第4节 指数函数

第4节指数函数考点专项突破知识链条完善考题专项突破2.如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系如何?你能得到什么规律?提示:图中直线x=1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,所以c>d>1>a>b.一般规律:在y轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大.3.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在其定义域上单调性如何?提示:当0<a<1时,y=ax在R上单调递减;当a>1时,y=ax在R上单调递增.知识梳理1.根式xn=a2.有理数指数幂3.无理数指数幂无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.4.指数函数的概念、图象与性质(0,+∞)y=11.指数函数图象的对称规律函数y=ax的图象与y=a-x的图象关于y轴对称,y=ax的图象与y=-ax的图象关于x轴对称,y=ax的图象与y=-a-x的图象关于坐标原点对称.2.对于函数y=af(x)(a>0,且a≠1),由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是R,因此满足f(x)有意义的自变量x的取值范围是函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域.设u=f(x),求出函数u=f(x)的值域E,则函数y=au(u∈E)的值域是函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的值域.3.形如a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0)形式,常借助换元法转化为二次方程或不等式求解,但应注意换元后“新元”的范围.对点自测C2.(2016·沈阳模拟)函数y=ax-1+2(a>0,且a≠1)的图象恒过点的坐标为(

)(A)(2,2) (B)(2,4) (C)(1,2) (D)(1,3)D解析:因为a0=1,所以令x-1=0,所以ax-1+2=3,所以函数y=ax-1+2(a>0,且a≠1)的图象恒过点的坐标为(1,3).B4.导学号16452048函数y=2-|x|的单调递增区间是(

)(A)(-∞,+∞) (B)(-∞,0)(C)(0,+∞) (D)不存在B解析:函数y=2-|x|的大致图象如图所示.由图象可知其递增区间为(-∞,0).选B.答案:②

指数幂的运算考点一【例1】求值与化简:(2)·

.反思归纳

指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.

指数函数的图象及应用考点二【例2】

(1)(2016深圳模拟)若函数y=ax+b的部分图象如图所示,则(

)(A)0<a<1,-1<b<0 (B)0<a<1,0<b<1(C)a>1,0<b<1 (D)a>1,-1<b<0解析:(1)由图象可以看出,函数为减函数,故0<a<1,因为函数y=ax的图象过定点(0,1),函数y=ax+b的图象过定点(0,1+b),由图象知0<1+b<1,所以-1<b<0,故选A.(2)已知关于x的方程|2x-1|=k,则下列说法错误的是(

)(A)当k>1时,方程的解的个数为1个(B)当k=0时,方程的解的个数为1个(C)当0<k<1时,方程的解的个数为2个(D)当k=1时,方程的解的个数为2个反思归纳

指数函数图象可解决的两类热点问题及思路(1)求解指数型函数的图象与性质问题对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解常利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.(2)求解指数型方程、不等式问题含参数的指数型方程、不等式问题的求解,常利用相应指数型函数图象数形结合求解.【拓展训练】(1)若函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b均为常数,则下列结论正确的是(

)(A)a>1,b<0 (B)a>1,b>0(C)0<a<1,b>0 (D)0<a<1,b<0解析:(1)由函数图象知0<a<1,又当x=0时,a-b<1,即a-b<a0,所以-b>0,即b<0,选D.答案:(1)D(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是

..

解析:(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图象可得:如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].答案:(2)[-1,1]指数函数性质及应用考点三考查角度1:利用指数函数性质比较大小【例3】已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.3,则(

)(A)a>b>c (B)a>c>b (C)c>a>b (D)b>c>a解析:由y=0.4x在R上是减函数知0.40.2>0.40.3,此时b>c.又a=20.2>20=1,且0.40.2<1知a>b,综上可知a>b>c,故选A.反思归纳

(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.考查角度2:简单的指数方程或不等式答案:(-∞,-1]∪[4,+∞)反思归纳

简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.考查角度3:利用指数函数单调性求值域【例5】

(2015·山东卷)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=

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反思归纳

由于指数函数在R上是单调函数,因此涉及指数函数的值域问题,常借助其单调性求解,当底数不确定时要分类讨论.考查角度4:含参数的指数函数问题【例6】若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(

)(A)(-∞,+∞) (B)(-2,+∞)(C)(0,+∞) (D)(-1,+∞)反思归纳

指数型函数中参数的取值范围问题.在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时,应注意对底数a的分类讨论.考查角度5:指数函数与二次函数综合问题反思归纳

形如f(x)=a2x+b·ax+c(ab≠0)的函数性质问题常用换元法转化为二次函数性质求解.备选例题【例2】设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,则a的值为

.

【例3】已知函数f(x)=.(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)