第二章地理空间数学基础

第二章

地理空间数学基础§2-1

地球空间参考§2-2

空间数据投影

§2-3

空间数据的采集§2-4GIS中的地理参照系§3-5

GIS的数据质量§3-6

空间数据标准空间数据的采集§2-1

地球空间参考§2.1.1地球形状与地球椭球§2.1.2坐标系统§2.1.3高程基准一、地理空间的数学建构---如何建立地球表面的几何模型（形状与大小）1、最自然的面：包括海洋底部、高山、高原在内的固体地球表面，难以用一个简洁的数学式描述。2、相对抽象的面，即大地水准面假设一个当海水处于完全静止的平衡状态时从海平面延伸到所有大陆下部，而与地球重力方向处处正交的一个连续、闭合的水准面。

§2.1.1地球形状与地球椭球

一、地球形状与大小

1、最自然的面测量基准—地球模型地球表面水准面大地水准面铅垂线地球椭球体地球重力也不均匀，大地水准面不是一个十分规则的表面，且不能用简单的数学公式来表达，大地水准面不能作为测量成果的计算面。一、地球的形状与大小2、大地水准面：无数个水准面中，其中与平静的平均海水面相吻合并延伸穿过陆地、岛屿而形成的封闭曲面称。大地水准面的特性1。同一水准面上的重力位处处相等；2。同一水准面上任一点的铅垂线都与水准面相正交；3。由于地表起伏以及地球内质量分布不均匀，所以大地水准面是个复杂的曲面无法准确描述和计算；4。水准面和铅垂线是野外观测的基准面和基准线。为了测量成果计算的需要，选用一个同大地体相近的、可以用数学方法来表达的旋转椭球来代替地球---椭球体。二、椭球体模型

ab

c一、地球的形状与大小地球椭球体模型双轴椭球体模型（旋转椭球体）x2a2y2a2z2b2++=1如：克拉索夫斯基椭球体

地球椭球的基本元素常用符号a，b，α，e和e’表示

。符号的名称和公式为(衡量形状和大小参数）：长半轴=a；短半轴=b；扁率α=(a-b)/a；第一偏心率=第二偏心率=已知其中两个元素（包含a或b）,就可以推算其他三个元素。地球椭球椭球名称创立年代长半径akm短半径bkm扁率αWGS8419846378.1376356.7521∶298.261975年GRS椭球1980年代以后19756378.1406356.7551∶298.257苏联克拉索夫斯基椭球1953-80年代

19406378.2456356.9121∶297美国海福特椭球1953年前19106378.3886356.9121∶298.3§2.1.2坐标系统球面坐标系统天文地理坐标系大地地理坐标系平面坐标系统：投影坐标系统高斯平面直角坐标系地方独立平面直角坐标系投影过程示意图§2.1.2坐标系统一、球面坐标系

1、天文地理坐标系大地水准面和铅垂线是天文地理坐标系的基准面和线地面点的坐标是它沿铅垂线在大地水准面上投影点的经度和纬度（，）天文经度是首天文子午面与测站天文子午面的夹角，天文纬度为测站垂线方向与地球平均赤道面高是地面点沿铅垂线到大地水准面的距离2、大地地理坐标系（大地坐标）NSMP格林尼治天文台LBH大地经度(L)大地纬度(B)大地高(H)过地面点的子午面与起始子午面之间的夹角过地面点的法线与赤道面之间的夹角地面点沿法线至参考椭球面的距离G是依托地球椭球用定义原点和轴系以及相应基本参考面标示较大地域地理空间位置的参照系我国常用的大地坐标系大地坐标系参考椭球坐标原点北京54坐标系克拉索夫斯基椭球体原苏联西部的普尔科夫西安80坐标系IUGG（16届）椭球体1975陕西泾阳WGS84坐标系IUGG（17届）椭球体地球质心本地坐标系国家参考椭球（修改半径）§2.1.3高程系统1、基本概念：高程（绝对高程、海拔）-----地面点到大地水准面的铅垂距离。假定（相对）高程-----地面点到假定水准面的铅垂距离。高差-----两点间的高程之差。2.高程系统与高程基准我国国家高程系统：黄海高程系我国国家高程基准：1956年黄海高程系

