第三章、地基中应力计算

3地基中应力计算

土体中应力状态发生变化引起地基土的变形，导致建筑物的沉降、倾斜或水平位移。

当应力超过地基土的强度时，地基就会因丧失稳定性而破坏，造成建筑物倒塌。

地基中的应力计算

土中的应力按引起的原因可分为:(1)由土本身有效自重在地基内部引起的自重应力;(2)由外荷(静荷载或动荷载)在地基内部引起的附加应力。3.1土中自重应力研究目的：确定土体的初始应力状态.

研究方法：土体简化为连续体，应用连续体力学(例如弹性力学)方法来研究土中应力的分布。

3.1.1均质土的自重应力

假设:天然土体是一个半无限体，地面以下土质均匀。cz沿水平面均匀分布，且与z成正比，即随深度按直线规律分布

cz=z

侧向自重应力由于地基中的自重应力状态属于侧限应力状态,故x=y=0，且cx=cy，根据广义虎克定理，侧向自重应力cx和cy应与cz成正比，而剪应力均为零，即cx=cy=K0cz

xy=yz=zx＝０式中

K0

―比例系数，称为土的侧压力系数或静止土压力系数。注意：

(1)

土中任意截面都包括有骨架和孔隙的面积，所以在地基应力计算时考虑的是土中单位面积上的平均应力。

(2)假设天然土体是一个半无限体，地基中的自重应力状态属于侧限应力状态，地基土在自重作用下只能产生竖向变形，而不能有侧向变形和剪切变形。地基中任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。

(3)土中竖向和侧向的自重应力一般均指有效自重应力。为了简便起见，把常用的竖向有效自重应力cz，简称为自重应力，并改用符号c表示。3.1.3成层地基土中自重应力天然地面地下水位不透水层h4g1h1+g2h2+g'3h3+g'4h4+gw(h3+h4)g1h1+g2h2g1h1g1h1+g2h2+g'3h3h2h3h1sc线g4,g'4g3,g'3g1g2

在地下水位以下，如埋藏有不透水层,由于不透水层中不存在水的浮力，所以层面及层面以下的自重应力应按上覆土层的水土总重计算

地下水位位于同一土层中，计算自重应力时，地下水位面应作为分层的界面。3.2基底压力

建筑物荷载通过基础传递给地基，基础底面传递给地基表面的压力，称基底压力。基底压力的分布规律主要是取决于上部结构、基础的刚度和地基的变形条件，是三者共同工作的结果。

基础刚度的影响

柔性基础能跟随地基土表面而变形，作用在基础底面上的压力分布与作用在基础上的荷载分布完全一样。所以，上部荷载为均匀分布，基底接触压力也为均匀分布。绝对刚性基础的基础底面保持平面，即基础各点的沉降是一样的，基础底面上的压力分布不同于上部荷载的分布情况。荷载和土性的影响

当荷载较小时，基底压力分布形状如图a，接近于弹性理论解；荷载增大后，基底压力呈马鞍形(图b)；荷载再增大时，边缘塑性破坏区逐渐扩大，所增加的荷载必须靠基底中部力的增大来平衡，基底压力图形可变为抛物线型(图d)以至倒钟形分布(图c)。说明

根据弹性理论中圣维南原理，在总荷载保持定值的前提下，地表下一定深度处，基底压力分布对土中应力分布的影响并不显著，而只决定于荷载合力的大小和作用点位置。因此，除了在基础设计中，对于面积较大的片筏基础、箱形基础等需要考虑基底压力的分布形状的影响外，对于具有一定刚度以及尺寸较小的柱下单独基础和墙下条形基础等，其基底压力可近似地按直线分布的图形计算，即可以采用材料力学计算方法进行简化计算。3.2.2基底压力的简化计算（一）中心荷载下的基底压力中心荷载下的基础基底压力假定为均匀分布，此时基底平均压力设计值p(kPa)按下式计算：

式中p—作用任基础上的竖向力设计值(kN)；

G—基础自重设计值及其上回填土重标准值的总重(kN)；G=GAd,其中G为基础及回填土之平均重度，一般取20kN/m3，（二）偏心荷载下的

基底压力

单向偏心荷载下的矩形基础如图所示。设计时通常取基底长边方向与偏心方向一致，此时两短边边缘最大压力设计值pmax与最小压力设计值pmin

(kPa)按材料力学短柱偏心受压公式计算：

(1)

