【高中数学】第4章 4.4 数学归纳法

000000004.4*

数学归纳法素养目标

学科素养了数归纳法的原理(点、难)．握用数学归纳法证明问题的一般方法与步骤．(点)用学归纳法证明一些数学命题点

1.学抽象；2逻辑推理；3数学运算情境导学往一匹健壮的骏马身上放一根稻草，马毫无反应；再添加一根稻草，马还是丝毫没有感觉；又加一根……一直往马身上添稻草，当最后一根轻飘飘的稻草放到了马儿身上后，骏马竟不堪重瘫倒在地．这在社会学里，取名为“稻草原理”．这其中蕴含着一种怎样的数学思想呢？．数学归纳法的定一般地，证明一个与正整数n有的命题，可按下步骤进行：归纳奠基证明当n＝(∈*)时命题成立；归纳递推以“当＝k(∈*，kn)命题成立”为条件，推出“当n＋1时题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开的所有正整数都立，这种证明方法称为数学归纳法．．数学归纳法的框表示判断正确的打“√”，错误的打“×．与自然数n有的题都可以用数学归纳法来证明×)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用进行假设×)

用数学归纳法证明等式时，由nk到n＋1等式的项数一定增加了一项(×)．式子＋k＋k2…＋nA．1C．＋k＋k

(nN*，当n＝时式子的值为B)B．＋kD．上不对．用数学归纳法证明≥n3(≥，n∈*时，第一步验证()A．n＝C．＝3

B．＝D．n4C解析：由题知的最小值为，所以第一步验证n否成立．．用数学归纳法证明关于n的等式时，当n＝k时表达式为14＋×7…k＋＝k＋2，则当＝k＋1时表达式_×＋2×7＋k(3k＋1)(k＋1)(3k＋＝(＋1)(＋2)解析：k更为＋．式子＋3＋5…(2n1)＝(＋2

，当＝1，右边的式子为_．＋1)

解析：＝1时式子变“＋3＝(12

”，故右边的式子(＋

【例】用数学归纳法证明1＋×＋5＋…＋(2－×

n

n

n－3)∈*

01－－1…－即－－1…＝11－－01－－1…－即－－1…＝11－－－1…证明：(1)当n时，左边＝，右边2(2－3)＋3，边＝右边，所以等式成立．假设当＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3＋×

＋＋(2k－×

＝2

k－3)则当n＋1时，＋×2＋5

＋＋(2k－×1

＋＋×

k＝2

k－＋＋＋×2

＝2

k－＋3

k＋1)－3]，即当＝k＋，等式也成立．由1)(2)知，等式对任∈N*成立．用数学归纳法证明等式时，一是弄清取一值时式两端项的情况；二是弄清从n＝k到＝k＋1等两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时论也成立，要设法将待证式与所作假设建立联系，并向n＋时明目标表达式进行变形．用数学归纳法证明：1111345＋

＝(∈*)．＋2证明：(1)当n时，左边＝－＝，3右边＝＝，式成立．＋3假设n(k∈*)时，等式成立，111245＋2＋在上式两边同时乘

－k＋3

得1111345＋2＋＝

－＝＝＝，k＋2＋3＋即当＝k＋等式成立．由1)(2)可知对任何n∈N*等式都成立．

111【例】用数学归纳法证明：＋＋…＋－＋－＋＋－(n∈N*)．1232122－12证明：(1)当n时，左边＝，右边1＝，左>右边，所以不等式成立2假设当n(∈N*)时，不等式成立，111即＋＋＋>1－＋－＋…＋－321k－12k则当＝k＋，＋＋…＋＋32111>1＋－＋…＋－＋342k2k111>1＋－＋…＋－＋342k2k1111＝1＋－＋…＋－＋－，k－1k即当＝k＋，不等式也成立．由1)(2)知，不等式对何∈N*都立．用数学归纳法证明不等式需要注意：．在归纳递推证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．．在推证“n＝k＋1时等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩、变形，便于应用所作假设，变换出要证明的结论．1n用数学归纳法证明：＋＋＋＋(nN*)．312证明：(1)当n时，左边＝，右边＝，不式成立．假设当n(∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋＋>31111则当＝k＋1＋＋＋…＋＋＋＋…>＋＋＋…32k1＋1k12k12k12

