2017-2018版高中数学第二章概率4二项分布学案2-3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE17学必求其心得，业必贵于专精PAGE4二项分布学习目标1.理解n次独立重复试验的模型.2。掌握二项分布公式.3。能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．知识点二项分布在体育课上,某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0。8，用X表示3次投篮投中的次数．思考1若把每一次投篮看成做了一次试验，则每次试验有几个可能的结果？思考2X＝2表示何意义？求P（X＝2)．梳理二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：(1）每次试验只有____________的结果，可以分别称为“成功”和“失败"．(2）每次试验“成功"的概率均为p，“失败”的概率均为________．（3）各次试验是________的．用X表示这n次试验中成功的次数，则P（X＝k)＝________________________________.若一个随机变量X的分布列如上所述,称X服从参数为n，p的二项分布，简记为___________．类型一利用二项分布求概率例1在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率．假如每个投保人能活到70岁的概率为0.6，试问3个投保人中：（1)全部活到70岁的概率；（2）有2个活到70岁的概率;(3)有1个活到70岁的概率．反思与感悟要判断n次独立重复试验中A发生的次数X是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验,独立重复试验的特点为：（1)每次试验是在相同的条件下进行的．(2）每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的．（3）基本事件的概率可知，且每次试验保持不变．（4）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生．跟踪训练1甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为eq\f（1,2），乙每次击中目标的概率为eq\f(2,3),求：（1)甲恰好击中目标2次的概率；（2）乙至少击中目标2次的概率；(3）乙恰好比甲多击中目标2次的概率．类型二求二项分布的分布列例2现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2）已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是eq\f(3，5),答对每道乙类题的概率是eq\f(4，5)，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列．反思与感悟求二项分布的分布列的一般步骤(1）判断所述问题是否是相互独立试验．（2)建立二项分布模型．(3）求出相应概率．(4）写出分布列．跟踪训练2某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统）A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为eq\f(1,10)和p.（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为eq\f（49，50)，求p的值;(2）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列．类型三二项分布的综合应用例3一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是eq\f(1,3)。(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；（3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．反思与感悟对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次,要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式;最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．跟踪训练3一个口袋内有n（n〉3)个大小相同的球，其中3个红球和（n－3）个白球,已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p.若6p∈N，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于eq\f（8,27),求p与n的值．1．下列随机变量X不服从二项分布的是(）A．投掷一枚骰子5次，X表示点数为6出现的次数B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0。3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数2．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次,出现“3个正面，1个反面”的概率是（)A。eq\f(1,2） B。eq\f（3，8）C。eq\f（2,5） D.eq\f(1，4)3．若随机变量X～Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（5，\f（1，3）)），则P（X＝2）等于(）A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,3））)2×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，3)））3 B.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2,3））)2×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,3)））3C．Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2,3）)）2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，3））)3 D．Ceq\o\al(2,5）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，3)））2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2,3））)34．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是(）A．［0.4，1] B．（0，0.4]C．(0，0.6］ D．[0。6,1］5．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为eq\f(1,3)，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,求随机变量X的分布列．1．各次试验互不影响，相互独立;每次试验只有两个可能的结果，且这两个结果是对立的；两个结果在每次试验中发生的概率不变，是判断随机变量服从二项分布的三个条件．2．二项式［（1－p）＋p]n的展开式中，第r＋1项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(1－p)n－rpr,可见P（X＝r）＝Ceq\o\al（r，n）pr（1－p)n－r就是二项式[（1－p)＋p]n的展开式中的第r＋1项．

