第8章 信道编码

本章要点*

差错控制编码的基本概念*

常用的几种检错编码第8章差错控制编码§8.1差错控制编码的基本概念

信道编码即差错控制编码，目的是为了提高数字通信系统的可靠性不同系统的误码率不同 传输雷达数据：10－5传输数字话音：10－3～10－4传输计算机数据：10－9一、概述二、差错控制方式1.检错重发法（ARQ）:发送端发出有一定检错能力的码。接收端根据编码规则，判断这些码在传输中是否有错误产生，如有错，就通过反馈信道告之发端，发端将错码重新发送，直到收端认为正确。特点：只需要少量的多余码就能获得较低的误码率，系统的适应性较强；必须有反馈信道，不能进行同播，实时、连贯性差。应用：短波、有线通信2.前向纠错法（FEC）:前向纠错方式是发送端发送有纠错能力的码，接收端的纠错译码器收到这些码之后，按预先规定的规则，自动的纠正传输中的错误。特点：不需反馈信道，译码的实时性好，控制电路简单；译码设备比较复杂，因而对信道变化的适应性差，为了获得较低的误码率，设计信道冗余度较大。应用：移动通信3.混合差错控制（HEC）:是上述两种方式的结合。发送端发送的码可检错、纠错。接收端译码器收到信码后，如果检查出的错误是在码的纠错能力以内，则接收端自动进行纠错，如果错误很多，超过了码的纠错能力但尚能检测时，接收端则通过反馈信道告知发送端必须重发这组码的信息。特点：该方法不仅克服了前向纠错方式冗余度较大，需要复杂的译码电路的缺点，同时还增强了检错重发方式的连贯性

应用：卫星通信三、检错和纠错编码基本原理1.基本原理发送端信息序列信道编码增加监督码相关码序列接收端接收端接收码序列信道译码相关检测信息码序列【例子】表示天气：阴、晴用一位码10无任何检、纠错能力用二位码110001、10为禁用码，可检一位错，不可纠错用三位码111000001、010、011、100、101、110为禁用码，可纠一位错，检二位错2.几个概念冗余度：在信息中附加比特以便于收端进行错误检测分组码：在纠、检错编码中，将纯信息码分组，然后在每组信息码后附加若干位监督码分组码结构：在分组码中，每组信息码为k位，后附加r位监督码，总长度n位，称码组（n,k)，n=k+r例（7,3）3位信息码，4位监督码

信息码元k监督码元r码组长度nR，有效性 k，.编码效率：R=k/n.编码增益：在给定误码率下，非编码系统与编码系统所需信噪比

之差（dB）按信息码与监督码的函数关系分：线性码、非线性码

按信息码与监督码的约束关系分：分组码、卷积码

按编码后信息码是否保持原形式分：系统码、非系统码

按编码功能分：检错码、纠错码

按纠、检错类型分：纠检随机错误、纠检突发错误按码元取值分：二进制码、多进制码四、差错控制编码分类五、纠检错能力1.码重：码组中码元“1”的个数称为码组的重量，简称码重，用W表示。如码组：10001，W=2。2.码距：两个等长码组之间对应位不同的个数称为这两个码组的汉明距离，简称码距d如码组：10001和01101，其码距d＝33.最小码距：码组集合中各码组之间距离的最小值称为码组的最小距离，用d0表示。

4.纠错与检错能力（1）为检测e个错误，最小码距d0应满足

（2）为纠正t个错误，最小码距d0应满足

（3）为纠正t个错误，同时又能检测e个错误，最小码距d0应满足例已知两码组（0000）和（1111），若该码组用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若同时用于纠错和检错，问各能纠、检几位错码？

（1）（2）（3）解：例已知8个码组为：（O00000），（001110），（010101），（011011），（100011），（1O1101），（110110），（111000），（1）求以上码组的最小码距；（2）若此8个码组用于检错，可检出几位错？（3）若用于纠错码，能纠几位？（4）若同时用于纠错和检错，纠错、检错性能如何？例已知8个码组为：（O00000），（001110），（010101），（011011），（100011），（1O1101），（110110），（111000），（1）求以上码组的最小码距；（2）若此8个码组用于检错，可检出几位错？（3）若用于纠错码，能纠几位？（4）若同时用于纠错和检错，纠错、检错性能如何？

（1）（2）（3）（4）

§8.2常用的几种检错编码

一、奇偶监督码

1.奇监督码：在每组信息码之后加一位监督位，使码组中“1”的数目为奇数。*

纠检错能力：只能发现奇数个错误，不能发现偶数个错误。

2.偶监督码：例：已知信息码组m1、m2、m3为(000)，(001)，(010)，(011)，(100)，(101)，(110)，(111)，试写出奇数监督码组和偶数监督码组。二、二维奇偶监督码

1.概念：每一码组先写成一行，然后再按列的方向排列，若干码组排列成矩阵，最后加一行、列构成二维监督位。

*

纠检错能力：纠一行中的奇数个错误，检偶数个错误，但不可检测对角式错误。

例：已知行列矩阵，写出监督码（奇校验）。10001111010001010001100011三、群计数码

1.概念：将信息码中“1”的个数用二进制表示，并作为监督码放在信息码的后面。例：信息码：1010111---“1”的个数为5---101纠检错码组为1010111101

