2017-2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课学案1-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE20学必求其心得，业必贵于专精PAGE第二章圆锥曲线与方程学习目标1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用,会用定义求标准方程。2。掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法。3。掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4。掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．知识点一椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2|)的点的集合平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于|F1F2|）的点的集合平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过点F）距离相等的点的集合标准方程eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2,b2）＝1或eq\f(y2,a2）＋eq\f(x2，b2）＝1（a>b〉0)eq\f（x2,a2)－eq\f(y2，b2)＝1或eq\f（y2，a2）－eq\f（x2,b2）＝1（a>0，b〉0）y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py（p>0）关系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2图形封闭图形无限延展,但有渐近线y＝±eq\f(b,a)x或y＝±eq\f(a，b）x无限延展,没有渐近线变量范围|x|≤a,｜y｜≤b或|y｜≤a，｜x|≤b|x|≥a或|y｜≥ax≥0或x≤0或y≥0或y≤0对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e＝eq\f（c,a)，且0〈e〈1e＝eq\f(c，a），且e>1e＝1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小知识点二椭圆的焦点三角形设P为椭圆eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2,b2）＝1（a>b>0）上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α,则△PF1F2为焦点三角形（如图)．(1)焦点三角形的面积S＝b2taneq\f（α,2)。（2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.知识点三双曲线及渐近线的设法技巧1．由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0,即可得到两条渐近线的方程．如双曲线eq\f（x2，a2)－eq\f（y2,b2）＝1（a〉0,b〉0）的渐近线方程为eq\f(x2，a2）－eq\f（y2，b2）＝0(a〉0，b>0），即y＝______________；双曲线eq\f(y2,a2）－eq\f(x2，b2)＝1（a〉0，b〉0)的渐近线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝0（a〉0，b〉0)，即y＝__________.2．如果双曲线的渐近线为eq\f（x，a)±eq\f（y,b)＝0时，它的双曲线方程可设为__________________．知识点四求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形,后定式,再定量"的步骤．（1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形"设方程的形式,注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m〉0，n>0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小．知识点五三法求解离心率1．定义法:由椭圆（双曲线）的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上，都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝eq\f（c，a)，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．2．方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆（双曲线）的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．知识点六直线与圆锥曲线位置关系1．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况:一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．2．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．类型一圆锥曲线定义的应用例1若F1，F2是双曲线eq\f(x2,9）－eq\f(y2，16）＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且｜PF1|·|PF2｜＝32,试求△F1PF2的面积．引申探究将本例的条件|PF1|·|PF2|＝32改为｜PF1｜∶|PF2|＝1∶3，求△F1PF2的面积．反思与感悟涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．跟踪训练1已知椭圆eq\f（x2，m）＋y2＝1(m〉1)和双曲线eq\f(x2,n)－y2＝1（n〉0)有相同的焦点F1，F2,P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．随m，n变化而变化类型二圆锥曲线的性质及其应用例2（1）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2，b2)＝1，双曲线C2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2，b2）＝1,C1与C2的离心率之积为eq\f(\r(3)，2)，则C2的渐近线方程为(）A．x±eq\r(2）y＝0 B。eq\r(2）x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0（2)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线eq\f（x2，a2）－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形,则该双曲线的离心率是________．反思与感悟有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念,并且充分理解题意，大都可以顺利解决．跟踪训练2如图，F1，F2是椭圆C1：eq\f（x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A。eq\r（2)B.eq\r(3）C.eq\f（3，2）D.eq\f(\r(6），2)类型三直线与圆锥曲线的位置关系例3已知椭圆eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2,b2）＝1(a>b〉0）上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为2eq\r(2),离心率为eq\f（\r（2）,2）.(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点，若y轴上一点M(0，eq\f（\r(3),7）)满足｜MA|＝｜MB|，求直线l的斜率k的值．