数学建模案例

一、建模示例三、四、五二、建模的方法三、建模的一般步骤四、数学建模的特点五、数学建模的分类六、数学建模竞赛的相关知识三个建模示例、建模的方法、步骤、特点、分类，及建模竞赛的相关知识一、建模示例三：安全渡河问题问题：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？

1、问题分析：多步决策过程决策----每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员。要求----在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。

2、模型建立3、数学模型多步决策问题4、模型求解★

穷取法~编程上机★图解法：我们着重介绍这一方法给出了安全渡河方案。状态s=(x,y)~16个格点允许状态~10个●点允许决策~移动1格或2格（k奇,左下移；k偶,右上移）5、模型评价规格化的方法，通俗易懂，易于推广。思考题1．考虑4名商人各带一名随从的问题。

【问题背景】

温州七中高一段学生到人民路天桥下的十字路口，对十字路口红绿灯开设时间及车流量进行调查，经学生分组观察，并把数据平均，得到下面一组数据：东西方向绿灯即南北方向红灯的时间为49秒；南北方向绿灯即东西方向红灯的时间为39秒；所以红绿灯变换一个周期的时间为88秒。在绿灯变换的一个周期内，相应的车流量：东西方向平均为30辆，南北平均为24辆。这组数据说明了什么问题？（红绿灯时间设置合理与否）建模示例四：函数模型(交通问题模型)【问题抽象】

在红绿灯变换的一个周期时间T内，从东西方向到达十字路口的车辆数为H，从南北方向到达十字路口的车辆数为V，问如何确定十字路口某个方向红灯与绿灯点亮的时间更合理？【问题分析】

所谓的合理，应该就是从整体上看，在红绿灯变换的一个周期内，车辆在此路口的滞留总时间最少。

【模型假设】

1.黄灯时间忽略不计，只考虑机动车，不考虑人流量和非机动车辆；只考虑东西、南北方向，不考虑拐弯的情况。

2.车流量均匀。

3.一个周期内，东西向绿灯，南北向红灯的时间相等；东西与南北周期相同。【建立模型】

设东西方向绿灯时间（即南北方向红灯时间）为t秒，则东西方向红灯时间（即南北方向绿灯时间）为（T－t）秒.设一个周期内车辆在此路口的滞留总时间为y秒.

根据假设,一个周期内车辆在此路口滞留的总时间y分成两部分,一部分是南北方向车辆在此路口滞留的时间y1,另一部分是东西方向车辆在此路口滞留的时间y2.

下面计算南北方向车辆在此路口滞留的时间y1.【模型求解】

【数值模拟】

轮廓模型是以量纲模型为基础，利用量的比例关系而构造简单数学模型的一种方法。因为这种比例关系比较粗糙，因而成为轮廓模型。

（货物的包装成本）在超市中可以看到许多商品（如面粉、白糖、奶粉等）都以包装的形式出售，同一种商品的包装也经常有大小不同的规格，出售的价格也高低不同。下表是一些例子。建模示例五：轮廓模型商品商品量价格单价高露洁牙膏190克15.7元0.83元/10克60克5.8元0.97元/10克诗芬洗发液400毫升35.9元0.89元/10毫升200毫升23.1元1.15元/10毫升富丽饼干450克8.8元0.19元/10克150克3.0元0.20元/10克奇宝饼250克5.9元0.24元/10克150克4.3元0.29元/10克麦氏咖啡200克62元3.1元/10克100克32元3.2元/10克从表中可以看到，大包装的商品每单位重量的价格比小包装的价格要低。这显然是由于节约了包装成本的缘故。现在我们建立一个简单的模型来看看商品货物包装的成本如何依赖于商品量的规律。问题假设：面对错综复杂的商品生产过程和包装形式，为使问题简化，假设如下：

1不考虑利润及其他因素对商品价格的影响；

2所讨论的商品的生产和包装过程的工作效率是固定不变的；

3商品包装的成本只由包装的劳力投入和包装材料的成本构成；

4商品包装的形状大小是相似的，不同大小包装所用的材料是相似的至少在价格上没有太大差异。模型建立：统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分析，得到其内在的规律。如：多元统计分析。二、建模的方法

机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把定性的思维和结论用定量的手段表示出来。如：层次分析法。模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用三、建模的步骤NY1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模目的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征。有时需查资料或到有关单位了解情况等。2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。3）模型建立：分清变量类型，恰当使用数学工具；抓住问题的本质，简化变量之间的关系；要有严密的数学推理，模型本身要正确；要有足够的精确度。4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方法，计算机技术（编程或软件包）。特别地近似计算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。6）模型检验：把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决策控制。四、数学建模的特点五、数学建模的分类1）按变量的性质分：多变量模型非线性模型随机性模型连续模型单变量模型线性模型确定性模型离散模型2）按时间变化对模型的影响分参数时变模型动态模型参数定常模型静态模型3）按模型的应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。5）按建模目的分描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。6）按对模型结构的了解程度分白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。