1＋＋21＋＋2＋

k11k>＋＋＋＋＝＋(2k21)2k＋1＝.∴当＝k＋，不等式成立．由1)(2)可知，不等式任何∈*立．【例】求证a

n

＋(a＋1)2n

1

能被

＋＋1整除．其中n∈*a∈R)证明：(1)当n时，a＋(a1＝a＋a＋1显然能被a＋a＋1整，命题成立假设当n(∈N*)时，

1

能被＋a除．则当＝k＋，2＋(1)1＝a1＋1)(a＋2＝[ak＋a＋2k]＋a＋1)(a＋1)2k1－a2k＝a[1(a1)2k]＋(a2＋a1)(＋1)1

上式能被2a＋1整，即当＝k＋，命题成立．由1)(2)知，对一切n∈N*a∈，题都成立．证明整除问题的关键是凑项，即采取增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出＝k时的情形，从而利用归纳递推使问题得以解决．用数学归纳法证明：若f(n)×2n11

，则f)能被整除．∈N*)证明：(1)当n时，f(1)3×5＋

＝×23∴能被除，命题成立．假设n(k∈*)时，f)＝31＋23k

能被整．则n＋时，f＋＝3×523

n1n12n1n12＝52

×3×521＋3＝×3×18×3k＝×3×18×(3×21＋)＝×3×1＋8f(k)．因为f()能被整除，173×52k

1

也能被17整，所以fk＋1)能被整．由1)(2)可知，对任意∈*f(n)能被整除．．用数学归纳法证明等式1＋＋＋＋n3)＝(∈*时，第一步验证＝1时，左边应取的项是)A．1C．＋2＋

B．＋D．1＋3＋D解析由数学归纳法的证明步骤可知：当n时等式的左边是12＋(1＝1＋23＋4.故选．．数学归纳法证明f＝n2>0(n5∈*时应先证()A．C．f

B．fD．(5)>0D解析利数学归纳法证明fn)＝2nn∈N*时，第一步应该先证明n时命题成立，即f＝－>0.选D．．明命题“凸n边内角和等于－”，n取的第一个值是()A．1C．

B．2D．C解析：＝3时凸n边就是三角形，而三角形的三个内角和等于，所以命题成立．故选．111用学归纳法证1＋－…＋－＝＋＋…＋第一步应验证34nn＋1＋的等式是；从“n＝k”到“＝k＋1”左边需增加的等式是．11－＝－解析当n时应当验证的第一个式子是－＝，从221“n”到“＝k＋1”左边需增加的等式是－2．数列{}＝1且a＝a＋求出，，；

n1n1n213241n1n1n213241归纳出数列{}通项公式，并用数学归纳法证明归出的结论．解：由a＝a＝a＋

知：351＝a＋＝，a＝a＋＝，＝a＋＝.××33×4n－猜想数列{}通公式为＝，nn证明如下：×－1①当＝1时左边＝a＝，右边＝＝1∴左边＝右边，即猜想成立；2－②假设当n＝k时猜想成立，即有a＝，k那么当＝k＋1时a＝＋

2－1k＋12＝＋＝＝，kkk＋k从而猜想对＝k＋1也立．n－1由①②可知，猜想对任意的nN*都成立，所以数列{}通项公式为＝nn．数学归纳法只能用来证明与正整数有关的命题，其原理类似于不等式的传递性．．要认识到用数学归纳法证题时，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两缺一不可．．应用数学归纳法证题时，关键是证明n＝＋时命，要想证好这一步，需明确以下两点：一是要证什么，二是n＝＋时命题与所作假设的区别是什么．明确了这两点，也就明确了这一步的证明方向和基本方法．．有关“和式”或“积式”，一定要“数清”是多少项的和或积，以准确确n由n＝k变到＝k＋1时和”或“积”的情况．

课时分层作业十)数学归纳法钟分基础对点练基础考点分训练知识点用数学归法证明等式分用数学归纳法证明等式＋＋＋…＋(＋＝(n∈N*)时第步验证＝，左边应取的项()A．1C．＋2＋

B．＋D．1＋3＋D解析当＝n＋＝，故左边应为1＋＋3)数学归纳法证明＋2＋＋…＋n2

n4＝

＋2则＝k＋n∈*时等式左边应在nk的础加()A．2B．(k＋1)C．

＋D．(k2＋1)＋(k2＋＋(＋＋…＋k＋1)2D解析当＝时等式左边＝1＋…＋k

；当n＝＋时等式左边＝＋2＋…＋k＋k2

＋＋＋(k＋1)2.选D．3.(10用数学归纳法证明：＋3…＋(2n－1)＝n2证明：(1)当n时，左边＝，右边1等式成立．

(∈*)．假设当n(∈N*)时，等式成立，即13＋＋(2k－1)＝

，那么，当n＝k＋1，13…－1)＋＋1)－1]＝k2

＋[2(k＋－1]＝2

＋k＋1＝k＋1)2这就是说，当n＋时等式成立．根据1)和2)知等式对任意正整数都立．知识点用数学归法证明不等式114.(5分)用学归纳法证明：＋＋…＋－，设n＝k时2＋2不等式成立，则当＝k＋，应推证的目标不等式_．1111＋＋＋＋>－322k＋3