1985年国家高程基准◆我国取青岛附近黄海平均海水面为大地水准面，即零基准面；人为而定，相对稳定我国1956年取前6年的平均潮位作为大地水准面；1985年取1952年1979年共26年观测的平均潮位作为大地水准面)；◆水准原点建在青岛市内，作为我国的国家高程基准。1956年高程基准的高程为72.289米，1985年高程基准的高程为72.260米。2、我国高程系统与高程基准国家高程原点二地图比例尺P77比例尺表示法数字比例尺,1:10000或1/10000文字比例尺,万分之一图解比例尺与实地比例尺面积比例尺比例系数SF=实际比例尺/主比例尺主比例尺：在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。局部比例尺：在投影面上有变形处的比例尺。第三章空间数据的采集和质量控制

§3-2空间数据的地理参照系和控制基础地图投影mapprojections：为什么要进行投影将三维椭球体转变成二维平面地图，称地图投影地球椭球体为不可展曲面将不可展的地球椭球面展开成平面，并且不能有断裂，则图形必将在某些地方被拉伸，某些地方被压缩，故投影变形是不可避免的。§2-2

空间数据投影

投影过程示意图2.1.1、地图投影的内涵地图投影

依据一定的数学法则，将不可展的地球曲面运用特定的数学方法展示到平面上，最终在地表面点与地图平面点之间建立一一对应的关系

(B,L)(x,y)数学解析法2.1.2、地图投影的分类按投影面分类按投影方式分类变形特征分类几何透视法按投影面分类方位投影

圆锥投影

圆柱投影

按投影方式分类横轴

正轴

斜轴

变形特征分类任意投影

等角投影等积投影圆锥投影、圆柱投影、局部平面投影是最常用的三大类距离变形、面积变形、角度（方位）变形距离、面积、方位三个因素总是存在矛盾，如何兼顾，何者优先，决定了采用什么投影、计算方法、相关参数

由地球椭球面（或球面）投影到平面引起的变形。表现在形状、大小两个方面。2.1.3投影变形地图投影变形的图解示例

（摩尔维特投影－等积伪圆柱投影）长度变形角度变形地图投影变形的图解示例

（UTM－横轴等角割圆柱投影）面积变形和长度变形投影变形示意图地图投影的变形示意地图投影的变形关于地图投影的几点结论：实现等角、等面积、等距离同时做到的投影不存在投影方式有多种多样，一个国家或地区依据自己所处在的经纬度、幅员大小以及图件用途选择投影方式在大于1：10万的大比例尺图件中，各种投影带来的误差可以忽略。2.1.4常用的地图投影我国1:1万-1：50万的地形图采用高斯—克吕克投影

(Gauss-Krüger)我国1：500——1：5000的图，采用城市平面局域投影英美国家常用横轴墨卡托投影（UTM）

高斯——克吕格投影的几何概念一、高斯-克吕格平面直角坐标系（1）.

高斯投影的概念（2）.

高斯投影的分带和编号（3）.

高斯平面直角坐标系

（4）.高斯投影的关系式高斯-克吕格投影高斯(Gauss,CarlFriedrich,1777-1855)，德国数学家，天文学家，物理学家。（1）.

高斯投影的概念等角横轴椭圆柱投影特点：1.中央子午线和地球赤道投影成为直线且为投影对称轴；2.等角投影，经纬线投影后保持相互垂直关系；3.中央子午线上没有长度变形。投影演示变形特点：1.中央经线上没有长度变形；2.同一纬线上，离中央经线越远，变形越大；3.同一经线上，纬度越低，变形越大；4.等变形线为平行于中央经线的直线。高斯——克吕格投影（等角横切椭圆柱投影）优点:1.等角性质，适用于系列比例尺地图的适用与编制；2.经纬网与直角坐标的偏差不大；3.计算量小，只需计算一个带，全球通用。6分带法3分带法（2）.

