2017学年高中数学2-22.2直接证明与间接证明2.2.2含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。2。2［学习目标]1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．[知识链接]1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗?为什么？答这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．2．反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．[预习导引］1．反证法定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．要点一用反证法证明“至多”“至少”型命题例1已知x,y>0，且x＋y>2。求证:eq\f(1＋x,y），eq\f（1＋y,x)中至少有一个小于2.证明假设eq\f(1＋x，y），eq\f（1＋y，x)都不小于2，即eq\f（1＋x，y）≥2,eq\f（1＋y，x）≥2.∵x，y>0，∴1＋x≥2y，1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．∴eq\f（1＋x，y)，eq\f(1＋y，x）中至少有一个小于2。规律方法对于含有“至多"、“至少"的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．跟踪演练1已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd〉1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明假设a，b，c,d都是非负数，∵a＋b＝c＋d＝1，∴（a＋b）(c＋d)＝1.又∵(a＋b）(c＋d）＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，∴ac＋bd≤1。这与已知ac＋bd〉1矛盾，∴a，b，c,d中至少有一个是负数．要点二用反证法证明不存在、唯一性命题例2求证对于直线l:y＝kx＋1，不存在这样的实数k,使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax（a为常数)对称．证明假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称,设A(x1，y1)、B（x2，y2)，则有（1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；（2）点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3）线段AB的中点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2，2),\f（y1＋y2，2)）)在直线y＝ax上，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（ka＝－1①，y1＋y2＝kx1＋x2＋2②,\f(y1＋y2，2)＝a\f(x1＋x2，2)③))由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝kx＋1，，y2＝3x2－1，）)得（3－k2)x2－2kx－2＝0。④当k2＝3时，l与双曲线仅有一个交点,不合题意．由②、③得a(x1＋x2）＝k（x1＋x2)＋2⑤由④知x1＋x2＝eq\f（2k，3－k2),代入⑤整理得：ak＝3,这与①矛盾．所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称．规律方法证明“唯一性"问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时,采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法（假设“有另外一个”,推出矛盾）或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．跟踪演练2求证方程2x＝3有且只有一个根．证明∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的:假设方程2x＝3至少有两个根b1,b2（b1≠b2),则2b1＝3，2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1.若b1－b2>0，则2b1－b2〉1,这与2b1－b2＝1相矛盾．若b1－b2<0，则2b1－b2〈1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．∴b1－b2＝0，则b1＝b2。∴假设不成立,从而原命题得证．要点三用反证法证明否定性命题例3等差数列{an｝的前n项和为Sn，a1＝1＋eq\r（2)，S3＝9＋3eq\r(2)。(1)求数列｛an｝的通项an与前n项和Sn；(2）设bn＝eq\f（Sn，n）（n∈N*),求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．（1)解设公差为d，由已知得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2），)）∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2）,Sn＝n(n＋eq\r（2）)．(2)证明由(1)得bn＝eq\f（Sn,n)＝n＋eq\r(2）.假设数列{bn｝中存在三项bp、bq、br（p、q、r互不相等）成等比数列，则beq\o\al（2，q）＝bpbr，即（q＋eq\r(2)）2＝（p＋eq\r（2)）（r＋eq\r(2）），∴(q2－pr）＋（2q－p－r）eq\r（2）＝0。∵p，q，r∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（q2－pr＝0,,2q－p－r＝0，）)∴eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(p＋r,2))）2＝pr，(p－r）2＝0，∴p＝r，这与p≠r矛盾．所以数列｛bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．规律方法（1）当结论中含有“不”、“不是"、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．（2）反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证,否则，仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．跟踪演练3已知f（x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)（a>1)，证明方程f（x）＝0没有负数根．证明假设x0是f(x）＝0的负数根，则x0<0且x0≠－1且ax0＝－eq\f（x0－2，x0＋1），由0<ax0<1⇒0<－eq\f(x0－2，x0＋1)〈1，解得eq\f(1，2）〈x0〈2,这与x0〈0矛盾，所以假设不成立，故方程f(x）＝0没有负数根．1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角答案B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”,应先假设这个三角形中()A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°答案B3．“a<b”的反面应是()A．a≠b B．a〉bC．a＝b D．a＝b或a〉b答案D4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c,b⊥c，则a∥b”时,应假设(）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交答案D5．