2017-2018版高中数学第二章解析几何初步章末复习课(二)学案2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE20学必求其心得，业必贵于专精PAGE第二章解析几何初步学习目标1。整合知识结构，梳理知识网络,进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力,能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想．1．圆的方程（1）圆的标准方程：________________________.(2)圆的一般方程：________________________.2．点和圆的位置关系设点P（x0，y0）及圆的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2.(1)(x0－a）2＋(y0－b)2>r2⇔点P________.(2)（x0－a)2＋（y0－b）2<r2⇔点P________.（3）（x0－a)2＋（y0－b)2＝r2⇔点P________.3．直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d____r→相离；d____r→相切；d____r→相交．4．圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2,则位置关系相离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d〉r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝｜r1－r2｜d〈｜r1－r2｜5。求圆的方程时常用的四个几何性质6．与圆有关的最值问题的常见类型(1)形如μ＝eq\f(y－b,x－a）形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如（x－a)2＋（y－b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点距离的平方的最值问题．7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2）代数方法运用根与系数的关系及弦长公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|xA－xB｜＝eq\r(1＋k2[xA＋xB2－4xAxB]）。注:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．8．空间中两点的距离公式空间中点P1（x1，y1，z1），点P2（x2,y2，z2)之间的距离|P1P2｜＝________________________。类型一求圆的方程例1根据条件求下列圆的方程．（1）求经过A(6，5),B（0,1）两点,并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程;(2)求半径为eq\r（10），圆心在直线y＝2x上,被直线x－y＝0截得的弦长为4eq\r(2)的圆的方程．反思与感悟求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为:第一步:选择圆的方程的某一形式．第二步：由题意得a，b,r（或D，E，F)的方程(组）．第三步：解出a，b，r(或D，E，F）．第四步：代入圆的方程．注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦;当两圆相切时，连心线过切点等．跟踪训练1如图所示，圆C与x轴相切于点T（1，0),与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|＝2，则圆C的标准方程为________．类型二直线与圆的位置关系例2已知点M(3,1),直线ax－y＋4＝0及圆（x－1)2＋（y－2）2＝4。(1）求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；（3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2eq\r(3)，求a的值．反思与感悟当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题,弦长的计算有以下两种思路(1）代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ〉0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．（2）几何方法:若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l＝2eq\r(r2－d2）。解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形,利用勾股定理，当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．跟踪训练2已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0。（1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为4eq\r(3），求l的方程；（2)求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程．类型三圆与圆的位置关系例3已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0。(1）m取何值时两圆外切？（2）m取何值时两圆内切？（3)当m＝45时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．跟踪训练3已知两个圆C1:x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l:x＋2y＝0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程．类型四数形结合思想的应用例4曲线y＝1＋eq\r(4－x2)与直线y＝k(x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（)A．(0，eq\f（5，12）） B．(eq\f（5,12），＋∞)C．(eq\f（1，3），eq\f(3，4）] D．（eq\f(5,12)，eq\f(3，4)］反思与感悟数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题,能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程）的思想反映几何问题．跟踪训练4已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0,则eq\f（y,x）的最大值为________，最小值为________．1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋eq\f（5,4）a2＋a－1＝0表示圆,则a的取值范围是(）A．a＜－2或a＞eq\f（2,3） B．－eq\f（2，3)＜a＜2C．a＞1 D．a＜12．以点(－3,4）为圆心，且与x轴相切的圆的方程是(）A．(x－3)2＋（y＋4）2＝16B．(x＋3)2＋（y－4）2＝16C．(x－3）2＋（y＋4)2＝9D．（x＋3)2＋（y－4)2＝93．过点P(－eq\r（3)，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0°＜α≤30° B．0°＜α≤60°C．0°≤α≤30° D．0°≤α≤60°4．