第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计

工程力学第六章拉压杆件的应力变形分析与强度设计§6.1拉伸与压缩杆件的应力与变形受到等值、反向、作用线与轴线重合的外力作用受力特点杆件沿轴线方向伸长或缩短变形特点拉压杆轴向拉伸与压缩工程实例（1）、问题提出PPPP根据轴力不能判断杆件是否有足够的强度。拉杆强度的相关因素轴力大小杆件横截面面积一、拉（压）杆件的应力计算（2）横截面上的应力拉（压）杆的横截面上，与轴力FN对应的应力只有正应力σ。根据连续性假设，横截面上到处存在内力。AdA横截面面积为A，微面积dA上的微内力σdA

组成一垂直于横截面的平行力系，其合力就是轴力FN，为：平面假设平面假设：变形前原为平面的横截面在变形后仍为平面。横截面上各点的σ相等，即正应力均匀分布，等于常量abcdFPd'a'c'b'FP纵向纤维变形相等、力学性能相同，受力一样。aFNFpσ简易旋臂式吊车如图a)所示。斜杆AB为横截面直径d＝20mm的钢材，载荷W=15kN。求当W移到A点时，斜杆AB横截面应力(两杆的自重不计)。根据平衡方程ΣMC=0，解得由三角形ABC求出故有解：

(1)受力分析当W移到A点时，斜杆AB受到的拉力最大，设其值为Fmax。取AC为研究对象，在不计杆件自重及连接处的摩擦时，受力分析如图所示。

(2) 求应力斜杆AB横截面正应力为杆件的伸长量：（1）绝对变形与胡克定律

lFPFPl1二、拉（压）杆的变形计算引入比例常数E，得到胡克定律实验表明：对于由结构钢等材料制成的拉杆，当横截面上的σ≤σp时，不仅变形是弹性的，且存在

E：弹性模量，材料拉伸或压缩时抵抗弹性变形的能力，实验测定EA：杆件的抗拉（压）刚度。EA/l：杆件的线刚度或刚度系数，杆件产生单位变形所需的力。当拉、压杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量（或缩短量）

对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量表示轴向变形的程度，即正应变：公式适合于杆件各处均匀变形的情形。（2）相对变形正应变

表明：无论变形是均匀还是不均匀，正应力与正应变之间的关系都是相同的。

对于各处变形不均匀的情形，则以微段dx的相对变形作为杆件局部的变形程度．即：

横向变形：杆件在垂直于杆件轴线方向产生的变形。

试验结果表明：在弹性范围内加载，轴向应变与横向应变之间存在如下关系：称为泊松比．为量纲一的量。式中负号表示：纵向伸长时横向缩短；纵向缩短时则横向伸长。FFdll1d1（3）横向变形与泊松比【例题6-1】如图所示之变截面直杆，已知：ADEB段杆的横截面面积AAB=10·102mm2，BC段杆的横截面面积ABC=5*102mm2；FP=60KN；铜的弹性模量EC=100MPa，钢的弹性量EC=210MPa；各段长度如图，单位为mm。试求：

1）直杆横截面上的绝对值最大的正应力。

2）直杆的总变形量。10001000100015002FPFP2FPFPDBAEC铜钢【例题6-2】三角架结构尺寸及受力如图所示。其中FP=22.2KN；钢杆BD的直径d1=25.4mm；钢梁CD的横截面面积A2=2.32*103mm2。试求杆BD与CD的横截面上的正应力。FP45ºDBC图所示连接螺栓，内径d1＝15.3mm，被连接部分的总长度l＝54mm，拧紧时螺栓AB段的Δl=0.04mm，钢的弹性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3。试求螺栓横截面上的正应力及螺栓的横向变形。§6.2拉伸与压缩杆件的强度设计

分析已有或设想中的机器或结构，确定它们在特定载荷条件下的性态。

设计新的机器或新的结构，使之安全而经济地实现特定的功能。

进行杆件应力和变形分析的目的：FP45ºDBC1）在确定受力情况下，二杆分别选用什么材料来保证三角架结构安全可靠地工作？2）给定载荷和材料的情形下，如何判断结构是否安全可靠？3）给定杆件截面尺寸和材料的情形下，如何确定结构能承受的最大载荷？一、强度设计准则、安全因数与许用应力

强度设计：指将杆件中的最大应力限制在允许的范围内，以保证杆件正常工作，不仅不发生强度失效，而且还要具有一定的安全裕度.