已知a是整数，a2是偶数,求证a也是偶数．证明（反证法）假设a不是偶数，即a是奇数．设a＝2n＋1（n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1。∵4（n2＋n）是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．1．反证法证明的基本步骤（1）假设命题结论的反面是正确的;（反设）（2)从这个假设出发,经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾;(推谬）（3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)2．用反证法证题要把握三点:（1）必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能,要逐一论证,缺少任何一种可能，证明都是不全面的．（2）反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾,或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的。一、基础达标1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是(）①与已知条件矛盾②与假设矛盾③与定义、公理、定理矛盾④与事实矛盾A．①② B．①③C．①③④ D．①②③④答案D2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线答案C解析假设c∥b,而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x〈y"；③“三角形的外心在三角形外"的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角"的反面是“三角形没有钝角"．其中正确的叙述有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个答案B解析①错：应为a≤b；②对；③错:应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a,b中至少有一个能被5整除"时,假设的内容应为（)A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除答案B解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a,b都不能被5整除"．5．用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有有理根，那么a,b，c中存在偶数”时，否定结论应为________答案a，b,c都不是偶数解析a,b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”,“至少有两个”的否定是“最多有一个”．7．设二次函数f（x)＝ax2＋bx＋c（a≠0)中,a、b、c均为整数，且f（0)，f（1）均为奇数．求证f（x）＝0无整数根．证明设f（x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c. ①又∵f(0）＝c，f（1）＝a＋b＋c均为奇数,∴a＋b为偶数,当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1（n∈Z)，则ak2＋bk＝（2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．二、能力提升8．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝eq\f（xn·x\o\al（2，n）＋3，3x\o\al(2,n）＋1）(n＝1，2，…），试证“数列{xn｝对任意的正整数n都满足xn〉xn＋1”,当此题用反证法否定结论时应为（）A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1B．存在正整数n,使xn＝xn＋1C．存在正整数n，使xn≥xn＋1D．存在正整数n,使xn≤xn＋1答案D解析“任意”的反语是“存在一个"．9．设a,b,c都是正数,则三个数a＋eq\f(1,b），b＋eq\f（1,c)，c＋eq\f（1，a)(）A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2答案C解析假设a＋eq\f(1，b）<2，b＋eq\f(1,c）<2，c＋eq\f（1，a）<2,则eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(a＋\f(1，b））)＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1，c）))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f（1，a)）)〈6.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f（1,b）))＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（b＋\f（1，c）))＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（c＋\f(1，a)))＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（a＋\f(1,a））)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f（1,b））)＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)））≥2＋2＋2＝6,这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确,所以这三个数至少有一个不小于2.10．若下列两个方程x2＋（a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________答案a≤－2或a≥－1解析若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝（3a－1）（－a－1）<0，∴a<－1或a>eq\f（1，3）.Δ2＝（2a)2＋8a＝4a(a＋2）<0，∴－2〈a〈0，故－2<a〈－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a≤－2或11．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca〉0，abc〉0，求证a>0，b>0，c>0。证明用反证法：假设a，b，c不都是正数,由abc〉0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a〈0,b〈0,c>0，则由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b）,又a＋b<0，∴c（a＋b)〈－（a＋b）(a＋b)ab＋c(a＋b）<－(a＋b）(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca〈－a2－ab－b2∵a2〉0,ab〉0，b2〉0，∴－a2－ab－b2＝－（a2＋ab＋b2）<0，即ab＋bc＋ca〈0，这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．因此a>0，b〉0，c>0成立．12．已知a，b，c∈（0,1），求证（1－a）b，(1－b)c，(1－c）a不可能都大于eq\f（1,4).证明假设三个式子同时大于eq\f（1,4），即(1－a)b〉eq\f（1,4），(1－