山西省运城市博爱中学2023年高二数学文下学期期末试题含解析

山西省运城市博爱中学2023年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f(x)的导函数为，且，则＝(

)A.0 B.－4 C.－2 D.2参考答案：A【分析】由题意首先求得的值，然后利用导函数的解析式可得的值.【详解】由函数的解析式可得：，令可得：，解得：，即，故.故选：A.【点睛】本题主要考查导数的运算法则及其应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是A.

B.

C.

D.参考答案：D3.用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：数学归纳法．专题：常规题型．分析：直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可．解答： 解：用数学归纳法证明（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式为：；故选B．点评：在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．4.三角形ABC周长等于20，面积等于，则为

（

）A．5

B．7

C．6

D．8

参考答案：B5.直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于

()A．2B．2

C.

D．1参考答案：B略6.已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．24 B．8 C． D．参考答案：B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；基本不等式．【分析】根据向量共线定理列出方程，得出2x+3y=3，再求的最小值即可．【解答】解：∵∥，∴﹣2x﹣3（y﹣1）=0，化简得2x+3y=3，∴=（+）×（2x+3y）=（6+++6）≥（12+2）=8，当且仅当2x=3y=时，等号成立；∴的最小值是8．故选：B．7.已知A(1,－2,3)，B(4,－4,－3)，则向量在向量＝(6,2,3)的方向上的投影是A．－

B．－

C．

D．参考答案：B8.下列关于直线与平面的命题中，正确的是（

）．若且，则

．若且，则C．若且，则

D．且，则

参考答案：B略9.已知,,，则(

)A. B.C. D.参考答案：D【分析】运用中间量比较，运用中间量比较，即可得到结果.【详解】，又，即本题正确选项：【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．10.已知复数z1＝3＋i,

z2＝2－i,则z1z2在复平面内对应的点位于(▲)A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将,,由大到小排列为__________.

参考答案：＞＞.本题考查指数函数与幂函数的综合运用.注意到＜0,而＞0,＞0;又因为=,且y=在［0,+∞）上是增函数,所以＜.综合得＞＞.12.下面给出三个类比推理命题（其中为有理数集，为实数集，为复数集）；

①类比推出

②类比推出,若③类比推出其中类比结论正确的序号是_____________（写出所有正确结论的序号）参考答案：

①②13.数列的前项的和，则

．参考答案：14.动圆x2+y2﹣（4m+2）x﹣2my+4m2+4m+1=0的圆心的轨迹方程是

．参考答案：x﹣2y﹣1=0（x≠1）略15.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：.记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则___.参考答案：2059【分析】将数列排列成杨辉三角数阵，使得每行的项数与行的相等，并计算出每行的各项之和，然后确定数列第所处的行数与项的序数，然后利用规律将这些项全部相加可得答案。【详解】将数列中的项从上到下，从左到右排成杨辉三角形数阵，如下所示：使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为，设位于第，则，所以，，且第行最后一项在数列中的项数为，所以，位于杨辉三角数阵的第行第个，第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为，依此类推，第行各项的和为，因此，

，故答案为：。【点睛】本题考查合情推理，考查二项式系数与杨辉三角，解决这类问题关键在于确定所找的项所在杨辉三角所处的位置，并利用规律来解题，考查推理论证能力与计算能力，属于难题。

16.已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线3x﹣4y+20=0相切，则r=

．参考答案：4【考点】圆的切线方程．【分析】由圆的方程求出圆心坐标，直接用圆心到直线的距离等于半径求得答案．【解答】解：由x2+y2=r2，可知圆心坐标为（0，0），半径为r，∵圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线3x﹣4y+20=0相切，由圆心到直线的距离d==4，可得圆的半径为4．故答案为：4．17.设复数，，在复平面上所对应点在直线上，则=

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数（1）求函数的极大值和极小值（2）直线与函数的图像有三个交点，求的范围参考答案：解：（1）

