空间几何体及棱柱、棱锥的结构特征

1.1空间几何体第二课时棱柱、棱锥的结构特征

问题提出

1.在平面几何中，我们认识了三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圆，扇形等平面图形.那么对空间中各种各样的几何体，我们如何认识它们的结构特征？

2.对空间中不同形状、大小的几何体我们如何理解它们的联系和区别？棱柱、棱锥的结构特征知识探究（一）：空间几何体的类型

思考1：在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.你能列举那些空间几何体的实例？思考2：观察图片，图片中的物体具有怎样的形状？日常生活中这些物体的形状叫什么？观察、分析结构特征之要点：①注意它与平面图形的联系；②注意观察组成几何体的每个面的特点；③注意观察面与面之间的联系.思考3：图（2）（5）（7）（9）（13）（14）（15）（16）有何共同特点？这些几何体可以统一叫什么名称？多面体特点：每个面都是平面图形,并且都是平面多边形(包括它的内部的平面部分)。思考：一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共顶点分别叫什么名称？面顶点棱由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体

.思考4：图（1）（3）（4）（6）（8）（10）（11）（12）有何共同特点？这些几何体可以统一叫什么名称？旋转体特点：组成它们的面不全是平面图形。思考：一般地，怎样定义旋转体？轴

由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体

思考5：如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成那几种类型？图中的物体大体可分为两大类：

1、多面体.2、旋转体

知识探究（二）：棱柱的结构特征

思考1：我们把下面的多面体取名为棱柱，你能说一说棱柱的结构有那些特征吗？据此你能给棱柱下一个定义吗？

1、有两个面互相平行，2、其余各面都是四边形，3、每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱.思考2：为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？侧面顶点侧棱底面思考3：下列多面体都是棱柱吗？如何在名称上区分这些棱柱？如何用符号表示？ABCDEA1B1C1D1E1ABCA1B1C1ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1

④棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的底面吗？答：不是．思考4：棱柱上、下两个底面的形状大小如何？各侧面的形状如何？两底面是全等的多边形,各侧面都是平行四边形,侧棱平行且相等思考5：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？思考6：一个棱柱至少有几个侧面？一个N棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？DABCEFF′A′E′D′B′C′思考：倾斜后的几何体还是棱柱吗？斜棱柱棱柱的分类：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……三棱柱四棱柱五棱柱1.用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDE-A1B1C1D1E12.用表示一条对角线端点的两个字母表示，如：棱柱BCDABCDA1A1A1B1B1B1C1C1C1D1D1E1ABCAE棱柱的表示法棱柱的分类1、按侧棱与底面是否垂直可分为：1）侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。2）侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。3）底面是正多边形的直棱柱叫做正棱

柱。棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱四棱柱平行六面体长方体直平行六面体正四棱柱正方体底面是平行四边形侧棱与底面垂直底面是矩形底面为正方形侧棱与底面边长相等补充：几种四棱柱（六面体）的关系：长方体的性质：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，对角线长为l，则l2=a2+b2+c2思考题：1、侧棱不垂直于底面且底面为三角形的棱柱叫做___________;2、侧棱垂直于底面且底面为四边形的棱柱叫做____________;3、侧棱垂直于底面且底面为正五边形的棱柱叫做____________。斜三棱柱直四棱柱正五棱柱1.侧棱都相等，侧面是平行四边形；棱柱的性质2.两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；3.过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形1.斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。正棱柱的底面为正多边形。思考题：1、斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、侧面各有什么特点？2.斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱的侧面为矩形。正棱柱的各个侧面为全等的矩形。思考题：2、棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱集合、正棱柱集合之间存在怎样的包含关系？直棱柱正棱柱棱柱斜棱柱例1：下列命题中正确的是（）

A、有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。

B、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。（举例）

C、有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱。（举例）

D、有两个相邻侧面垂直与底面的棱柱是直棱柱。D典型例题知识探究（三）：

棱锥的结构特征

思考1：我们把下面的多面体取名为棱锥，你能说一说棱锥的结构有那些特征吗？据此你能给棱锥下一个定义吗？1、有一个面是多边形，2、其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥.思考：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的立体图形一定是棱锥吗？思考2：参照棱柱的说法，棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？侧面顶点侧棱底面

多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各三角形面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.棱锥的侧面棱锥的顶点棱锥的侧棱棱锥的高SABCDEO2．相关概念：（1）棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面，如侧面SAB、SAE等；棱锥的底面（2）各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，如顶点S、A、B、C

等；（3）相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，如侧棱SA、SB等；（4）棱锥中的多边形叫做棱锥的底面，如底面ABC、ABCDE等；（5）如果棱锥的底面水平放置，则顶点与过顶点的铅垂线与底面的交点之间的线段或距离，叫做棱锥的高，如SO.

