概率论与数理统计课件04F 重要分布

第四章重要分布Ⅲ1.正态分布的实际背景和数学模型2.正态分布的数字特征3.标准正态分布与正态分布的关系4.正态分布与Г-分布的关系。1引理：普阿松积分公式2定义如果连续型随机变量x的概率密度为其中s,m为常数,并且s>0,则称x服从正态分布,简记作x~N(m,s2).利用引理可以验证Ex=m,Dx=s23特别地,当m=0,s=1时,称x服从标准正态分布,记为x~N(0,1).其概率密度记为j0(x),且4验证Ex=m5验证Dx=s26j0(x)的图形xj0(x)01-17j0(x)除一般概率密度的性质外,还有下列性质

(1)j0(x)有各阶导数

(2)j0(-x)=j0(x),偶函数

(3)在(,0)内严格上升,在(0,)严格下降.在x=0处达到最大值:(4)在x=1处有两个拐点;(5)x轴是j0(x)的水平渐近线8可用书后附表二查出j0(x)的各个值例1x~N(0,1),求j0(1.81),j0(-1),j0(0.57),j0(6.4),j0(0).解查书后附表二可得

j0(1.81)=0.07754 j0(-1)=j0(1)=0.2420

j0(0.57)=0.3391 j0(6.4)=0

j0(0)=0.39899一般正态分布与标准正态分布的关系1.如果x~N(m,s2),h~N(0,1),其概率密度分布记为j(x)和j0(x),分布函数分别记为F(x)及F0(x),则10证112.如果x~N(m,s2),而h=(x-m)/s,则h~N(0,1)证:为证明h~N(0,1),只要证明h的概率密度为j0(x)或分布函数为F0(x)即可.Fh(x)=P(hx)=P((x-m)/sx) =P(xsx+m)=F(sx+m)=F0(x)可以证明,服从正态分布的随机变量x,它的线性函数kx+b(k0)仍服从正态分布.12标准正态分布函数表如果x~N(0,1),则对于大于零的实数x,F0(x)的值可以由附表三直接查到.而对于小于零的x则可通过对称性来求得.j0(x)0uF0(x)x13例2x~N(0,1),求P(x1.96),P(x-1.96),P(|x|1.96),P(-1<x2),P(x5.9).14概括起来,如果x~N(0,1),则15例3x~N(8,0.52),求P(|x-8|<1)及P(x10)16例4x~N(m,s2),P(x-5)=0.045,P(x3)=0.618,求m及s17正态分布与G-分布的关系

3.

如x~N(0,1),则x2~2(1)18推论：如果x1,x2,...,xn相互独立,

且xi~N(0，1),(i=1,2,...,n),

则

x1+x2+...+xn~c2(n）推论(需要记住)：如果x1,x2,...,xm相互独立,且xi~c2(ni),(i=1,2,...,m),则

x1+x2+...+xm~c2(n1+n2+...+nm)19F分布的定义:

若连续型随机变量x的概率密度j(x)为201994年经济类研究生试题1x221解221995年经济类研究生试题x11-123解241997年经济类研究生试题251999年经济类研究生试题设随机变量X服从参数为l的泊松分布,且已知E[(X-1)(X-2)]=1,则l=_____提示:EX=DX=l,且EX2=(EX)2+DX=l2+l,l=1261999年经济类研究生试题

设随机变量Xij(i,j=1,2,...,n;n2)独立同分布,EXij=2,则行列式27282000年经济类研究生考研题

设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布;随机变量-12x29解301998年经济类研究生试题

设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当p=____时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为_____解设成功次数为X,则X~B(100,p),DX=100p(1-p)=100p-100p2,对p求导并令其为0,得100-200p=0,