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线的条数为（）A．4 B．3C．2 D．15．已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.（1）当直线与圆相切时,求实数m的值；(2)当直线与圆相交,且所得弦长为eq\f（2\r（10）,5）时，求实数m的值．圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，经常使用的几何性质有(1）圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线;切线在切点处的垂线一定经过圆心;圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线;弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边,满足勾股定理．(3）与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦;圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．答案精析知识梳理1．(1）（x－a)2＋（y－b）2＝r2(2)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0）2．（1）在圆外(2)在圆内（3）在圆上3．〉＝〈8。eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)题型探究例1解(1）由题意知，线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0,∴由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3x＋2y－15＝0，,3x＋10y＋9＝0，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝7，，y＝－3，)）∴圆心C（7，－3)，半径为r＝｜AC｜＝eq\r（65)。∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3）2＝65。(2)方法一设圆的方程为(x－a）2＋（y－b)2＝r2，则圆心坐标为（a,b)，半径为r＝eq\r(10），圆心（a，b）到直线x－y＝0的距离为d＝eq\f(|a－b|，\r(2））。由半弦长,弦心距，半径组成直角三角形,得d2＋(eq\f(4\r（2)，2)）2＝r2，即eq\f（a－b2，2）＋8＝10，∴（a－b）2＝4.又∵b＝2a，∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4,∴所求圆的方程为(x－2）2＋(y－4）2＝10或(x＋2)2＋(y＋4）2＝10.方法二设圆的方程为(x－a)2＋(y－b）2＝10，∵圆心C（a，b）在直线y＝2x上，∴b＝2a。由圆被直线x－y＝0截得的弦长为4eq\r(2），将y＝x代入(x－a)2＋(y－b）2＝10，得2x2－2(a＋b）x＋a2＋b2－10＝0.设直线y＝x交圆C于点A(x1，y1)，B（x2，y2),则｜AB|＝eq\r（x1－x22＋y1－y22）＝eq\r(2［x1＋x22－4x1x2])＝4eq\r(2），∴（x1＋x2）2－4x1x2＝16.∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝eq\f(a2＋b2－10,2），∴（a＋b)2－2(a2＋b2－10）＝16，即a－b＝±2。又∵b＝2a，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝2，，b＝4)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－4.))∴所求圆的方程为（x－2)2＋（y－4)2＝10或（x＋2）2＋(y＋4)2＝10。跟踪训练1(x－1）2＋(y－eq\r（2))2＝2例2解（1)圆心C(1，2），半径为r＝2。①当直线的斜率不存在时,方程为x＝3。由圆心C（1，2）到直线x＝3的距离为d＝3－1＝2＝r知,此时直线与圆相切．②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k（x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由题意知，eq\f(｜k－2＋1－3k｜,\r(k2＋1））＝2,解得k＝eq\f(3，4）。∴方程为y－1＝eq\f(3,4)（x－3),即3x－4y－5＝0。故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0。(2）由题意有eq\f（|a－2＋4|，\r(a2＋1))＝2，解得a＝0或a＝eq\f(4,3)。(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为eq\f（|a＋2｜，\r(a2＋1）),∴eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（｜a＋2|,\r（a2＋1））)）2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2\r(3),2)））2＝4，解得a＝－eq\f(3,4)。跟踪训练2解(1)如图所示，|AB|＝4eq\r（3），设D是线段AB的中点,则CD⊥AB,∴|AD|＝2eq\r(3），｜AC｜＝4。在Rt△ACD中，可得｜CD|＝2。设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0。由点C到直线AB的距离为eq\f（|－2k－6＋5｜,\r（k2＋1))＝2，得k＝eq\f（3,4)，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0，∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0。（2）设过P点的圆C弦的中点为D(x，y），则CD⊥PD,所以kCD·kPD＝－1,即eq\f(y－6，x＋2）·eq\f(y－5,x）＝－1,化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.例3解圆Q1：x2＋y2－2x－6y－1＝0可化为(x－1)2＋(y－3)2＝11,圆Q2化为（x－5)2＋（y－6）2＝61－m，两圆圆心距离｜Q1Q2|＝eq\r（5－12＋6－32）＝5.（1)当两圆外切时,|Q1Q2|＝eq\r（11)＋eq\r(61－m），即5＝eq\r（11）＋eq\r(61－m).解得m＝25＋10eq\r(11).(2）当两圆内切时，|Q1Q2｜＝｜eq\r(11)－eq\r（61－m）｜,因为eq\r（11）<5，所以｜Q1Q2｜＝eq\r(61－m)－eq\r(11），所以5＝eq\r（61－m)－eq\r（11），所以m＝25－10eq\r（11）。（3)当m＝45时，由两圆方程相减,得公共弦方程为x2＋y2－2x－6y－1－x2－y2＋10x＋12y－m＝0,即4x＋3y－23＝0。圆心Q1到公共弦的距离为d＝eq\f(｜4×1＋3×3－23｜，\r(42＋32））＝2，所以公共弦长为2eq\r（，r\o\al(2,1）－d2）＝2eq\r(\r（11）2－22）＝2eq\r（7).跟踪训练3解将两圆的方程C1：x2＋y2＝4，C2:x2＋y2－2x－4y＋4＝0相减，得x＋2y－4＝0,将x＝4－2y代入C1：x2＋y2＝4,得5y2－16y＋12＝0，解得y1＝2，y2＝eq\f(6，5)，得x1＝0，x2＝eq\f(8,5)，所以圆与圆的交点坐标分别为（0，2),（eq\f（8，5）,eq\f（6,5)）．设圆的标准方程为(x－a)2＋（y－b）2＝r2，依题意，得eq\b\lc\｛\rc\