111解析：＝k＋1时，目标不等式为＋＋…＋＋－.222k＋35.(10证明不等式1

1＋＋＋n∈*)．3n证明：(1)当n时，左边＝，右边2左右边，不等式成立．假设当n(∈N*)时，不等式成立，即1＋

11＋＋＋3k当n＋时，＋

1＋＋＋＋3kk＋<2k＋

＋1＋1＝k＋1k＋1<

＋＋2＝＝2k＋1.k＋1k＋1所以当＝k＋1时不等式成立．由1)(2)可知，原不等对任意nN*成立．知识点用数学归法证明整除问题6.(5分用学归纳法证明34n

2

＋5

1

能被14整的过程中＝k＋1时4(k1)

＋51)1

应变形为

25(34k＋52k1

)＋×34k2

解析：当＝k＋时

1)2

＋52(

1)1

＝×3

＋×

14k＋52k＋56×

2

7.(10用数学归纳法证明：＋＋＋(＋2)3能除(n∈*)．证明：(1)当n时，1＋

＋33

＝36被9整除，所以结论成立；假设当n(∈N*)时结论成立，即k＋(＋3(k＋2)3能9整．则当＝k＋，(＋1)3

＋(k＋2)

＋(k＋3)3＝[k＋(＋＋(k＋2)]＋[(＋3)33]＝[k

＋(k＋1)

＋(k＋3

]＋92

＋27＋＝[k

＋(k＋1)

＋(k＋3

]＋9(k＋k＋．因为k3(＋＋(k＋3能整，2＋3＋也能被除，所以＋3

＋(k＋2)

＋(k＋3)3

也能被整除，即n＝＋结论也成立．

由1)(2)知命题对一切∈*成立．能力提升练能力考点适提升8.(5分)用数学归纳法证明＋a＋a2计算所得的式子B)A．1B．＋aC．＋a＋2D．＋a2＋a3

＋…＋a

－an＝(an∈*)在验证＝1时边1a111分)利用数学归纳法证明＋＋＋＋∈*，且n≥2)，第二步由到n＋2n＋1时等式左端的变化()A增加了这项k＋11B增加了和两项k＋1k＋21C．加了和两项，减少了这项k＋1k＋2D．上不对111C解析当n＝k时左端为＋＋＋＋当＝k＋1时端＋＋kk＋1k＋22kk＋k＋11＋…＋＋＋，k＋32k2＋1k＋2对比可知，确．10(5分用数学归纳法证明“当为奇数时＋yn

能被x＋y整”，第二步归纳递推中的假设应写成()A假设＝2k＋1(∈N*时确，再推n＝k＋3正确B假设＝2－∈N*)正确，再推n＝k＋1时正确C．设n＝k(∈N*时正确，再推＝k＋正确D．设n(k∈N*)时正确，再推＝k＋2时确B解析：∵为正奇，∴在证明时，应假设＝－1(k∈N*时正确，再推出＝2＋时正确．故选B．分对于不式n2n≤＋1(nN*)，某学生的证明过程下：当＝1时

＋1≤＋1，不等式成立．假设当n(∈N*)时等成立k

＋k≤k＋1当n＝k＋1，

＋

nnnn123n1221nnnn123n1221＝k

＋3＋2<

＋3＋2

＝＋1)＋1所以当＝k＋1时，不等式成立．上述证法()A过程全都正确B．＝1验不确C．设不正确D．nk＝k＋的理不正确D解析n＝的验证及假设都确，但从＝k到n＋的推理中没有使用假设作为条件，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证明要求．故选D．12.(5分用数学纳法证明12

＋2

＋…＋(－1)2n2

＋n1)2

＋…＋2

＋2＝

＋1

时，由＝的假设到证明＝＋时，等式左边应的式子是________________________________________________________________________．(＋1)2