高斯投影的分带和编号国家坐标系：

高斯-克吕格直角坐标系高斯投影的分带和编号6°分带法：从格林尼治零度经线起，每6°分为一个投影带，全球共分为多少个投影带？

投影带号n和中央经线经度L0的计算公式为：

1231314151617293031

1201352426283032345759616带3带

061218728496168180

3915758799171177

3°分带法：从东经1°30′起，每3°为一带，将全球划分为多少个投影带？

投影带号n和中央经线经度L0的计算公式为：L0=(6°*n—3°)L0=(3°*n)课堂思考题1、如何根据某一点的经度来计算其所在投影带的带号？

EX：A点的经度为东经119°32′，则A点所在的6°带和3°带的带号分别为多少？

1231314151617293031

1201352426283032345759616带3带

061218728496168180

39157587991711772、为什么3°带是东经1.5°开始的？（3）.高斯平面直角坐标系及坐标本初子午线l=0°经线纬线XYZNEW=0-90°SPOR=0-180°E=0-90°N••赤道

f=0°••=0-180°W-经度-纬度R–地球半径O–地球球心XYo赤道中央经线高斯平面直角坐标系的特点1、坐标轴的特点o赤道中央子午线XYⅠⅡⅢⅣ△X△Y2、象限及方位角的特点3、坐标计算的特点XA=X0+△X=X0+DcosαYA=Y0+△Y=Y0+DsinαADα高斯平面直角坐标特点我国规定将各带纵坐标轴西移500公里（实质是将所有y值加上500公里）Y坐标值前再加上所在投影带带号EX:假设某点在第18带Y=743.353kmX=464.784kmY+500km加带号Y=243.353kmX=464.784km原始坐标（真实坐标）Y=18743.353kmX=464.784km高斯坐标（名义坐标）500km第X带纵坐标:表示离赤道公里数横坐标:前二位表示投影带号后几位表示离移轴纵线的公里数如:18210表示第18带,例移轴纵线210公里,即中央经线以西290公里移轴纵线赤道中央经线500km4、高斯投影的关系式高斯-克吕格投影正解公式：（B,L）→(X,Y)，原点纬度0，中央经度L0上面公式中东纬偏移FE=500000米+带号*1000000；高斯-克吕格投影比例因子k0=1高斯-克吕格投影反解公式：

(X,Y)→（B,L），原点纬度0，中央经度L0

补充材料

2、补充资料：高斯投影的演示高斯投影1、补充资料：坐标换算程序坐标换算程序高斯-克吕格投影与UTM

通用横轴墨卡托投影

(universaltransverseMercatorcoordinatesystem:UTM)：等角横轴割椭圆柱投影高斯-克吕格投影的中央经线长度比等于1UTM中央经线长度比等于0.9996长度比:投影面上一微小线段ds´和球面上相应微小线段ds之比。用公式表示为：μ=ds´/ds长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之比。2.1.4GIS中的地理参照系地球自然表面点位坐标系的确定包括两个方面的内容：一是地面点在地球椭球体面上的投影位置，采用地理坐标系；二是地面点至大地水准面上的垂直距离，采用高程系。一．地理参照系1、经纬度坐标系（地理坐标）

对空间定位有利，但难以进行距离、方向、面积量算。

2、笛卡儿平面坐标系

便于量算和进一步的空间数据处理和分析。

3、高程系统描述空间点在垂直高度上的特性--高程——由高程基准面起算的地面点的高度。

地理坐标系1.构成经度、纬度2.获取

天文测量、大地测量3.我国的大地坐标系

1954年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球，原点在原苏联西部的普尔科夫

80西安坐标系，1978年建立自己的坐标系，原点在陕西泾阳县，采用1975国际大地测量协会推荐的地球参数。一、地理参照系平面坐标系P79

将椭球面上的点通过地图投影的方法投影到平面上，通常使用平面坐标系。1.平面极坐标系：矢径(极径)、矢量角2.平面直角坐标：笛卡尔坐标坐标平移,坐标旋转(自学)第三章空间数据的采集和质量控制

