2017-2018版高中数学第二章空间向量与立体几何2空间向量的运算（一）学案2-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE12学必求其心得，业必贵于专精PAGE2空间向量的运算（一）学习目标1.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.2.了解向量加法的交换律和结合律.知识点空间向量的加减运算及运算律思考1下面给出了两个空间向量a、b,作出b＋a,b－a.思考2由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？梳理(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.eq\o(OB，\s\up6(→)）＝eq\o（OA，\s\up6（→））＋eq\o（AB，\s\up6（→))＝a＋b，eq\o(CA,\s\up6（→）)＝eq\o(OA,\s\up6(→)）－eq\o(OC，\s\up6(→))＝a－b（2)空间向量的加法交换律a＋b＝________，空间向量的加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.类型一向量式的化简例1如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.（1)eq\o（AA′，\s\up6（→)）－eq\o（CB,\s\up6（→))；(2）eq\o（AA′，\s\up6（→））＋eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\o(B′C′，\s\up6（→)）。引申探究利用例1题图，化简eq\o(AA′,\s\up6(→））＋eq\o(A′B′，\s\up6(→))＋eq\o（B′C′，\s\up6(→))＋eq\o（C′A,\s\up6(→)).反思与感悟(1）首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即eq\o(A1A2，\s\up6（→))＋eq\o（A2A3，\s\up6（→))＋eq\o（A3A4，\s\up6(→)）＋…＋An－1An＝eq\o（A1An，\s\up6(→））.(2）首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0。如图，eq\o(OB,\s\up6(→）)＋eq\o（BC，\s\up6(→）)＋eq\o(CD,\s\up6(→)）＋eq\o（DE,\s\up6(→））＋eq\o(EF,\s\up6（→))＋eq\o(FG，\s\up6（→）)＋eq\o（GH,\s\up6（→））＋eq\o（HO,\s\up6（→）)＝0。(3）空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a－b＝a＋(－b).跟踪训练1在如图所示的平行六面体中，求证：eq\o(AC,\s\up6(→）)＋eq\o（AB′，\s\up6(→））＋eq\o（AD′,\s\up6(→)）＝2eq\o(AC′,\s\up6（→）)。类型二用已知向量表示未知向量例2在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知eq\o（AB，\s\up6(→）)＝a，eq\o(AD，\s\up6(→）)＝b，eq\o(AA1，\s\up6(→））＝c.用向量a，b,c表示以下向量.(1）eq\o（AC1,\s\up6（→））；(2）eq\o(BD1,\s\up6（→）).反思与感悟将一个向量表示成n个向量的和或差，关键是根据向量的加减运算将向量进行拆分，一般可考虑从起点到终点构成封闭的回路进行运算.跟踪训练2在例2中，若已知A1C1与B1D1的交点为M。请用a,b，c表示eq\o(BM,\s\up6(→))。1.下列命题中，假命题是()A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C。只有零向量的模等于0D.空间中任意两个单位向量必相等2。在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量eq\o（AD,\s\up6（→)）相等的向量共有(）A。1个B。2个C.3个D.4个3。向量a，b互为相反向量,已知|b|＝3，则下列结论正确的是(）A。a＝b B。a＋b为实数0C。a与b方向相同 D.｜a｜＝34。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：①(eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o(BC,\s\up6(→）））＋eq\o(CC1，\s\up6（→））；②(eq\o(AA1,\s\up6（→））＋eq\o(A1D1,\s\up6（→）)）＋eq\o（D1C1，\s\up6（→））；③(eq\o(AB，\s\up6（→))＋eq\o(BB1,\s\up6（→)))＋B1C1；④(eq\o（AA1,\s\up6(→）)＋eq\o（A1B1,\s\up6（→)））＋eq\o（B1C1,\s\up6(→）).其中运算的结果为eq\o（AC1，\s\up6(→))的有________个。5.化简：2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→)）＋3eq\o(CD,\s\up6（→))＋3eq\o(DA,\s\up6（→)）＋eq\o(AC,\s\up6(→)）＝________.空间向量加法、减法运算的两个技巧（1）巧用相反向量:向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.提醒：完成作业第二章§2（一）

