①，所以函数是偶函数，所以关于轴对称，所以①正确。②，所以②正确。③由，得或，所以,所以任意相邻两点的距离不一定相等，所以③错误。④由，即，因为，所以，所以必有，所以函数的图像与直线有且仅有一个公共点，所以④正确。所以所有正确结论的序号是①②④。13.曲线在点(0,1)处的切线的方程为

．参考答案：

14.在的展开式中x的系数是__________.（用数字作答）参考答案：-5615.若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体的体积是▲，此多面体外接球的表面积是▲.参考答案：3解:三视图复原几何体如图：是正方体去掉一个角后的几何体，它的外接球就是展开为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的体对角线的长度，体对角线的长度为：，所以外接球的半径为：；所以外接球的表面积为：=3π．16.设定义在R上的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有5个不同实数解，则实数a的取值范围是．参考答案：a＜﹣1且a≠﹣2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．分析：作函数f（x）=的图象，从而利用数形结合知x2+ax+b=0有2个不同的正实数解，且其中一个为1，从而可得﹣1﹣a＞0且﹣1﹣a≠1；从而解得．解答：解：作函数f（x）=的图象如下，，∵关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有5个不同实数解，∴x2+ax+b=0有2个不同的正实数解，且其中一个为1；故1+a+b=0，故b=﹣a﹣1，故x2+ax+b=x2+ax﹣1﹣a=（x﹣1）（x+1+a）=0，故﹣1﹣a＞0且﹣1﹣a≠1；故a＜﹣1且a≠﹣2；故答案为：a＜﹣1且a≠﹣2．点评：本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用，同时考查了因式分解的应用．17.有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜驿，则猜对者是_____________.参考答案：丙三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某中学对某班50名学生学习习惯和数学学习成绩进行长期的调查,学习习惯和数学成绩都只分良好和一般两种情况，得到的统计数据（因某种原因造成数据缺省，现将缺省部分数据用表示）如下表所示:

数学成绩良好数学成绩一般合计学习习惯良好2025学习习惯一般21合计24

(1)在该班任选一名学习习惯良好的学生，求其数学成绩也良好的概率。(2)已知A是学习习惯良好但数学成绩一般的学生，B是学习习惯一般但数学成绩良好的学生，在学习习惯良好但数学成绩一般的学生和学习习惯一般但数学成绩良好的学生中，各选取一学生作代表，求A、B至少有一个被选中的概率。参考答案：由已知：……………2分（1）从学习习惯良好的学生中任选一人共有25种情况，而数学成绩良好的共有20种情况∴…………4分（2）记A、B至少有一个被选中为事件T记除A外其他学习习惯良好但数学成绩一般的同学分别为除B外其他学习习惯一般但数学成绩良好的同学分别为，则选人所有可能有：

共20个结果

……………6分其中中含,共8个结果………7分

…………8分(3)

………………11分∴我们有99.9%的把握认为“该班学生的学习习惯与数学学习成绩”有关系

………12分19.（本小题满分12分）已知函数(其中).（Ⅰ）若为的极值点,求的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,解不等式.参考答案：(Ⅰ)因为因为为的极值点,所以由,解得检验,当时,,当时,,当时,.所以为的极值点,故.

……………4分(Ⅱ)当时,不等式,整理得,即或

令,,,当时,；当时,,所以在单调递减,在单调递增,所以,即,所以在上单调递增,而；故；,所以原不等式的解集为.

……………12分20.如图，在三棱锥中，平面平面，于点，且，，

（Ⅰ）求证：（Ⅱ）（Ⅲ）若，，求三棱锥的体积．

参考答案：解：（Ⅰ），……2分

………………3分（Ⅱ）因为平面平面，且平面平面，平面，，所以平面，

……………6分又平面，所以平面平面．…………7分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面．法一：中，，由正弦定理，得，因为，所以，则，因此，

…………8分△的面积．

…………10分所以三棱锥的体积．

…………12分法二：中，，，由余弦定理得：，所以，所以．

…………………8分△的面积．

……………10分所以三棱锥的体积．

……12分

略21.（本小题13分）已知椭圆：的离心率，是椭圆上两点，是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于两点.（1）求直线的方程；（2）是否存在这样的椭圆，使得以为直径的圆过原点？若存在，求出该椭圆方程；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）离心率，椭圆：设直线的方程为，整理得

①

②

由是线段AB的中点，得

解得，代入②得，

直线的方程为（2）∵垂直平分，∴直线的方程为，即，代入椭圆方程，整理得

又设

∴假设存在这样的椭圆，使得以为直径的圆过原点，则得，又故不存在这样的椭圆.22.（本小题满分15分）

已知函数，（Ⅰ）若，且关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围；（Ⅱ）设函数，满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与无关.试求的取值范围．参考答案：解：(1)令，，因为，所以，所以关于的方程有两个不同的正数解等价于关于的方程有相异的且均大于1的两根，即关于的方程有相异的且均大于1的两根，…………………2分所以，…………………4分解得，故实