拉伸与压缩杆件的强度设计准则（强度条件）：根据分析计算所得构件之应力，称为工作应力。构件工作应力的最大容许值，必须低于材料的极限应力。称为许用应力

为材料的极限应力或危险应力，由材料的拉伸试验确定，n为安全因数。安全因数过大，浪费材料，使构件笨重过小，不能保证安全，造成事故其中：[]—许用应力，max—危险截面的最大工作应力，FN—危险截面的轴力，A—截面面积。为保证拉压杆不发生强度破坏，并有一定安全余量，得到拉压杆的强度条件：

二、拉压杆件的强度计算等截面直杆：危险截面位于轴力最大处变截面杆：危险截面综合轴力FN和面积A确定①强度校核已知载荷、杆件的横截面尺寸和材料的许用应力，可计算杆件的最大工作应力，并检查是否满足强度条件的要求。最大工作正应力大于许用应力：加大横截面面积。经济起见，最大工作正应力可略大于许用应力：不超过许用应力的5%为宜三、依强度条件进行的三类强度计算问题已知拉压杆所受外力大小和材料的许用应力，可计算杆件的最大轴力FNmax，根据强度条件确定杆件的截面尺寸。②设计杆件的横截面尺寸已知拉压杆的横截面尺寸和材料的许用应力，根据强度条件可计算杆件所能承受的最大轴力，即许用轴力。③确定杆件或结构所能承受的许用载荷【例题6-3】螺纹小径d=15mm的螺栓，紧固时所承受的预紧力为FP=20KN。若已知螺栓的许用应力为[σ]=150MPa，试校核螺栓的强度是否安全。【例题6-4】图所示为可绕轴OO1旋转的吊车简图，其中斜拉杆AC由两根50mm*50mm*5mm的等边角钢组成，水平横梁AB由两根10号槽钢组成。AC和AB梁的材料都是Q235钢，许用应力[σ]=120MPa,当行走小车位于A点时，求允许的最大起吊重力。杆和梁的自重忽略不计。F2m30ºACB4mO1O一悬臂吊车，如图

所示。已知起重小车自重G=5kN，起重量F=15kN，拉杆BC用Q235钢，许用应力[σ]=170MPa。试选择拉杆直径d。解：(1)计算拉杆的轴力。当小车运行到B点时，BC杆所受的拉力最大，必须在此情况下求拉杆的轴力。取B点为研究对象，其受力图如图所示。由平衡条件△ABC中(2)选择截面尺寸。由得取为材料的极限应力或危险应力，由材料的拉伸试验确定，n为安全因数．危险应力：材料发生强度失效时的应力。其应力是通过拉伸试验得到的。通过拉伸实验，一方面可以观察到材料发生强度失效时的现象，另一方面可以得到材料失效时的极限应力值。§6.3拉伸与压缩时材料的力学性能一、材料拉伸时的应力－应变曲线（1）拉伸试验：将被试验的材料按国家标准制成标准试样，将试样安装在试验机上，对试样施加拉伸载荷，通过缓慢加载完成试验过程。1）标准试件两端较粗中间一段等直的部分试验段：等直部分标距：长度l装夹部分：较粗的两端标准试件规定标距l与横截面直径d关系：试件截面形状长试件短试件圆形l=10dl=5d矩形l=11.3A1/2l=5.63A1/2压缩试验通常采用圆截面和方截面的短试件，长度l与横截面直径d或边长b的比值一般规定为1~3ldlb扭转试件拉伸试件压缩试件2)试验设备及布置：a)：对试件施加载荷使其发生变形，并能测出拉（压）力。拉力机压力机万能实验机b)：测量试样变形的仪器，如电阻应变仪、杠杆式引伸仪、千分表。电阻应变仪杠杆式引伸仪千分表3)试验条件：材料力学性能影响因素：温度、载荷形式（动载、静载）。主要讨论常温和静载条件下材料受拉（压）时的力学性能。静载：载荷从0开始缓慢增加到一定数值后不再改变（变化不明显）的载荷。（2）材料应力——应变曲线与强度指标典型的代表性材料：低碳钢和铸铁1）低碳钢：含碳量不大于0.25%的碳素钢F增大直至试样断裂载荷F与相应伸长变形△l的关系消除横截面尺寸和长度的影响1）载荷F除以原来的横截面面积得到应力，即2）变形△l除以试件原长l得到应变，即应力-应变曲线（σ-ε