答案精析问题导学知识点思考1如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作eq\o（OA,\s\up6(→)）＝a，eq\o(OB，\s\up6(→))＝b,则eq\o(OC，\s\up6（→））＝eq\o(OA，\s\up6(→）)＋eq\o(OB，\s\up6(→））＝a＋b，eq\o（AB，\s\up6（→))＝eq\o（OB，\s\up6(→））－eq\o(OA,\s\up6(→）)＝b－a.思考2先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则（三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则.梳理（2)b＋a题型探究例1解（1）eq\o(AA′,\s\up6（→）)－eq\o(CB，\s\up6（→）)＝eq\o(AA′，\s\up6（→）)－eq\o（DA，\s\up6（→)）＝eq\o（AA′，\s\up6(→)）＋eq\o（AD，\s\up6(→))＝eq\o（AD′,\s\up6（→)）.（2）eq\o(AA′,\s\up6（→）)＋eq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\o(B′C′，\s\up6(→））＝（eq\o（AA′,\s\up6（→）)＋eq\o（AB,\s\up6（→）））＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o（AB′,\s\up6（→））＋eq\o（B′C′,\s\up6（→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))。向量eq\o（AD′,\s\up6(→))、eq\o(AC′,\s\up6(→））如图所示。引申探究解eq\o(AA′,\s\up6（→）)＋eq\o（A′B′，\s\up6(→））＝eq\o（AB′,\s\up6（→）），eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→)）＝eq\o（AC′，\s\up6（→）)，eq\o(AC′,\s\up6(→））＋eq\o(C′A，\s\up6（→）)＝0.故eq\o（AA′,\s\up6(→））＋eq\o（A′B′，\s\up6(→)）＋eq\o（B′C′，\s\up6(→）)＋eq\o(C′A，\s\up6(→）)＝0.跟踪训练1证明∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴eq\o（AC，\s\up6(→）)＝eq\o(AB，\s\up6(→)）＋eq\o(AD，\s\up6（→)）,eq\o(AB′，\s\up6(→））＝eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o（AA′,\s\up6（→)），eq\o(AD′,\s\up6(→））＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o（AA′,\s\up6(→))，∴eq\o（AC，\s\up6（→））＋eq\o(AB′，\s\up6(→))＋eq\o（AD′，\s\up6(→))＝（eq\o(AB，\s\up6(→））＋eq\o（AD，\s\up6(→）））＋（eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o（AA′，\s\up6（→)））＋(eq\o（AD,\s\up6(→）)＋eq\o(AA′，\s\up6(→））)＝2(eq\o(AB，\s\up6(→)）＋eq\o(AD，\s\up6（→）)＋eq\o(AA′，\s\up6(→）)）。又∵eq\o（AA′,\s\up6（→））＝eq\o(CC′,\s\up6（→)），eq\o(AD,\s\up6（→）)＝eq\o（BC,\s\up6(→)),∴eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o(AD，\s\up6(→））＋eq\o（AA′,\s\up6（→)）＝eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6（→))＋eq\o(CC′，\s\up6(→））＝eq\o(AC，\s\up6（→)）＋eq\o(CC′，\s\up6（→)）＝eq\o（AC′,\s\up6（→)）.∴eq\o（AC,\s\up6（→))＋eq\o(AB′，\s\up6(→))＋eq\o（AD′，\s\up6（→））＝2eq\o(AC′,\s\up6(→）).例2解(1)eq\o(AC1,\s\up6（→))＝eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\o（BC,\s\up6(→））＋eq\o(CC1，\s\up6（→）)＝eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o（AD,\s\up6(→)）＋eq\o(AA1，\s\up6（→）)＝a＋b＋c.(2）eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o（BA，\s\up6(→))＋eq\o(AD，\s\up6(→)）＋eq\o(DD1，\s\up6（→））＝－eq\o（AB，\s\up6(→））＋eq\o(AD,\s\up6(→)）＋eq\o（AA1，\s\up6（→）)＝－a＋b＋c.跟踪训练2解∵eq\o（B1D1，\s\up6（→）)＝eq\o(BD,\s\up6（→））＝eq\o(AD,\s\up6（→））－eq\o（AB,\s\up6（→))＝b－a.又∵eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\f（1，2）eq\o(B1D1，\s\up6(→)），∴eq\o(B1M，\s\up6(→))＝eq\f(1，2)eq\o（B1D1，\s\up6（→))＝eq\f(1，