答案精析问题导学知识点思考1有2种结果：投中(成功）与未投中(失败）．思考2X＝2表示3次投篮中有2次投中，有Ceq\o\al（2，3)种情况，每种情况发生的可能性为0。82×0。2，所以P(X＝2)＝Ceq\o\al（2，3）×0。82×0.2。梳理（1）两个相互对立（2）1－p(3)相互独立Ceq\o\al(k,n）pk（1－p）n－k（k＝0，1,2，…，n)X～B（n，p）题型探究例1解设3个投保人中活到70岁的人数为X，则X~B(3,0.6)，故P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)0.6k·(1－0.6)3－k（k＝0，1，2，3)．（1)P(X＝3）＝Ceq\o\al(3,3)·0。63·（1－0.6)0＝0。216;即全部活到70岁的概率为0。216.(2）P（X＝2）＝Ceq\o\al（2，3）·0。62·(1－0。6）＝0。432。即有2个活到70岁的概率为0。432.(3）P（X＝1）＝Ceq\o\al（1,3)·0.6·（1－0。6）2＝0.288。即有1个活到70岁的概率为0.288.跟踪训练1解（1)甲恰好击中目标2次的概率为Ceq\o\al（2,3）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2))）3＝eq\f(3,8)。(2）乙至少击中目标2次的概率为Ceq\o\al（2，3）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，3)））2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3）））＋Ceq\o\al（3,3)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2，3）))3＝eq\f(20，27）。（3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2,则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．P(A)＝P（B1）＋P（B2)＝Ceq\o\al（2，3)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2，3))）2·eq\f(1,3）Ceq\o\al（0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)））3＋Ceq\o\al（3，3）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2，3)))3·Ceq\o\al(1，3)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）））3＝eq\f（1,18)＋eq\f（1，9)＝eq\f(1，6）.例2解（1）设事件A：“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有eq\x\to(A)：“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P(eq\x\to（A）)＝eq\f（C\o\al(3，6）,C\o\al（3,10))＝eq\f（1，6），所以P(A）＝1－P(eq\x\to（A))＝eq\f(5,6）.（2）X所有可能的取值为0，1，2,3.P(X＝0）＝Ceq\o\al（0,2）×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3，5）)）0×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5）)）2×eq\f(1,5)＝eq\f（4,125)，P(X＝1）＝Ceq\o\al(1，2)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3，5））)1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2,5)))1×eq\f（1,5）＋Ceq\o\al（0，2）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3，5))）0×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2，5)）)2×eq\f（4，5）＝eq\f（28,125），P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3，5)))2×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2，5）)）0×eq\f(1，5）＋Ceq\o\al(1，2)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3，5）)）1×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2，5))）1×eq\f（4，5)＝eq\f（57，125），P（X＝3)＝Ceq\o\al(2，2)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3,5））)2×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2，5)))0×eq\f(4,5）＝eq\f（36,125)。所以X的分布列为X0123Peq\f（4，125)eq\f（28，125)eq\f(57，125）eq\f(36,125)跟踪训练2解(1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P（eq\x\to（C)）＝1－eq\f(1,10)p＝eq\f（49,50),解得p＝eq\f（1，5).（2)由题意，ξ的可能取值为0，1，2,3。P（ξ＝0）＝Ceq\o\al（0,3）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，10))）3eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（1，10)）)0＝eq\f(1，1000）,P(ξ＝1)＝Ceq\o\al（1，3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，10)))2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f（1，10）））＝eq\f（27，1000）,P(ξ＝2）＝Ceq\o\al(2，3）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，10）））eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（1,10）))2＝eq\f(243,1000)，P（ξ＝3）＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,10）)）0eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1,10）））3＝eq\f（729,1000)。所以随机变量ξ的分布列为ξ0123Peq\f（1，1000)eq\f(27，1000）eq\f（243,1000）eq\f（729,1000)例3解（1)由ξ～Beq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f（1，3)）），则P（ξ＝k)＝Ceq\o\al（k，5）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,3)）)keq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2，3)))5－k,k＝0，1,2，3，4，5.故ξ的分布列为ξ012345Peq\f（32，243)eq\f(80，243)eq\f(80，243）eq\f（40,243)eq\f(10,243）eq\f(1,243)(2）η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯,第k＋1个是红灯）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2,3）))k·eq\f(1,3），k＝0,1，2，3,4;P（η＝5)＝P（5个均为绿灯)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2，3）））5.故η的分布列为η012345Peq\f(1，3)eq\f(2，9）eq\f（4,27）eq\f（8,81）eq\f(16,243）eq\f(32,243）（3)所求概率为P（ξ≥1）＝1－P(ξ＝0）＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2,3）））5＝eq\f（211，243).跟踪训练3解由题设知,Ceq\o\al（2,4)p2(1－p)2>eq\f（8,27）.∵p（1－p)〉0，∴不等式化为p(1－p)>eq\f（2，9),解得eq\f(1,3）<p<eq\f（2,3)，故2<6p〈4。又∵6p∈N，∴6p＝3,即p＝eq\f(1,2）。由eq\f（3,n）＝eq\f（1,2)，得n＝6.当堂训练1．B2.D3。D4。A5．解可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,相当于做了5次独立重复试验，故X~Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(5，\f（1,3）)）。则P（X＝0)＝Ceq\o\al（0，5)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，3)））0eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2,3）)）5＝