曲线）反映材料的本身特性弹性阶段屈服阶段缩颈阶段变形过程强化阶段a）弹性阶段oa段：σ与ε成正比胡克定律E：弹性模量，量纲与σ相同，常用GPa应力-应变曲线（σ-ε

曲线）σP：比例极限当σ≤σP时，服从胡克定律材料是线性弹性的除去外力，试件变形完全消失外力卸除后能够消失的这部分变形σe：弹性极限，即材料产生弹性变形的最大应力值。当σp﹤σ≤σe时，不服从胡克定律材料在外力撤去后仍能恢复原有形状和尺寸的性质弹性弹性变形应力-应变曲线（σ-ε

曲线）b）屈服阶段a'c段：σe﹤σ，应变迅速增加，应力基本保持不变上屈服点材料暂时失去抵抗变形的能力应力变化不大，变形显著增加的现象材料的屈服或流动最高应力下屈服点最低应力上屈服点：与试样形状、加载速度等因素有关，一般不稳定。塑性变形（永久变形或残余变形）下屈服点：数值较稳定，能够反映材料的性能，称为屈服点。σs：屈服极限，载荷卸去，试件残留一部分变形光滑试件屈服时表面出现与轴线大致成450的条纹线滑移线材料内部相对滑移形成拉伸时与杆轴成45o倾角斜面上，切应力为最大值屈服现象与最大切应力有关低碳钢屈服阶段总的塑性应变是比例极限所对应弹性应变的10~15倍屈服极限σs作为衡量材料强度的重要指标c）强化阶段cd段：σs﹤σ后，材料恢复抵抗变形的能力欲使其继续变形必须增加拉力材料的强化σb：强度极限，即材料所能承受的最大应力值。衡量材料强度的另一重要指标d）缩颈阶段de段：σ达到σb后，试件某一薄弱横截面发生急剧的局部收缩“缩颈”现象A减小，塑性变形增加，承载能力下降，载荷随之下降，直至断裂。缩颈阶段从出现缩颈到试件断裂的阶段结论应力增大到屈服极限时，材料出现明显的塑性变形σs和σb是衡量韧性材料的两个重要指标应力增大到强度极限时，材料就要发生断裂实验表明og：残留的塑性变形试件拉伸到f点，然后缓慢卸载，应力与应变关系曲线为fggh：消失的弹性变形卸载后立即加载，应力与应变曲线沿gf上升到f点后与原来相同。试件拉到屈服极限后卸载，再重新加载，材料的比例极限有所提高，塑性变形减小冷作硬化：退火可消除卸载定律：在卸载过程中，应力和应变按直线变化。

对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段的材料，通常规定以产生0.2％的塑性应变所对应的应力作为屈服极限，并称为名义屈服极限，用σ0.2来表示。2）其他塑性材料：锰钢、硬铝、退火球墨铸铁和45钢无明显直线部分无屈服阶段和缩颈阶段oσB0.2%灰铸铁拉伸时应力-应变图三、脆性材料（铸铁）拉伸时的力学性能从开始加载到试样被拉断，试样的变形都很小。无塑性变形强度极限是衡量脆性材料拉伸的唯一标准断裂时应力很小，断口垂直于试件轴线εoσB实际计算以直线代替，认为近似符合胡克定律断口四、强度失效概念与失效应力

韧性材料的强度失效-屈服与断裂。

脆性材料的强度失效-断裂。

失效应力：发生屈服和断裂时的应力,即强度设计中的危险应力。

韧性材料的强度失效应力-屈服点σs

(或条件屈服强度σ0.2)和抗拉强度σb

。

脆性材料的强度失效应力-抗拉强度σb。≥5％＜5％塑性脆性