第二章 电阻电路等效变换

第二章电阻电路等效变换40W20W20W2.1

等效变换的概念2.2

无源电阻电路的等效变换2.3

有源电阻电路的等效变换2.4

输入电阻第二章电阻电路等效变换2.1

电路等效变换的概念1.等效的概念N2aUI10WbN1abUIN2abUI7Wab6WUI6WN1U=10IU=10I现有两个一端口（或称二端）电路N1和N2。等效的概念结论：若两个一端口N1和N2，不管结构如何，只要对外特性相同，则二者互为等效的一端口电路。注意以下问题：两个一端口N1和N2，内部结构可以不同；等效是对外电路而言，对内不等效！N110VI2ΩUN25AI2ΩUU=10-2IU=10-2I对内，当外电路开路时，电压源的电功率为0，而电流源的电功率50W，两个电源不等效！

2.电路的等效变换b7Ωa6Ω10VI6ΩN1N2a10VI10WbI=1AI=1A

将两个6W的电阻并联，再与7W串联，等于10W电阻，这种变换为等效变换。10W电阻为等效电阻Req。根据等效的概念，等效电路之间可以互相置换，这种置换的方式为等效变换。N210Wuus

R

R3i1R21’R1R4R5ReqReq外电路例2-1（1）

Req为等效电阻（2）替换前后，不变化部分的电路（外电路）的特性不变，即u

，i关系不变——对外(特性)等效。（3）等效变换对外电路而言等效，对内不等效。内电路2.2无源电阻电路的等效变换

u

=

R1i

+R2i

+R3i

+……+Rki

+……+Rni

=(R1+R2+R3+……+Rk+……Rn)i

=Reqi

1’ui1R2R1Rnu1unu2ui11’Req应用KVL：u

=u1+u2+u3

+……+uk

+……+un

通过同一电流电阻的联接为串联.2.2.1电阻的串并联

1.电阻的串联

结论：串联的每个电阻，其电压与电阻值成正比。或者说总电压根据各个串联电阻的值进行分配。

uk=

Rki

=

u

（k=1,2,3,……,n)RkReq上式为电压分配公式或分压公式n个电阻串联的等效电阻Req电阻串联时，各电阻上的电压为：例2-2三个电阻串联，求每个电阻的电压和功率。

串联电阻的分压比为

aR1＋－R2U3bI＋－UR3U2＋－＋－U1a＋－ReqUbI

若总电压U为已知，在串联电路中，各电阻上的电压可由下式求出解Req＝R1+R2+R3(1)等效电阻ReqPPPP321++=IUIUIUIU321++=各电阻消耗的功率可以写成如下形式：故有结论：串联电阻电路中，每个电阻电压比等于电阻值之比；每个电阻消耗的功率等于电阻值之比。(2)串联电阻的功率分配关系2.电阻的并联+u_i11’Geq

i=G1u+G2u+G3u+……+Gku+……+Gnu

=(G1+G2+G3+……+Gk+……Gn)u

=Gequ

+u_i1(R2)1’G1(Rn)G2Gni1i2in(R1)应用KCL：i=i1+i2+i3+……+ik+……+in

施加同一电压电阻的联接其中

并联电阻的分流作用

ik=Gku

=i

（k=1,2,3,……,n)GkGeq——电流分配公式或分流公式

在电路分析中，常常遇到两个电阻并联的情况，即当n

=

2时，两个电阻并联，其等效电阻为结论：并联的每个电阻中的电流与它们各自的电导值成正比。或总电流根据各个并联电阻的电导值进行分配。并联电阻电路有分流作用。电阻并联时，各电阻上的电流为：

i1=i=iG1GeqR2R1+R2

i2=i=iG2GeqR1R1+R2abi＋－uReq(Geq)abi＋－ui2R1i1R2(G2)(G1)两个电阻并联各电阻的分流为三个电阻的并联1111RRRR321++=GGGG321++=在并联电路中，若总电流I为已知，各电导支路的电流由下式求出：abI＋－uR(G)abI＋－uI2R1I1R2i3R3(G1)(G2)(G3)或（1）

等效并联电阻及分流关系（2）并联电阻的功率分配关系各电导所消耗的功率可以写成如下形式：

各并联电导所消耗的功率与该电导的大小成正比，即与电阻成反比。三个电阻的并联的电流比

G1==0.025mS,G2==0.1mS,G3==0.04mS

1R11R21R3解：按电流分配公式：

I1=Is=×16.5mA=2.5mAG1G1+G2+G30.0250.025+0.1+0.04

I2=Is=×16.5mA=10mAG2G1+G2+G30.10.025+0.1+0.04

I3=

Is=×16.5mA=4mAG1G1+G2+G30.040.025+0.1+0.04并联，总电流为Is=16.5mA，求各分电流I1、I2和I3。例2-3已知R1=40k，R2=10k,R3=25k，三个电阻3.电阻的混联