从1983年起，在美国就有一些有识之士开始探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能性。1、数学建模竞赛的发展历史（美国）

1987年改为MathematicalContestinModeling,其缩写均为MCM）。

1985年开始有了美国的第一届大学生数学建模竞赛，简称

MCM，这是最早的数学建模。1987年以前的全称是Mathe

-maticalCompetitioninModeling。竞赛由美国工业与应用数学学会和美国运筹学会联合主办。从1985年起每年举行一届，在每年的二月下旬或三月初的某个星期五到星期日举行，到2009年已举行了25届。

六、数学建模竞赛的相关知识1990年我国大学生数学建模竞赛开始举办，从最初的几十所学校、几百个队发展到今年，除西藏外的30个省（市、自治区）以及香港都有院校参赛。全国大学生数学建模竞赛，是由教育部高等教育司与中国工业与应用数学学会（CSIAM）联合举办的大学生科技活动，竞赛每年9月下旬举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业。由3位同学组成一个队，在三天的时间里，团结协作，利用数学知识与计算机知识，建立一个数学模型，解决一个实际问题，最后提交一篇自己撰写的论文。

2、数学建模竞赛的发展历史（中国）

大部分的数模竞赛题都是源于生产实际或者科学研究的过程中，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学习过普通高校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。3、数学建模竞赛出题的指导思想传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，数据简单明确，不允许用计算器完成。对此而言，数模竞赛题是一个“课题”，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成。解决这些问题，往往没有现成的方法可以套用，它首先要求将实际的问题数学化，及建立数学模型。参赛同学必须像参加一个实际的科研项目那样，不仅要充分发挥每个人的主观能动性和创造力，而且要全队密切配合、协同作战。

此外，其答案往往不是唯一的,呈报的成果是一篇“论文”。

由此可见“数模竞赛”偏重于应用，它是以数学知识为引导、计算机应用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛。数学知识的应用能力：概率与数理统计统筹与线性规划微分方程此外，有时还会用到数值计算、差分方程、和动态规划等计算机的应用能力：字处理软件Word 电子表格Excel数学软件Matlab程序语言C++计算机网络6.Lindo、Lingo等4.参加数模竞赛所需知识论文的写作能力：要求参赛的三名选手中至少有一名同学具有较强的论文写作能力。5、数学建模竞赛的形式及规则

全国统一竞赛题目，采取通讯竞赛方式，以相对集中的形式进行。

竞赛以队的形式参加，每个参赛队由三名具有正式学籍的在校本科或专科学生组成，研究生不得参加（自2005年，新增研究数学建模竞赛）。报名参加“甲组”或“乙组”的竞赛，本科院校理工科学生只能参加甲组竞赛，其他学生可参加甲组或乙组竞赛。而每组由两道题组成，“甲组”由A、B题组成，“乙组”由C、D题组成，每个参赛队根据自己的实际情况情况从相应两个考题中任意选作一个题。每队可设一名指导教师（或教师组），从事赛前辅导和参赛的组织工作，但在竞赛期间必须回避参赛队员，不得进行指导或参与讨论，否则按违反纪律处分，也就是教师不得参赛。每次的考题都来自的实际问题或有强烈实际背景的问题，没有固定的范围，可能涉及各个非常不同的学科，领域。“全国大学生数模竞赛”的时间通常安排在9月份的下旬，历时三天三夜。竞赛期间员可以使用各种图书资料、计算机和软件，在互联网上浏览，但不得与队外任何人(包括在网上)讨论。

6、数学建模竞赛的结果评定方法首先在各省进行评选，专家们不是对论文给出分数，也不采用“通过”、“失败”这种记分，而只是将论文分成一些等级：一等奖，二等奖，成功参赛奖等，各省一等奖参加答辩，通过答辩者可参加国家奖的评选。在参加国家评选时，评审专家也是将论文分为几个等级：Outstanding(特等奖)、Meritorious(一等奖)、HonorableMention(二等奖)等。评卷的标准并不是看答案对不对，而主要看论文的思想方法好不好，以及论述是否清晰。Outstanding的论文作为优秀论文在专业杂志上发表。而所有参赛的队员和教练都能得到一张奖状。全国与各赛区的一、二等奖均颁发获奖证书。竞赛成绩记入学生档案，对成绩优秀的参赛学生，各院校在评优秀生、奖学金及报考（或免试直升）研究生时应予以适当考虑。7、近几年全国大学生数学建模竞赛题1997A零件的参数设计B截断切割1998A投资的收益和风险B灾情巡视路线1999A自动化车床管理

B钻进布局