反思与感悟解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：（1）函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．(2）不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．跟踪训练3如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且eq\o(AB,\s\up6（→))与n＝(eq\r(2）,－1)共线．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．1．双曲线x2－eq\f（y2,m)＝1的离心率大于eq\r(2）的充要条件是(）A．m>eq\f（1,2） B．m≥1C．m>1 D．m>22．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(）A。eq\f（x2,81）＋eq\f(y2,72）＝1 B。eq\f(x2,81)＋eq\f（y2,9)＝1C.eq\f（x2,81）＋eq\f(y2，25）＝1 D.eq\f(x2，81)＋eq\f（y2，36)＝13．设椭圆eq\f(x2，m2）＋eq\f（y2，n2)＝1(m>0,n〉0）的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为eq\f（1,2),则此椭圆的方程为（）A。eq\f(x2，12)＋eq\f(y2,16)＝1 B。eq\f(x2，16）＋eq\f（y2,12)＝1C.eq\f（x2,48)＋eq\f(y2，64)＝1 D。eq\f(x2，64)＋eq\f(y2,48)＝14．已知点A（－2,3）在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F,则直线BF的斜率为（)A.eq\f（1，2） B。eq\f（2，3)C.eq\f（3，4） D.eq\f(4,3）5．点P（8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________________．在解决圆锥曲线问题时,待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题．

答案精析问题导学知识点三1．±eq\f(b，a）x±eq\f(a，b）x2。eq\f(x2，a2）－eq\f（y2,b2)＝λ（λ≠0)题型探究例1解由双曲线方程eq\f(x2,9）－eq\f(y2，16）＝1,可知a＝3,b＝4，c＝eq\r(a2＋b2)＝5。由双曲线的定义，得||PF1|－｜PF2｜|＝6，将此式两边平方，得｜PF1|2＋｜PF2|2－2|PF1｜·|PF2|＝36，所以|PF1｜2＋｜PF2|2＝36＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝36＋2×32＝100.如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1｜2＋｜PF2|2－|F1F2｜2，2｜PF1｜｜PF2｜）＝eq\f（100－100,2|PF1｜|PF2|)＝0,所以∠F1PF2＝90°，所以S△F1PF2＝eq\f(1，2）|PF1|·|PF2｜·sin∠F1PF2＝eq\f（1，2）×32×1＝16。引申探究解由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（｜PF2|＝3｜PF1｜，，|PF2｜－|PF1｜＝2a＝6，））所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（|PF1｜＝3，,｜PF2｜＝9，）)所以cos∠F1PF2＝eq\f（|PF1｜2＋|PF2|2－|F1F2|2，2｜PF1||PF2|）＝eq\f（9＋81－100,2×3×9)＝－eq\f(5，27）。所以sin∠F1PF2＝eq\f（8\r(11）,27），所以S△F1PF2＝eq\f(1，2）|PF1｜｜PF2|sin∠F1PF2＝eq\f（1，2)×3×9×eq\f（8\r(11)，27）＝4eq\r(11）.即△F1PF2的面积为4eq\r(11)。跟踪训练1B［设P为双曲线右支上的一点．对椭圆eq\f（x2，m)＋y2＝1（m>1)，c2＝m－1，|PF1｜＋|PF2｜＝2eq\r(m），对双曲线eq\f（x2,n)－y2＝1，c2＝n＋1,｜PF1｜－|PF2|＝2eq\r（n）,∴|PF1|＝eq\r（m)＋eq\r(n），|PF2|＝eq\r(m）－eq\r（n)，|F1F2｜2＝(2c）2＝2(m＋n)，而|PF1｜2＋|PF2|2＝2(m＋n）＝（2c）2＝｜F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，故选B.]例2(1）A（2）eq\r（6)解析(1）a＞b＞0，椭圆C1的方程为eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2,b2）＝1，C1的离心率为eq\f(\r（a2－b2),a)，双曲线C2的方程为eq\f(x2，a2）－eq\f（y2,b2）＝1,C2的离心率为eq\f（\r(a2＋b2)，a).∵C1与C2的离心率之积为eq\f(\r(3)，2)，∴eq\f(\r（a2－b2）,a）·eq\f（\r（a2＋b2）,a）＝eq\f（\r（3)，2),∴eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（b,a))）2＝eq\f（1,2)，eq\f（b,a)＝eq\f(\r（2），2)，∴C2的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2）x，即x±eq\r(2）y＝0.（2）抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，又△FAB为直角三角形，则只有∠AFB＝90°,如图,则A(－1,2)应在双曲线上,代入双曲线方程可得a2＝eq\f(1，5），于是c＝eq\r(a2＋1)＝eq\r(\f(6,5)).故e＝eq\f（c，a)＝eq\r（6).跟踪训练2D[由椭圆可知｜AF1｜＋|AF2｜＝4，|F1F2｜＝2eq\r（3)。∵四边形AF1BF2为矩形，∴|AF1|2＋|AF2｜2＝|F1F2｜2＝12，∴2｜AF1||AF2｜＝(｜AF1|＋|AF2|)2－（｜AF1|2＋|AF2|2）＝16－12＝4，∴（|AF2｜－｜AF1|）2＝|AF1|2＋｜AF2｜2－2｜AF1｜|AF2｜＝12－4＝8,∴｜AF2|－｜AF1|＝2eq\r（2）。因此对于双曲线C2有a＝eq\r(2)，c＝eq\r(3)，∴C2的离心率e＝eq\f（c，a）＝eq\f(\r(6),2）.]例3解（1）由题意知，|PF1｜＋｜PF2|＝2a＝2eq\r（2）,所以a＝eq\r（2)。又因为e＝eq\f(c，a)＝eq\f（\r(2）,2），所以c＝eq\f（\r(2),2）×eq\r（2）＝1，所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1。（2)已知F2（1,0），直线斜率显然存在，设直线的方程为y＝k(x－1），A（x1，y1)，B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝kx－1，,\f(x2，2）＋y2＝1，)）化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0,所以x1＋x2＝eq\f(4k2,1＋2k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2）－2k＝eq\f(－2k，1＋2k2）.所以AB的中点坐标为(eq\f（2k2,1＋2k2）,eq\f(－k，1＋2k2)）．①当k≠0时,AB的中垂线方程为y－eq\f（－k，1＋2k2)＝－eq\f（1，k）（x－eq\f（2k2,1＋2k2）)，因为|MA｜＝｜MB|，所以点M在AB的中垂线上，将点M的坐标代入直线方程得，eq\f(\r(3),7)＋eq\f(k,1＋2k2）＝eq\f（2k,1＋2k2），即2eq\r(3）k2－7k＋eq\r（3）＝0，解得k＝eq\r(3）或k＝eq\f(\r（3)，6)；②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0,满足题意．所以斜率k的取值为0，eq\r（3)或eq