Req=R1+R2(R3+R4)R2+R3+R4例2-4求如图电路的等效电阻，已知R1=100，

R2=60，R3=10，R4=20。1R11’R4R2R3解:既有串联，又有并联电阻的电路为混联。R1R2abR7R5R4R6R3R34与R6串联，其等效电阻为解:

R1和R2并联等效电阻为R3和R4并联，其等效电阻为R34=1

R346=1+1=2R346//R5，R3465=1，R3465与R12串联，R346512=5

R346512//R7得ab端等效电阻Rab=2.5

。例2-5图示电路，R1=12

，R2=6

，R6=1

，R7=5

，

R3=R4=R5=2

，求ab端等效电阻。2.2.2

电阻的Y形联接和△形联接的等效变换i1i2i3123R1R2R3-

u23

+u12u31R12R23R31231U23’u31’u12’i2’i3’i1’R1、R2、R5？YR1、R3、R5？△Y形联接△形联接bR1R2R5adcR3R4R6Usi1i2i3123R1R2R3-

u23

+u12u31i2’R12R23R31231U23’u31’u12’i3’i1’ac两端的等效电阻RacY形联接△形联接bR1R2R5adcR3R4R6UsIR8R7R9Y、△联接的例子bR1R2R5Y—△等效的条件：△连接电路：i12=u’12R12,i23=u’23R23,i31

=u’31R31根据KCL：i1’=u’12R12u’31R31-(2-5)i2’=u’23R23u’12R12-i3’=u’31R31u’23R23-i2’R12R23R31231U23’u31’u12’i3’i1’1.具有相同的电压u12=u’12

、u23=u’23

、u31=u’31

2.流入对应端子的电流分别相等，即i1=i1’,i2=i2’,i3=i3’Y连接电路：i1+i2+i3=0得出：R1R3R2i2i3123i1R1

i1-R2

i2=u12R2

i2–R3

i3=u23i1=R3

u12R1R2+R2R3+R3R1-R2

u31R1R2+R2R3+R3R1(2-6)i2=R1

u23R1R2+R2R3+R3R1-R3

u12R1R2+R2R3+R3R1i3=R2

u31R1R2+R2R3+R3R1-R1

u23R1R2+R2R3+R3R1i1’=u12R12u31R31-i2’=u23R23u12R12-i3’=u31R31u23R23-R12=R1R2+R2R3+R3R1R3(2-7)R23=R1R2+R2R3+R3R1R1R31=R1R2+R2R3+R3R1R2R2

u31R1R2+R2R3+R3R1i1=-i2=R1

u23R1R2+R2R3

+R3R1-R3

u12R1R2+R2R3+R3R1i3=R2

u31R1R2+R2R3

+R3R1-R1

u23R1R2+R2R3+R3R1R3

u12R1R2+R2R3

+R3R1观察△和Y连接的电流：△Y:(2-8)R1=R12R31R12+R23+R31R2=R12R23R12+R23+R31R3=R31R23R12+R23+R31(2-7)R12

=R1R2+R2R3+R3R1R3R23

=R1R2+R2R3+R3R1R1R31

=R1R2+R2R3+R3R1R2=R1R2

R3R1+R1+=R2R3R1R2+R3+=R3R1R2R1+R3+Y△:电阻Y形联接和△形联接的等效变换结论:Y形电阻=△形相邻电阻的乘积△形电阻之和△形电阻=Y形电阻两两乘积之和Y形不相邻电阻若R1=R2=R3=RY

,则R△

=R12=R23=R31=3RY

或RY=R

△

13=Y形相邻电导的乘积Y形电导之和R121①②③④

⑤

22211R121①②③④

⑤

0.40.4210.8R2R4R3例2-6

求桥形电路的总电阻R12abRRabReqabReq=5R/6例2-7(a)利用电路的对称性，简化电路。例2-7(b)已知电桥平衡，求电流。电桥平衡满足R1R2=R3R4IR1R2R3R4R5UsabI1a、b为等电位点,R1与R4、R2与R3并联，再串联。I1=0,a、b两点断开，R1与R3、R2与R4串联，再并联。

