第6章 参数估计

第六章参数估计一.点估计点估计的优良性准则区间估计参数估计在统计方法中的地位统计方法描述统计推断统计参数估计假设检验参数估计的方法矩估计法最小二乘法最大似然法顺序统计量法估计方法点估计区间估计被估计的总体参数总体参数符号表示用于估计的样本统计量一个总体均值比例方差两个总体均值之差比例之差方差比第一节点估计点估计

（概念要点）从总体中抽取一个样本，根据该样本的统计量对总体的未知参数作出一个数值点的估计例如:用样本均值作为总体未知均值的估计值就是一个点估计2. 点估计没有给出估计值接近总体未知参数程度的信息点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等1. 用于估计总体某一参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本中位数等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量如果样本均值x

=3，则3

就是的估计值理论基础是抽样分布估计量

（概念要点）估计量的优良性准则

（无偏性）无偏性：估计量的数学期望等于被估计的总体参数P(X)XCA无偏有偏估计量的优良性准则

（有效性）AB中位数的抽样分布均值的抽样分布XP(X)有效性：一个方差较小的无偏估计量称为一个更有效的估计量。如，与其他估计量相比，样本均值是一个更有效的估计量估计量的优良性准则

（一致性）一致性：随着样本容量的增大，估计量越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P(X)X第二节区间估计区间估计

（概念要点）1. 根据一个样本的观察值给出总体参数的估计范围给出总体参数落在这一区间的概率例如:总体均值落在50~70之间，置信度为95%样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限置信区间估计

（内容）2

已知2未知均值方差比例置信区间落在总体均值某一区间内的样本x_XX=Zx95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65x总体未知参数落在区间内的概率表示为(1-为显著性水平，是总体参数未在区间内的概率常用的显著性水平值有

99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10置信水平区间与置信水平均值的抽样分布(1-)%区间包含了

%的区间未包含1-aa/2a/2影响区间宽度的因素1. 数据的离散程度，用来测度样本容量，3. 置信水平(1-)，影响

Z的大小第三节总体均值和总体比例

的区间估计一.总体均值的区间估计二.总体比例的区间估计样本容量的确定总体均值的区间估计

(２已知)总体均值的置信区间

(２已知)1. 假定条件总体服从正态分布,且总体方差（２）已知如果不是正态分布，可以由正态分布来近似

(n

30)使用正态分布统计量Ｚ总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

（正态总体：实例）解：已知Ｘ~N(，0.152)，x＝2.14,n=9,1-=0.95，Ｚ/2=1.96

总体均值的置信区间为我们可以95％的概率保证该种零件的平均长度在21.302～21.498mm之间【例】某种零件长度服从正态分布，从该批产品中随机抽取９件，测得其平均长度为21.4mm。已知总体标准差

=0.15mm，试建立该种零件平均长度的置信区间，给定置信水平为0.95。总体均值的区间估计

（非正态总体：实例）解：已知x＝26,=6，n=100,1-=0.95，Ｚ/2=1.96我们可以95％的概率保证平均每天参加锻炼的时间在24.824～27.176分钟之间【例】某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟。试以95％的置信水平估计该大学全体学生平均每天参加体育锻炼的时间（已知总体方差为36小时）。总体均值的区间估计

(２未知)总体均值的置信区间

(２未知)1. 假定条件总体方差（２）未知总体必须服从正态分布使用t分布统计量3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

（实例）解：已知Ｘ~N(，2)，x=50,s=8，n=25,1-=0.95，t/2=2.0639。我们可以95％的概率保证总体均值在46.69～53.30之间【例】从一个正态总体中抽取一个随机样本，n=25

，其均值`x=

50

，标准差s=8。建立总体均值m

的95%的置信区间。总体比例的区间估计总体比例的置信区间1. 假定条件两类结果总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量Ｚ3.总体比例Ｐ

的置信区间为总体比例的置信区间

（实例）解：已知n=200，＝0.7,n=140>5,n(1-)=60>5，=0.95，Ｚ/2=1.96p

p

p

我们可以95％的概率保证该企业职工由于同管理人员不能融洽相处而离开的比例在63.6%~76.4%之间【例】某企业在一项关于职工流动原因的研究中，从该企业前职工的总体中随机选取了200人组成一个样本。在对其进行访问时，有140人说他们离开该企业是由于同管理人员不能融洽相处。试对由于这种原因而离开该企业的人员的真正比例构造95%的置信区间。样本容量的确定根据均值区间估计公式可得样本容量n为估计总体均值时样本容量的确定样本容量n与总体方差2、允许误差、可靠性系数Z之间的关系为与总体方差成正比与允许误差成反比与可靠性系数成正比其中：样本容量的确定