§3-2空间数据的地理参照系和控制基础一、地理参照系二、GIS的地理基础--控制基础各种GIS的数据源、服务目的和各自特征可以不同，但均有自身统一的地理基础。

地理基础是地理信息数据表示格式与规范的重要组成部分，主要包括：统一的大地地理坐标

统一的地图投影系统统一的地理网格坐标统一的地理编码系统二、GIS的地理基础--控制基础（续）

2、投影与坐标系：每一种投影都与一个坐标系统相联系。投影关系着如何将图形物体显示于平面上，坐标系统显示出地形地物所在的相对位置。3、统一的地图坐标与投影系统的意义：

1）为地理信息的输入、输出及匹配处理提供一个统一的定位框架2）使各种来源的地理信息和数据能够具有共同的地理基础三GIS中地图投影的配置地图投影与GIS的关系

地图投影对GIS的影响渗透在GIS建设的各个方面:数据获取(数据源地图的投影)数据标准化预处理(按照某一参照系数字化)数据存储(统一的坐标基础)地图投影(地理基础)数据输出(具有相应投影的地图)数据应用(检索、查询、分析等）数据处理（投影转换）地图投影配置的一般原则a.与相应比例尺的国家基本地图投影系统一致b.一般至多采用二种投影系统，一种服务于大比例尺的数据处理与输入、输出，另一种服务于中小比例尺c.所用投影以等角投影为宜d.所用投影应能与网格坐标系统相适应，即所采用的网格系统（特别是一级网格）在投影带中应保持完整七GIS中地图投影的配置我国GIS中常用的地图投影配置大比例尺（>=50万）高斯——克吕格投影小比例尺（<50万）Lambert投影我国基本比例尺地形图：

1：100万Lambert投影

1：50万、1：25万、1：10万

1：5万、1：2.5万、1：1万高斯-克吕格

1：5000我国大部分省区图以及1：100万的地图多采用Lambert和Albers投影（正轴等面积割圆锥投影）地图的坐标地理坐标（大地坐标）平面直角坐标根据不同的投影，相应的得到平面直角坐标我国大于1:10万地形图上绘有高斯-克吕格投影平面直角坐标网，以公里为单位（公里网）大比例尺地形图公里网间隔比例尺公里网间隔（cm)

相应实地距离（km）1:1万1:2.5万1:5万1:10万104221112补充、地形图的分幅与编号

为了保管和使用方便，每一种基本比例尺地形图都规定有一定的图廓大小，每一幅图都具有相应的号码标志，这项工作叫地形图的分幅和编号。（我国1：10万7000幅）地形图的分幅方法：一是矩形分幅，一是经纬线分幅（也叫梯形分幅）。我们国家基本比例尺地形图采用经纬线分幅。补充、地图的分幅和编号

我国基本比例尺地形图有1:1万、1:2.5万、1:5万、1:10万、1:25万、1:50万和1:100万七种。大于等于1:10万的称为大比例尺地图；1:10万至1:100万地称为中比例尺地图；小于1:100万的称为小比例尺地图。由于一个国家范围很大，因此不可能用一幅地图来描述，因此地图的分幅和编号就非常重要。目前，我国采用的地形图分幅方案是以1:100万地形图为基准的，按照相同的经差和纬差定义其他更大比例尺地形图的分幅。

1:100万地形图分幅：纬度在0°～60°之间，经差6°，纬差4°

纬度在60°～76°之间，经差12°，纬差4°

纬度在76°～80°之间，经差24°，纬差4°

分幅是根据不同比例尺对每一分幅图编号，每一分幅图给一个固定的号码，相互不能重复，以便确认。分幅编号需要有一定的系统性，不能太任意。不同比例尺有不同的编号方法，请大家在课后参照参考书学习。地图的分幅和编号地图的图号构成（新）比例尺图幅大小分幅示例经差纬差1:100万6º4ºJ501:50万3º2º1:100万图分成4幅(2╳2)J50B0010021:25万1º30′1º1:100万图分成16幅(4╳4)J50C0030031:10万30′20′1:100万图分成144幅(12╳12J50D0100101:5万15′10′1:100万图分成576幅(24╳24)J50E0170161:2.5万7′30″5′1:100万图分成2304幅(48╳48)J50F0420021:1万3′45″2′30″1:100万图分成9216幅(96╳96)J50G0930041:5千1′52.5″1′15″1:100万图分成36864幅(192╳192)J50h1501401：50万、1：25万、1：10万地形图的分幅和编号示例（旧编码方法）1：5000和l:2000比例尺图的分幅编号1：5000和1：2000比例尺图的分幅编号是在1：10000图的基础上进行的。每幅1：10000的图分为4幅1：5000的图，分别在1：10000的图号后面写上各自的代号a、b、c、d。每幅1：5000的因又分成9幅1：2000的图，分别以l、2、……9表示，图幅的大小及编[作业]