*

纠检错能力：除码组中“1”→“0”、“0”→“1”的成对错误外，可纠正所有形式的错误。

四、恒比码

1.概念：每个码组中“1”和“0”的数目保持恒定。例如：我国电传通信中普遍采用5中取3恒比码，即每个码组长度为5，“1”的个数为3，“0”的个数为2。该码组共有个许用码字，用来传送10个阿拉伯数字。*

纠检错能力：不能检测“1”错成“0”和“0”错成“1”成对出现的差错外，能发现几乎任何形式的错码。

五、正反码

1.概念：监督位数目与信息位数目相同，监督码元与信息码元是相同（是信息码的重复）或相反（是信息码的反码－由信息码中“1”的个数而定。例如：电报通信用的正反码的码长n=10，其中信息位k=5，监督位r=5。其编码规则为：(1)当信息位中有奇数个“1”时，监督位是信息位的简单重复；(2)当信息位中有偶数个“1”时，监督位是信息位的反码。

收端解码的方法为：先将收码组中信息位和监督位按位模2相加，得到一个5位的合成码组，然后，由此合成码组产生一校验码组。若接收码组的信息位中有奇数个“1”，则合成码组就是校验码组；若接收码组的信息位中有偶数个“1”，则取合成码组的反码作为校验码组。最后，观察校验码组中“1”、“0”的个数，按表进行判决及纠正可能发现的错码。*

纠检错能力：有纠正一位错码的能力，并能检测全部两位以下的错码和大部分两位以上的错码。

例如：信息码11001监督码11001

发送码组1100111001

其编码规则为：

(1)当信息位中有奇数个“1”时，监督位是信息位的简单重复；(2)当信息位中有偶数个“1”时，监督位是信息位的反码。其解码规则为：

(1)将收码组中信息位和监督位按位模2相加，得到一5位的合成码组

；(2)然后，由此合成码组产生一校验码组。a.若收到信息位中有奇数个“1”，则校验码组＝合成码组；b.若收到信息位中有偶数个“1”，则校验码组＝合成码组的反码接收码组1：1100111001

合成码组：00000校验码组：00000接收码组2：1000111001

合成码组：01000校验码组：10111接收码组3：1100101001

合成码组：10000校验码组：10000发送码组1100111001

接收码组1：1100111001

合成码组：00000校验码组：00000接收码组2：1000111001

合成码组：01000校验码组：10111接收码组3：1100101001

合成码组：10000校验码组：10000§

10.3线性分组码

现以(7,4)分组码为例来说明线性分组码的特点。设其码字为A=［a6

a5

a4

a3

a2

a1

a0］，其中前4位是信息元，后3位是监督元，可用下列线性方程组来描述该分组码，产生监督元。

(7,4)码的码字表一、监督矩阵H和生成矩阵G

1.上述（7，4）码的监督方程为线性方程可用矩阵表示为

其中,P为r×k阶矩阵，Ir为r×r阶单位矩阵。可以写成H=［PIr］形式的矩阵称为典型监督矩阵。HAT=0T，说明H矩阵与码字的转置乘积必为零，可以用来作为判断接收码字A是否出错的依据。并简记为

若把监督方程补充为下列方程

可改写为矩阵形式1000111010011000101010001011G=Q==PT111110101011二、伴随式(校正子)S

设发送码组A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，在传输过程中可能发生误码。接收码组B=［bn-1,bn-2,…,b1,b0］，则收发码组之差定义为错误图样E，也称为误差矢量，即其中E=［en-1,en-2,…,e1,e0］，且当bi=ai

当bi≠ai

令S=BHT，称为伴随式或校正子。(7,4)码S与E的对应关系§

7.4循环码

(7,3)循环码

在代数理论中，为了便于计算，常用码多项式表示码字。(n,k)循环码的码字，其码多项式(以降幂顺序排列)为

...一、生成多项式及生成矩阵

如果一种码的所有码多项式都是多项式g(x)的倍式，则称g(x)为该码的生成多项式。在(n,k)循环码中任意码多项式A(x)都是最低次码多项式的倍式。如表9-4的(7,3)循环码中，

循环码的生成矩阵常用多项式的形式来表示()xk-1g(x)Gxxg(x)g(x)=xk-2g(x)......例如(7,3)循环码，n=7,k=3,r=4,其生成多项式为生成矩阵为二、监督多项式及监督矩阵

为了便于对循环码编译码，通常还定义监督多项式，令其中g(x)是常数项为1的r次多项式，是生成多项式；h(x)是常数项为1的k次多项式，称为监督多项式。同理，可得监督矩阵H

是h(x)的逆多项式。例如(9，3)循环码，g(x)=x4+x3+x2+1，则其中()x6+x4+x3Hx=x5+x3+x2x4+x2+xx3+x+11011000010110000101100001011H=三、编码方法和电路

在编码时，首先要根据给定的(n,k)值选定生成多项式g(x)，即应在xn+1的因式中选一r=n-k次多项式作为g(x)。设编码前的信息多项式m(x)为循环码的码多项式可表示为

...

(7,3)循环码编