在计算等效电阻时，还会遇到电路有等电位点，或某条支路没有电流的情况，这时，等电位电间可以用短路线连接，没电流的支路可视为开路，处理后，可以简化电路。

可根据电路的对称性，找等电位。由上述分析可以看出：2.3有源电路的等效变换注意：1.电压源串联的方向。等效电压源的电压值为各个电压源的代数和。

2.电压源不能并联，只有电压相等,极性一致的电压源才允许并联。否则违背KVL。

nk=1u=us1+

us2+…+

usn=

usk2.3.1电压源、电流源的串联和并联等效电压源us112+

-us2usn+

-+

-u12us+

-u1.电压源的串联和并联根据KVL,电压源串联后电压为2.电流源的串联和并联根据KCL有电流源的方向。等效电流源的电流值等于各个电流源电流的代数和。2.电流源一般不能串联。只有电流相等且方向一致的电流源才允许串联，否则违背KCL。nk=1i=

is1+

is2+…+

isn=

iskis12i等效电流源nk=1is=

isk等效电流源的电流为注意：is112is2isni3.电流源与电压源（或电阻）串联与电流源串联的电压源、电阻或一端口，对外电路而言，均为多余的元件。它们的等效电路为一电流源，其值为原电路中的电流源电流值。iis12usuis12ui1iis2Ruis一端口i2u1结论：4.电压源与电流源或电阻并联与电压源并联的电流源、电阻或一端口，对外电路而言，均为多余的元件。它们的等效电路为一电压源，其值为原电路中的电压源电压值。i12usuisusi12uR一端口12uius12ui结论：2.3.2

实际电源的两种模型及其等效变换实际电源uRiu0i实际电源的伏安特性方程u=f(i)

干电池稳压源实际电源实际电源的伏安特性u=us-RiUsUsRRiu0iiRusu11’isi11’uR’u=isR’-R’i2.电流源与电阻并联组合（有伴电流源）的VCR

isR’isR’iu0i1.电压源与电阻串联组合（有伴电压源）的VCR

实际电源有两种模型u=us-Ri

两种模型的特性曲线相同，二者对外电路等效。

两种模型的特性方程对应相等，即u=R’is–R’i两种模型等效变换条件为小结：1.实际电源的两种模型（有伴电源）的可以等效变换。要注意电源的方向。2.电压源和电流源（无伴电源）不能等效变换。3.等效是对外电路而言，对内电路不等效。3.实际电源的两种模型的等效变换条件R’=R和

us=Ris当u=0时，短路电流isc=is，电流源发出的功率P=0。开路时，电流源发出的功率

=

is2R’

isi11’uR’iRusu11’当u=0时，短路电流isc=us/R，电压源发出的功率P=(us/R)2R=us2/R。开路时，电压源发出的功率

=

0。由此可知，对内是不等效的。有伴电源的功率i2W10Vu11’5Ai11’u2Wi3W15Vu11’5Ai11’u3W例2-8

简化电路（1）（2）i3W15Vu11’6W5Ai11’u6W3W5Ai11’u3W2W12V5Ai11’u2Wi3W15Vu11’2W12Vi5W27Vu11’（3）（4）i722A26A23A6V2i76A22A29A17i2A29V14V27i5V37ii=0.5A例2-9求电路中的电流

i2.3.3受控源串并联及等效变换按KVL有

Ri+Ri

+uc

=us

2uR

+4

uR

=us

uR

=

=2Vus6例2-9求如图电路的电压uR受控源串、并联及等效变换方法与独立电源等效变换方法相同，但要注意，不要把控制量变换掉。Ri

uRRusuc

uc=R✕2uR=2✕2uR

=4uRusR2uRR

uRi12V22i110i15i2i110i15i2i5i22i2.5i1例2-10简化含受控源电路u如果一个网络具有两个引出端子与外电路相联而不管其内部结构如何复杂，这样的网络叫做一端口网络或二端网络或单口网络。2.4输入电阻的计算无源一端口的输入电阻Rin定义为：无源一端口网络：线性二端电阻和线性受控源构成的网络（不含独立源）。

输入电阻是不含独立电源的一口网络的端电压与端电流之比值，等效电阻则是用来等效替代一端口的电阻。仅含电阻的单口网络等效为一个线性二端电阻：应用电阻的串、并联和Y－△变换求解。i+_uReq

对于含受控源的无源一端口电路，就端口特性而言，也等效为一个线性二端电阻，其等效电阻值常用外加独立电源计算一端口VCR方程的方法求得。称为外加电源法（也称电压电流法）。外加电源法：在端口间加以电压源us，求端口电流i。或在端口间加以电压源is，求端口电压u。uSiNiSuN解：通常有两种求入端电阻的方法①加压求流法②加流求压法下面用加流求压法求RabRab=U/I=(1-b)R当b<1,Rab>0，正电阻正电阻负电阻uiU=(I-bI)R=(1-b)IR当b>1,Rab<0，负电阻例2-11求a,b两端的入端电阻Rab

(b≠1)IbIRabU解：加电压源压求电流法由KVL及KCL得故所求输入电阻例2-12求图示