第三章规则波导

第三章规则金属波导本章的内容：1.矩形波导2.圆形波导3.同轴线4.波导的激励波导的应用：波导被广泛的应用于微波、毫米波的电路设计、天线、连接器中。连接器波导同轴转换器带通滤波器定向耦合器波导缝隙天线波导开关波导可以构成各种各样的微波电路隔离器或环形器双工器波导固定衰减器多工器功分器

对由均匀填充介质的金属波导管建立如图所示坐标系,设z轴与波导的轴线相重合。由于波导的边界和尺寸沿轴向不变,故称为规则金属波导。为了简化起见,我们作如下假设:①波导管内填充的介质是均匀、线性、各向同性的;②波导管内无自由电荷和传导电流的存在;金属波导管结构图1.规则金属波导规则金属波导的优点:(1)导体损耗或介质损耗小(2)功率容量大(3)无辐射损耗(4)结构简单、容易加工制作:矩形，圆形，加脊、椭圆等等特点：金属波导的处理方法和特点：(1)金属波导只有一个导体，故不能传输TEM波，只有TE和TM两种模式(2)存在多种模式，并存在严重的色散现象(3)只有当工作波长小于截止波长或工作频率高于截止频率的模才能在波导中传播。(1)maxwell方程+边界条件，属于本征值问题(2)认为管内填充的介质为理想介质(3)由于管壁为金属，导电率高，认为是理想的导体(4)边界条件：认为波导管壁处的切向电场分量和法向磁场分量为0即横截面为矩形(a>b),内部填充空气或介质(介质波导)广泛应用：高功率、毫米波、精密测试设备(测速、测向仪器)3.1矩形波导1.矩形波导的导模为了分析矩形波导，将前面介绍的广义柱坐标转换为直角坐标,拉梅系数为1，略取时间因子ejwt,沿Z方向传播的导波场可以写为（见1.4-17,横向电场和纵向电场均满足helmholtz方程，因此可以表示成横向坐标和纵向相位的形式）：根据(1.4-30)纵向场和横向场的关系为：矩阵形式：横向场的关系为其中：若有介质损耗，介电常数为复数：由本征方程(1.4-23)以及(h1=h2=1),得到直角坐标下的电场及磁场的纵向分量Heimholtz方程：综上所述TM波的边界条件为：Eoz(0,y)=Ez(a,y)=0TM导波

E0z(x,0)=Ez(x,b)=0综上所述TE波的边界条件为：E0x(x,0)=E0x(x,b)=0TE导波

Eoy(0,y)=Eoy(a,y)=0Ez=0对于TE波：由电场在波导壁的切向分量为0对于TM波：矩形波导的边界条件：1)TE波应用分离变量法,令Hoz(x,y)=X(x)Y(y),代上面直角坐标系下的偏微分方程,并除以X(x)Y(y),得:

此时Ez=0,Hz=Hoz(x,y)e-jβz≠0,且满足在直角坐标系中,上式可写作对于规则波导，可以先求解纵向的电场或磁场分量，再根据纵横关系，求出所有的横向场分量。这样做可以使得计算过程简化。于是,Hoz(x,y)的通解为:Hoz(x,y)=(A1coskxx+A2sinkxx)(B1coskyy+B2sinkyy)

要使上式成立,上式左边每项必须均为常数,设分别为和,则有同理：利用纵向-横向场关系可得：Hoz(x,y)=(A1coskxx+A2sinkxx)(B1coskyy+B2sinkyy)由边界条件：E0x(x,0)=E0x(x,b)=0TE导波

Eoy(0,y)=Eoy(a,y)=0Ez=0于是Z方向的磁场表达式为：Hmn为任意振幅常数，m,n为波型指数，每个mn的组合对应一个基本波函数，不同波函数的线性组合也是本征方程的解，因此纵向磁场的通解为：利用纵向-横向场关系可以求出所有的场分量：

式中,为矩形波导TE波的截止波数,显然它与波导尺寸、传输波型有关。m和n分别代表TE波沿x方向和y方向分布的半波个数,一组m、n,对应一种TE波,称作TEmn模;但m和n不能同时为零,否则横向场分量全部为零。因此，矩形波导能够存在TEm0模和TE0n模及TEmn(m,n≠0)模;其中TE10模(a>b)是最低次模,其余称为高次模。于是得到纵向电场的基本解为：纵向电场的一般解为不同模式的场的叠加，因此为：对TM波,Hz=0,Ez(x,y,z)=Eoz(x,y)e-jβz,此时满足2)TM波其通解也可写为：Eoz(x,y)=(A1coskxx+A2sinkxx)(B1coskyy+B2sinkyy)代入边界条件(3.1-6)