＋k

解析：当nk时左12

＋22

＋＋(－1)22k－1)＋…＋

＋12

当n＋时，左边＝＋

＋＋2＋1)＋k

＋(k－1)2…＋＋1，所以等式左边添加的式子(＋1)＋k213.(5分)用学归纳法证明(n＋1)·(＋2)·n＝2

n

××3×－∈*)，“从k到＋”左端增乘的代数式．＋解析令f(n＝(n＋＋2)…＋n)，则fk)＝＋1)(＋2)(＋)，f＋＝(k＋2)(k＋3)(k＋k)(2k＋1)(2＋2)，f1所以＝＝2(2k＋f＋14.(5分)若存在正整数m使得f()＝n＋7)·3＋9(n∈*)能被m整，则m的大值．解析f＝36f(2)×3，f＝36×10，…，猜想m的最大值为36.S115.(15分)已知数列{}前和为，中＝且＝.n1求，；猜想数列{}通公式，并证明．Sa＋解：(1)a＝＝，a＝，×1631则a＝，似地求得a＝2153

123nnn11112＋11123nnn11112＋111由＝，＝，a＝，…，××55猜想：＝.1证明：①当＝1时由1)可知等式成．②假设当n＝k时想成立，即a＝

，1S那么，当n＝k＋1，由题设＝，得a＝

S，a＝，k1所以S＝－

＝k(2k－＝，1k＋1S＝(k＋1)(2k＋1)a，k＝－＝(k＋1)(2k＋a－.1因此，k＋＝

kk＋1所以a＝1＝

[21][2这就证明了当n＋时命题成立．由①②可知命题对任意∈*成立．

n246n247472nn10131057910n246n247472nn101310579107131nn36136112n1n1nn1nn1第四章质量评估(时间：分，分值分)一、单项选择题(本题共小，每小题分共40分)．在等差数{}，a＝，a＝2则＝)A1C．

B．0D．B解析：在等差数列{}，若a＝，a＝，则＝(a＋a)(4＋a＝2，解得＝n22266故选B．已知等比数列{}公为－，且a＋a＝1则＋a＝)A8C．－4

B．8D．D解析由题意可知＋＝(＋×(－2．若是差数列{}前n项和，且S－＝，则S的为)A．12C．22

B．18D．26D解析根据题意得－＝a＋＋＋＋＋＋a＝7＝，所以＝，＝13＝13a＝26.故选D．7．已知等比数列{}前n项为，且9＝，a＝，则a＝()A

B

C．A解析∵S＝，a6∴9＝，－－

D．∴9(1－q3

)＝1－q6

，∴1q3

＝9∴＝1∴a＝＝.1．在数列{}，若＝，a＝＋

n

，则等()A．2

n

－1

B．2n

－C．1

D．2n1A解析∵＝＋

，∴－＝2n

21324nn1n1n－n46425n54643524442453533521324nn1n1n－n46425n5464352444245353353＋＋＋n＋4nnnnn1nnn3nnnnn1n1nn11n1nn1nn∴a－＝2，a－＝

，a－＝2，…，－＝

n

相加得－＝＋22＋…＋n

1

n1＝＝1

－2.∴＝2

n1．已知数列，，，，，则其前n项S为()416A．n2

＋n＋1－

B．n＋－

2nC．21－

1

D．n2

＋＋21A解析∵＝＋，nn1∴＝＋＝n2＋n－.n1n－．已知数列{a}递的等比数列，且－＋aa＝，则a－＝()A．6C．10

B．8D．12D解析∵{}递的等比数列，∴－∵a＝2a2a，a＝2，a－＋a＝144可为a2－2a＋a2

＝144(

5－a)2

＝144∴－＝故选．11111n正偶数学归纳法证明1－＋－＋…－＝34－1n时，若已假设n(k≥2且为偶数时式成立，则还需要再证)A．n＝＋时等式成立B．＝k＋2时式成立C．＝2＋时等式成立D．＝＋时等式成立B解析：根据数学归纳法的步骤可知，n(k≥2且k偶)下一个偶数为n＋2.故选B二、多项选择题(本题共小，每小题分共20分)．已知等比数列{}前n项为，下列数列中一定是比数列的()A．{a2}C．{}

B．{a}D．，S－，－解析由数列{}等比数列可知，＝(≠，对于A，＝2，故A项中的a列是等比数列对B，＝＝2

lga≠0故B项的列是等比数列对于Clga

1

nnnn2nn66676766n6667131n6667676667132166671131nnnnnnnnnS2nT12n1n2n1nnnn12n1n2n1nnnnnnn2nn66676766n6667131n6667676667132166671131nnnnnnnnnS2nT12n1n2n1nnnn12n1n2n1nnnk1k1nnnnnn23,126745,不一定为常数，{a}一为等比数列；对D，a＝－