0-0

+

极大

极小

,（2）略19.(本题满分12分)已知函数. （1）若函数有极值，求实数的取值范围；（2）当有两个极值点（记为和）时，求证参考答案：（Ⅰ）由已知得，且有

在方程中，①当，即时，恒成立，此时在上单调递增，∴函数无极值；②当，即时，方程有两个不相等的实数根：，且∵，∴20.已知函数f（x）=alnx﹣x2．（1）当a=2时，求函数y=f（x）在[，2]上的最大值；（2）令g（x）=f（x）+ax，若y=g（x））在区间（0，3）上为单调递增函数，求a的取值范围；（3）当a=2时，函数h（x）=f（x）﹣mx的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，又h′（x）是h（x）的导函数．若正常数α，β满足条件α+β=1，β≥α．试比较h'（αx1+βx2）与0的关系，并给出理由．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=2时，利用导数的符号求得函数的单调性，再根据函数的单调性求得函数y=f（x）在[，2]上的最大值；（2）先求得g′（x）=﹣2x+a，因为g（x）在区间（0，3）上单调递增，所以g'（x）≥0在（0，3）上恒成立，运用参数分离和函数的单调性，求得右边函数的范围，由此可得a的范围；（3）h′（αx1+βx2）＜0．理由：由题意可得，f（x）﹣mx=0有两个实根x1，x2，化简可得m=﹣（x1+x2），可得h'（αx1+βx2）=﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）=﹣﹣+（2α﹣1）（x2﹣x1），由条件知（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0，再用分析法证明h′（αx1+βx2）＜0．【解答】解：（1）∵f（x）=2lnx﹣x2，可得，函数f（x）在[，1]是增函数，在[1，2]是减函数，所以f（1）取得最大值，且为﹣1；

（2）因为g（x）=alnx﹣x2+ax，所以g′（x）=﹣2x+a，因为g（x）在区间（0，3）上单调递增，所以g'（x）≥0在（0，3）上恒成立，即有a≥在（0，3）的最大值，由y=的导数为y′=＞0，则函数y=在（0，3）递增，可得y＜，则a≥；（3）由题意可得，h′（x）=﹣2x﹣m，又f（x）﹣mx=0有两个实根x1，x2，∴2lnx1﹣x12﹣mx1=0，2lnx2﹣x22﹣mx2=0，两式相减，得2（lnx1﹣lnx2）﹣（x12﹣x22）=m（x1﹣x2），∴m=﹣（x1+x2），于是h'（αx1+βx2）=﹣2（αx1+βx2）﹣m=﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）=﹣﹣+（2α﹣1）（x2﹣x1），∵β≥α，∴2α≤1，∴（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0．可得h′（αx1+βx2）＜0．要证：h′（αx1+βx2）＜0，只需证：﹣＜0，只需证：﹣ln＞0．（*）

令=t∈（0，1），∴（*）化为+lnt＜0，只证u（t）=+lnt即可．∵u′（t）=+=﹣=，又∵≥1，0＜t＜1，∴t﹣1＜0，∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上单调递增，故有u（t）＜u（1）=0，∴+lnt＜0，即﹣ln＞0．∴h′（αx1+βx2）＜0．21.（13分）已知等差数列满足：，，的前n项和为．（1）求及；（2）令(nN*)，求数列的前n项和．参考答案：（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以有，解得，所以；==..。。。。。。。6分（2）由（1）知，所以bn===，所以==，即数列的前n项和=.。。。。。。。。。。。13分22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立坐标系，两个坐标系取相同的单位长度．已知直线l的参数方程为，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，时，求的值．参考答案：（1）y2＝4x；（2）45°或135°.【分析】（1）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，两边同乘ρ结合，即可；（2）由直线的参数方程观察得直线过定点(1,0)，用点斜式设直线方程联立曲线C方程，用弦长公式求出弦长，列方程求出直线斜率，然后解出.【详解】（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，∴ρ2sin2θ＝4ρcosθ，∵ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x．（2）∵直线l的参数方程为参数，0＜a＜π），∴tanα＝，直线过（1，