（实例）解:已知2=1800000，=0.05，Z/2=1.96，=500

应抽取的样本容量为【例】一家广告公想估计某类商店去年所花的平均广告费用有多少。经验表明，总体方差约为1800000元。如置信度取95%，并要使估计处在总体平均值附近500元的范围内，这家广告公司应抽多大的样本？根据比例区间估计公式可得样本容量n为估计总体比例时样本容量的确定若总体比例P未知时，可用样本比例来代替

p^其中：样本容量的确定

（实例）【例】一家市场调研公司想估计某地区有彩色电视机的家庭所占的比例。该公司希望对比例p的估计误差不超过0.05，要求的可靠程度为95%，应抽多大容量的样本（没有可利用的p估计值）。解:

已知=0.05，=0.05，Z/2=1.96，当p未知时用最大方差0.25代替^应抽取的样本容量为第四节两个总体均值及两个

总体比例之差估计一.两个总体均值之差估计二.两个总体比例之差估计两个总体均值之差的估计两个样本均值之差的抽样分布

m1s1总体1s2

m2总体2抽取简单随机样样本容量n1计算X1抽取简单随机样样本容量n2计算X2计算每一对样本的X1-X2所有可能样本的X1-X2m1-m2抽样分布两个总体均值之差的估计

(12、22

已知)1. 假定条件两个样本是独立的随机样本两个总体都服从正态分布若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n130和n230)两个独立样本均值之差的抽样分布服从正态分布，其期望值为其标准误差为两个总体均值之差的估计

(12、22

已知)两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为使用正态分布统计量Z两个总体均值之差的估计

（实例）【例】一个银行负责人想知道储户存入两家银行的钱数。他从两家银行各抽取了一个由25个储户组成的随机样本，样本均值如下：银行A：4500元；银行B:3250元。设已知两个总体服从方差分别为A2=2500和B2=3600的正态分布。试求A-B的区间估计（1）置信度为95%（2）置信度为99%BA两个总体均值之差的估计

（计算结果）解:已知

XA~N(A,2500)

XB~N(B,3600)xA=4500，xB=3250，

A2=2500

B2=3600

nA=nB

=25(1)

A-B置信度为95%的置信区间为(2)

A-B置信度为99%的置信区间为两个总体均值之差的估计

(12、22未知，但相等)假定条件两个总体都服从正态分布12、12未知，但12＝12总体方差2的联合估计量为估计量x1-x2的标准差为两个总体均值之差的估计

(12、22未知，但相等)使用t

分布统计量两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的估计

（实例）【例】为比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位职员随机安排了10位顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟），相应的样本均值和方差分别为：x1=22.2，s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。假定每位职员办理账单所需时间均服从正态分布，且方差相等。试求两位职员办理账单的服务时间之差的95%的区间估计。21两个总体均值之差的估计

（计算结果）解:已知

X1~N(1,2)

X2~N(2,2)x1=22.2，x2=28.5，

s12=16.63s22=18.92

n1=n2=1012=121-2置信度为95%的置信区间为两个总体均值之差的估计

(12

、22未知，且不相等)假定条件两个总体都服从正态分布12、12未知，且1212使用的统计量为自由度两个总体均值之差的估计

(12、22未知，且不相等)

两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的估计

（续前例）【例】为比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位职员随机安排了10位顾客，并记录下了为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟），相应的样本均值和方差分别为：x1=22.2，s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。假定每位职员办理账单所需时间均服从正态分布，但方差不相等。试求两位职员办理账单的服务时间之差的95%的区间估计。12两个总体均值之差的估计

（计算结果）

自由度f为1-2置信度为95%的置信区间为解:已知

X1~N(1,2)

X2~N(2,2)x1=22.2，x2=28.5，

s12=16.63s22=18.92

n1=n2=101212两个总体比例之差的估计1. 假定条件两个总体是独立的两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似2. 两个总体比例之差P1-P2在1-置信水平下的置信区间为两个总体比例之差的区间估计两个总体比例之差的估计

（实例）【例】某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，它们从两个城市中分别随机地调查了1000个成年人，其中看过广告的比例分别为p1=0.18和p2=0.14。试求两城市成年人中看过广告的比例之差的95%的置信区间。^^绿色健康饮品两个总体比例之差的估计

（计算结果）P1-P2置信度为95%的置信区间为解:已知

p1=0.18，p2=0.14，1-=0.95，n1=n2=1000^^我们有95%的把握估计两城市成年人中看过该广告的比例之差在0.79%~7.21%之间第五节正态总体方差及两正

态总体方差比的估计一.正态总体方差的区间估计二.两个正态总体方差比的区间估计正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计

（要点）1. 估计一个总体的方差或标准差2. 假设总体服从正态分布总体方差

2

的点估计量为S2,且4.总体方差在1-置信水平下的置信区间为正态总体方差的区间估计

（实例）【例】对某种金属的10个样品组成的一个随机样本作抗拉强度试验。从实验数据算出的方差为4。试求2的95%的置信区间。正态总体方差的区间估计

（计算结果）解:已知n＝10，s2＝4，1-＝95%