W＝bl2/6（m）基底压力分布

把偏心荷载(如图中虚线所示)的偏心矩e=M/(F+G)引入上式得：

当e＜l/6时分布呈梯形[图(a)]；当e=l/6时，则呈三角形[图(b)]；当e＞l/6时，pmin<0[图(c)]。基底压力重新分布。(2)基底压力重新分布

根据偏心荷载应与基底反力相平衡的条件，荷载合力应通过三角形反力分布图的形心[图(c)中实线所示分布图形]，由此可得基底边缘的最大压力pmax为：ｋ—单向偏心荷载作用点至具有最大压力的基底边缘的距离(m)。

k=l/2-e3.2.3基底附加压力

一般情况下，建筑物建造前天然土层在自重作用下的变形早已结束。因此，只有基底附加压力才能引起地基的附加应力和变形。

p0=p-cd=p-0d基础砌置天然地面:全部基底压力=基底附加压力。埋置一定深度，扣除基底标高处原有的土中自重应力3.3地基附加应力

在计算地基中的附加应力时，常把土当成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律。从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。尽管这种假定是对真实土体性质的高度简化，但仍可满足工程需要。地基土的基本假定1连续介质弹性理论中的应力概念与连续介质的概念是紧密相连。2线弹性体理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。3均质、各向同性理想弹性体应是均质的各向同性体。所谓均质，是指受力体各点的性质相同；各向同性则是指在同一点处的各个方向上性质相同。3.3.1竖向集中力作用下的地基附加应力3.3.1.1单个竖向集中力作用（布辛奈斯克解）

法国J.布辛奈斯克(Boussinesq,1885)运用弹性理论推出了在弹性半空间表面上作用一个竖向集中力时，半空间内任意点M(x、y、z)处的六个应力分量和三个位移分量的弹性力学解答。布辛奈斯克解布辛奈斯克解布辛奈斯克解单个竖向集中力作用竖向附加应力z

的分布特征如下1.在集中力P作用线上的z分布2.在r＞0的竖直线上的z分布 3.在z＝常数的水平面上的

z分布等代荷载法3.3.2分布荷载作用下土中应力计算3.3.2.1空间问题的附加应力计算（1）均布矩形荷载下的地基附加应力（2）三角形分布矩形荷载下的地基附加应力（3）均布圆形荷载下地基附加应力（1）均布矩形荷载下的地基附加应力（1）均布矩形荷载下的地基附加应力式中αc为均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数，简称角点应力系数，可按m及n值由表查得。必须注意，在应用角点法计算αc值时，b恒为短边，l恒为长边。令

m=l/b,n=z/b任意点的应力应力计算—角点法(a)O点在荷载面边缘z=(αcI+αcII)p0(b)O点在荷载面内z=(αcI+αcII+αcIII+αcIV)p0

如果O点位于荷载面中心，则是αcI=αcII=αcIII=αcIV

得z

＝4αcI(c)O点在荷载面边缘外侧z=(αcIαcII+αcIIIαcIV)p0(d)O点在荷载面角点外侧z=(αcIαcIIαcIII+αcIV)p0利用角点下的应力计算公式和应力叠加原理，推求地基中任意点的时加应力的方法称为角点法。应用角点法计算α

c值时，b恒为短边，l恒为长边。（2)三角形分布的竖向矩形荷载下的地基附加应力令

m=l/b,n=z/b3均布的圆形荷载3.3.2.2平面问题的附加应力（1）线荷载作用下的地基附加应力（2）均布的竖向条形荷载（3）三角形分布的竖向条形荷载（1）线荷载作用下的

地基附加应力线荷载作用下的应力状态属于弹性力学中的平面应变问题，按广义虎克定律和y＝0的条件可得：因此，在平面问题中需要计算的应力分量只有z、x和xz三个。（1）线荷载作用下的

地基附加应力线荷载作用下的应力状态属于弹性力学中的平面应变问题，按广义虎克定律和y＝0的条件可得：因此，在平面问题中需要计算的应力分量只有z、x和xz三个。（2）均布的竖向条形荷载

当地基表面宽度为b的条形面积上作用着竖向均布荷载p0(kPa)，此时,地基内任意点M的附加应力z可利用弗拉曼解和积分的方法求得。（2）均布的竖向条形荷载

首先在条形荷载的宽度方向上取微分段d，将其上作用的荷载视为线荷载，则在M点引起的竖向附加应力dz为:

（2）均布的竖向条形荷载

沿宽度b积分，即可得整个条形荷载在M点引起的竖向附加应力:（2）均布的竖向条形荷载αsz、αsx、αsxz分别为水平附加向应力系数和剪应力附加系数。其值可按m＝x/b和n=z/b的数值查表得到。条形基础下求地基内的附加应力时，必须注意坐标系统的选择。（3）三角形分布的竖向条形荷载

当地基表面宽度为b的条形面积上作用着最大强度为的三角形分布荷载，首先在条形荷载的宽度方向上取微分段d，将其上作用的荷载视为线荷载，任意点的附加应力求解方法利用角点法和叠加原理（3）三角形分布的竖向条形荷载

此时，可利用弗拉曼解和积分的方法求得地基内任意M点处的附加应力z为：

任意点的附加应力求解方法利用角点法和叠加原理（3）三角形分布的竖向条形荷载

可简化为：

z=αtzpt式中Ktz为三角形分布荷载附加向应力系数。其值可按m＝x/b和n=z/b的数值查表得到。任意点的附加应力求解方法利用角点法和叠加原理均布条形荷载和均布方形荷载下的附加应力z、x和xz比较(a)均布条形荷载下z等值线图(b)均布方形荷载下z等值线图(c)条形荷载下的x的等值线图(d)条形荷载下的xz的等值线图3.3.3非均质和各向异性地基中的附加应力

影响土中附加应力分布的因素

地基中附加应力计算是在假定地基