有：x=0,a,y=0,b将上面得到的电场纵向通解，代入纵向-横向场关系式(3.1-2)得到TM模的各个场分量：从公式可以知道，当m=0或n=0没有纵向电场。由于Hz=0，所以横向磁场均为0，和TM模的定义不符合，TM模不能取m=0或n=0.TM11模是矩形波导TM波的最低次模,其它均为高次模。

总之,矩形波导内存在许多模式的波,TE波是所有TEmn模式场的总和,而TM波是所有TMmn模式场的总和。2.导模的场结构场的结构是分析和研究波导问题、模式激励、设计波导元件(电路、天线)的基础和出发点。由TE模、TM模的解可以知道导模在矩形波导横截面上的场呈驻波分布，且在每个横截面上的场分布是完全确定的，横截面上场的分布与频率、以及在导行系统上的位置无关；整个导模以完整的场结构沿轴向(Z方向)传播。1)TE10模与TEm0模的场结构：对于TE10模(由3.1-16)其场分量的通解电场或磁场的弱、强是通过电力线或磁力线的疏和密来表示的，所谓的场结构就是波导中电力线和磁力线的形状和疏密分布情况。TE10模解的图形表示：纵向横截面对于TE10模：电场只有Ey分量，随x呈正弦变化x=0,x=a处电场为0，波导中间电场最大，在波导宽边呈半个驻波分布。磁场在XZ平面是轨迹为椭圆的封闭曲线，Hx在x=0,x=a处磁场为0，在波导横截面中间磁场最大，呈正弦变化；Hz随x呈余弦变化，在x=0,x=a处最大；TEm0的场结构沿b边不变化，沿a边有m个半驻波分布即沿a边有m个TE10模场结构小块。下图给出了t=0时刻，矩形波导中TE10波场强沿z方向及x方向的场分布。俯视磁场侧视磁场横截面电场Ey电场2)TE01模与TE0n模的场结构m=0,n=1

从上面可以知道TE01模只有Ex，Hy，Hz三个场分量，其场的结构和TE10模比较，只是波的极化面旋转了90度（即电场的方向旋转了90度），即沿x方向没有变化，沿y方向呈半个驻波分布。

TE0n的场结构沿a边不变化，沿b边有n个半驻波分布(即沿b边有n个TE01模场结构小块)。3)TE11模与TEmn(m，n>1)模的场结构(1)m,n均不为0的最简单的TE模是TE11模，其场沿a边和b边有半个驻波分布(2)m,n均大于1的TEmn场结构和TE11类似，即场型沿a边有m个TE11模结构小块，沿b边有n个TE11模结构小块。m=1,n=14)TM11模与TMmn(m，n>1)模的场结构(1)TM模中最低模式为TM11模，其磁力线完全分布在横截面内，且为闭合曲线，电力线则是空间分布曲线。其场沿a边和b边均有半个驻波分布。m=1,n=1(2)类似的TMmn模就是沿a边分别有m个TM11模的场结构和沿b边有n个TM11模场结构的组合。3.管壁电流当波导中传输微波信号的时候，在技术波导内壁表面上将产生感应电流，称为管壁电流。高频工作状态，由于趋肤效应将使管壁电流集中在很薄的波导内壁表面流动，由于趋肤深度很小，可以将管壁电流视为面电流。管壁电流的大小和方向由管壁附近的切向磁场和波导壁法向矢量共同决定TE10模的管壁电流：TE10模矩形波导底面，法向矢量方向和y方向一致TE10模矩形波导顶面，法向矢量方向和y方向相反TE10模矩形波导左面，法向矢量方向和x方向相同TE10模矩形波导右面，法向矢量方向和x方向相反上面的计算结果表明：矩形波导中传输TE10时，波导左右内壁只有y方向的管壁电流，且大小相等，方向相同；上、下内壁电流有x方向和Z方向的电流合成，在同一X位置的上、下管壁电流大小相等，方向相反。研究波导管壁的电流结构具有重要的工程意义：例如波导缝隙天线的设计时需要破坏原来的电流分布，形成辐射；波导同轴之间的转换，其开槽不应该破坏管壁的电流分布，否则会引起辐射损耗，减小传输功率。4.矩形波导的传输特性1)导模的传输条件与截止矩形波导中横电、横磁的传播常数为：当传播常数等于0时，模式截止对应截止波长和截止频率为：从上面的分析可以得到如下的结论：(1)导模的传输条件：某导模能够在波导中传输，其工作的波长应该小于波导的截止波长，或表述为导模的工作频率高于波导的截止频率。(2)导模的截止：导模工作的波长大于波导的截止波长时，相位常数β为虚数，相应的模式称为消失模或截止模。所有的场分量振幅由于截止模的电抗反射损耗将按指数规律衰减。(3)模式简并：波导中不同模式的截止波长相同的现象，称为模式简并现象。对应的导模称为简并模，由(3.1-27)可以知道TEmn模和TMmn模为简并模。除了TEm0和TE0n外，矩形波导中的模式都具有双重简并。(4)主模：波导中工作频率最低的导模称为主模或基模，其他的工作模式则称为高阶模。2)相速度和群速度由式（1-1-44）及（1-1-45）知导模的相速vp和群速vg分别为v为媒质中平面波的速度。可得TE10模的相速vp和群速vg分别为3)波导波长可得TE10模的波导波长为：4)波阻抗导行系统中导模的波阻抗定义为横向电场和横向磁场之比。由(1.4-48)有矩形波导中的TE模的波阻抗为：可得TE10模的波阻抗为：矩形波导中的TM模的波阻抗为：