3.如何理解棱锥？（1）棱锥是多面体中的重要一种，它有两个本质的特征：①有一个面是多边形；②其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可。（2）棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形，是棱锥?4．棱锥的分类：（1）按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等，其中三棱锥又叫四面体!三棱锥四棱锥五棱锥（四面体）（2）正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且水平放置，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这个棱锥叫做正棱锥OSABCDE5．正棱锥的性质：（1）正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形；（2）等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高6．棱锥的表示：（1）用顶点和底面各顶点的字母表示棱锥：如三棱锥P－ABC，四棱锥S－ABCD.（2）用对角面表示：如四棱锥可以用P－AC表示.思考3：下列多面体都是棱锥吗？如何在名称上区分这些棱锥？如何用符号表示？ABCSSABCDSABCEFD思考4：一个棱锥至少有几个面？一个N棱锥有分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？

至少有4个面；1个底面，N个侧面，N条侧棱，1个顶点.思考5：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？相似多边形理论迁移

例1如图，截面BCEF将长方体分割成两部分，这两部分是否为棱柱？ABCDA1B1C1D1EF

例2一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？ACA1BB1C1A1BB1C1AA1BC1ACBC1棱台及相关概念1．定义：棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台.下底面上底面侧面侧棱高顶点ABCDA’B’C’D’o两底面平行侧棱的延长线相交于同一点棱台的特征3．棱台的分类：（1）按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台等；（2）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱锥正四棱台4．正棱台的性质：（1）各侧棱相等；（2）正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形；（3）正棱台的斜高相等。2．相关概念：（1）棱台的下底面、上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；（2）棱台的侧面：棱台中除上、下底面以外的面叫做棱台的侧面；（3）棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；（4）棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高。5．棱台的表示：棱台可用表示上、下底面的字母来命名，如可以记作棱台ABCD－A’B’C’D’，或记作棱台AC’.判断下列图形是否为棱柱、棱锥、棱台

练习1（1）（2）（3）（4）（5）（6）

2.右图中的几何体是不是棱台?为什么?棱柱棱锥棱台结构特征①侧棱都相等②侧面是平行四边形③两个底面互相平行全等

④过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形①有一个面是多边形

②其余各面是有一个公共顶点的三角形③侧棱相交于一点但不一定相等

①各侧棱延长后相交于一点②两底面是平行的相似多边形棱柱、棱锥、棱台之间的关系棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图形，棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形，要注意的是棱台的各条侧棱延长后，将会交于一点，即棱台可以还原成棱锥.例1.有四个命题：①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；③棱锥的所有侧面可能都是直角三角形；④四棱锥的四个侧面中可能四个都是直角三角形。其中正确的命题有

.③④解：设VO为正四棱锥V－ABCD的高，作OM⊥BC于点M，则M为BC中点，连接OM、OB，则VO⊥OM，VO⊥OB.例2.已知正四棱锥V－ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为2，计算它的高和斜高。因为底面正方形ABCD的面积是16，所以BC=4，MB=OM=2，又因为VB=,在Rt△VOB中,由勾股定理得

在Rt△VOM中，由勾股定理得即正四棱锥的高为6，斜高为练习题：1．能保证棱锥是正棱锥的一个条件是(

)（A）底面为正多边形（B）各侧棱都相等（C）各侧面与底面都是全等的正三角形（D）各侧面都是等腰三角形C2．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（

）（A）三棱锥（B）四棱锥（C）五棱锥（D）六棱锥D3．过正方体三个顶点的截面截得一个正三棱锥，若正方体棱长为a，则截得的正三棱锥的高为