，为等比数列，公比为－1则有能为0，即，－，－不一定成等比数列．故选．10在等差数{}，aa>0，且aa，为数列{}前项和，)A公差<0B．a＋C．D．的n的小值为解析∵a<0>0，且a，∴d>0，a－a，a＋a，∴＝66(＋＝66(a＋)>0，S＝＝a，1312∴使S的n的小值为Sn＋39a．已知两个等差数{}{}前项分别为和T，且＝，则使得为T＋3数的正整数值为)A．2C．ACD

解析：由题意可得＝2n

B．3D．141aa＝＝，则＝＝11T＋1815＝＝3＋.n＋n＋1由于为整数，则n为的正约数，＋1的能取值，因此，正整数的可能取值有故12于数{}存在正整数kk≥2)使aa则称a是列{a}“值”是列{}“值点”数{}a＝＋－8面能作为数列{}的“谷值点”的)A．3C．

BD．576AD解a＝＋－8，a＝2a＝，a＝2，a＝，a＝，a＝，a＝，＝.1223427故a3是谷值点”；a>，>a，是谷值点”>a，>a，是“谷值点”a<是谷值点”．故选．

nn2432412343412n11113nn2954n12nn95464n141nn2432412343412n11113nn2954n12nn95464n14141nnnnnn1n1三、填空题本题共小题，每小题分共20分13.已知{}各项都为正数的等比数列，其前n项和为S，S＝，＝15则＝________.解∵＝3S＝，∴a＋＝3，a＋＝－＝12.＋a∴＝4＝＋a

∵a>0，∴＝∴a＋q＝3＝∴＝1.a＝a＝4.14.已知等差数{}有10项其奇数项之和为10偶数项之和为，则公差是．解∵－＝5d，∴d＝4.15.已知数列{}足－a＝aa(∈*)，数列{}足＝，bnn1nnn

1＋b＋＋b＝，则b＝，b＝________.1解由题意可得－＝3即数列{}公为的等差数列，由b＋＋…a＋b＝，b＝10所以＝，b＝13，bb＝16.在一个数列中果一项与它的后一项的积为同一个常数么个数列称为等积数列，这个常数称为该数列的公积．已知数{}等积数列，且＝2，公积为，那么这个数列的前41的和为．－解析：由题意可＝－＝＝a＝，…＝＝，12239402＝，∴＝×(－2)＋20－＝92.四、解答题本题共小题，共70分17.(10分)数列{}前项和为，知＝S－n*)，求数{}通项公式．解：＝，＝3－，a＝.111当n，由已知a＝－，得a＝－

nn1n1nn1nn110nnn2nn10nnnn5nnn132nn2nnnn1nna1111nn－nn1n1nn1nn110nnn2nn10nnnn5nnn132nn2nnnn1nna1111nn－2n1nnn两式作差得－＝S－)a，∴a＝a，n41∴数列{}首＝，比q＝－的等数列．n∴a＝

n1×－n

1

18.(12分)已知为等差数{}前n项＝8，＝－10.求，；设T＝a＋＋＋，求T.解：(1)∵＝10＋d＝8045d－，∴d－2.∴a＝－2(n－＝－，10－2S＝＝n－n2n2

令＝，得n当n，T＝－n；当n，T＝－＋2S＝n2

－9n，n，∴＝，≥19.(12分)已知数列{a}足

1＝＋(n∈*，且a＝，a＝a.a求{}通项公式；若＝a(∈*)求数列{}前项和.解：由

n

11＝＋(n∈*可知数列差数列．由知得＝5，＝×.1anaa3a51设其公差为，则＋＝5，＋＝＋，1解得＝1＝2，于是＝＋－1)＝2－，a整理得＝n311由(1)得＝a＝＝1

，所以S＝n

1－＋－＋＋－3n2＋1

＝n

nn1n14＋＋1＝a－＝3－241nnn1n14＋＋1＝a－＝3－241nn9nn12nn1nnnn11120.(12分)某地区原有森林木材存量为每年增长率为因产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b，设a为后该地区森林木材存量．求{}表达式．为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于a.果b，72那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年(≈解：(1)第一年后的森林木材存量为a，n年的森林木材存量为，5∴a＝1＋－＝－b55＝a－＝a－b－ba－＋1b21325由上面的a，a，推＝－n＋2…＋＋＝a－(其中nN*)．证明如下：①当n时＝－，结论成立．15②假设当＝时，a＝－4k－b成立，则当＋1时