已知某地地理坐标为λ=116°03′50″Eδ=39°40′20‘’N，求其所在1：100万，1：50万，1：10万和1：1万地形图的编号。二、地形图上的坐标网

为了在地图上迅速而准确的指示目标位置和确定方向，距离、面积等，高斯——克吕格投影的地图上绘有两种坐标网：地理坐标网（经纬网）和直角坐标网（方里网）。规定1：1万——1：10万比例尺的地形图上，每幅图的内图廓为经纬线，而图内不加绘经纬线，经纬度数值注记在内图廓的四角，在内外图廓间，还绘有黑白相间或仅用针线表示经差、纬差1′的分度带。需要时将对应点相连接，就可构成很密的经纬网。在1：25万——1：100万地形图上，直接绘出经纬网有时还绘有加密经纬网的加密分割线。纬度注记在东西内外图廓间，经度注记在南北内外图廓间。坐标系的建立和起算直角坐标网是以每一投影带的中央经线为纵轴（X轴），赤道作为横轴（Y轴），纵坐标以赤道为0起算，赤道以北为正，以南为负。我国位于北半球，纵坐标都是正值。（二）直角坐标网

(一）地理坐标网

横坐标本来应以中央经线为0起算，以东为正，以西为负，但因坐标数值有正有负，不便于使用，所以，又规定凡横坐标值均加500千米即等于将纵坐标轴向西移500千米，横坐标从此起算则均为正值。1、直角坐标系的特点

以公里为单位，按相等间距，作平行于纵、横轴的若干直线，便构成了图面上的平面直角坐标网，又叫方里网。2.直角坐标网的构成3.坐标的注记

纵坐标注记在东西内外图廓间，由南向北增加（四位数）；横坐标注记在南北内外图廓间，由西向东增加。地图四角注有全部坐标数。横坐标前两位为带号，其余只注最后两位公里数。

规定1：10万和更大的比例尺地形图绘制方里网，其间隔规定如下表：比例尺图上方里网间隔相应实地长度

1：1万10cm1km1：2.5万4cm1km1：5万2cm1km1：10万2cm2km（三）相邻投影带图幅的拼接于是规定在一定的范围内把邻带的坐标延伸到本带的图幅上，这就使某些图幅上有两个方里网系统，一个是本带的，一个是邻带的，为了区别，图廓内绘有本带方里网，图廓外绘邻带方里网的小段，需要使用时才连绘出来，这样相邻图幅就具有统一的直角坐标系统。由于高斯——克吕格投影的经线是向投影带的中央经线收敛的，它和坐标纵线有一定的夹角，叫子午线收敛角。所以当相邻两带的图幅拼接时，方里网就形成了折角。这就给拼接使用地图带来很大的困难，

绘有邻带方里网的区域范围是沿经线呈带状分布的，所以叫重叠带。重叠带的实质就是将投影带的范围扩大，即西带向东带延伸30′，东带向西带延伸15′。三、地形图上的高程和注记

1.绝对高程、相对高程和高差绝对高程相对高程高差

2.注记。高程注记有两种：一种是点的高程，用黑色数字注记，字头朝向北图廓；另一种是等高线的高程，用棕色数字注记，字头朝向上坡方向。

四、地形图的分幅与编号

为了保管和使用方便，每一种基本比例尺地形图都规定有一定的图廓大小，每一幅图都具有相应的号码标志，这项工作叫地形图的分幅和编号。（我国1：10万7000幅）地形图的分幅方法：一是矩形分幅，一是经纬线分幅（也叫梯形分幅）。我们国家基本比例尺地形图采用经纬线分