由上面的公式可以知道对于导模，相位常数为实数，波阻抗也为实数；对于消失模由于相位常数为虚数，因此波阻抗为虚数，即称电抗性。金属波导中消失模的出现将对信号源呈现电抗性反射。5)TE10矩形波导的传输功率

其中,Ebr为击穿电场幅值。因空气的击穿场强为30kV/cm,故空气矩形波导的功率容量为：可见:波导尺寸越大,频率越高,则功率容量越大。为了留有余地，波导实际允许传输的功率一般取行波状态下功率容量理论值的25%～30%。

其中,是Ey分量在波导宽边中心处的振幅值。由此可得波导传输TE10模时的功率容量为：6)TE10模矩形波导的损耗

当电磁波沿传输方向传播时,由于波导金属壁的热损耗和波导内填充的介质的损耗必然会引起能量或功率的递减。对于空气波导,由于空气介质损耗很小,可以忽略不计,而导体损耗是不可忽略的。(i)介质损耗对于金属波导中填充均匀介质的损耗引起的导波的衰减常数可以表示为(2.4-41)：(ii)导体损耗

TE10模矩形波导的有限导电率金属壁单位长度功率损耗为:(其中Rs为导体表面电阻)由(2.4-31)式、(3.1-44a)，矩形波导TE10模的导体衰减常数为：式中,为导体表面电阻,它取决于导体的磁导率μ、电导率σ和工作频率f。②a不变的前提下，增大波导高度b能使衰减变小,但当b＞a/2时单模工作频带变窄,故衰减与频带应综合考虑。

③衰减还与工作频率有关,给定矩形波导尺寸时,随着频率的提高先是减小,出现极小点,然后稳步上升。①衰减与波导的材料有关,因此要选导电率高的非铁磁材料,使RS尽量小。TE10模衰减常数随频率变化关系的如图所示7）TE10模矩形波导的等效阻抗

由上面的公式可以知道，TE10模的波阻抗只和波导的宽边尺寸a有关，而和窄边b无关。当两段宽边相同而窄边不同的波导相连接的时候，在连接处必然会产生反射，因此不能应用波阻抗来处理不同尺寸的波导匹配问题，为此引入波导的等效阻抗(equivalentimoedance)等效阻抗可以采用下面的三种定义:定义波导等效电压为波导宽边中心电场从顶边到底边的线积分：定义波导等效电流为波导宽边纵向电流之和：根据波导等效阻抗的定义可以知道其等效阻抗的表达式为：对应的TE10模的传输功率为(见3.1-46)：为简化计算，通常采用和横截面尺寸相关的部分作为等效阻抗：即

由上面的式子可以知道不同的定义等效阻抗具有不同的系数。其解释为等效电压和电流的非唯一性。采用上面三种定义来计算波导的等效阻抗，从而匹配不同波导段的连接，将使得连接处的反射系数最小。(注意在计算的时候应该采用同一种定义)5.矩形波导尺寸选择原则选择矩形波导尺寸应考虑以下几个方面因素:1)波导带宽问题保证在给定频率范围内的电磁波在波导中都能以单一的TE10模传播,其它高次模都应截止。为此应满足:λcTE20=a＜λ＜λcTE10=2aλcTE01=2b＜λ＜λcTE10=2aBJ-32波导各模式截止波长分布图当波导尺寸a和b给定时，将不同m和n值代入，即可得到不同波型的截止波长。其分布如图a＜λ＜2a2b＜λ＜2aλ/2＜a＜λ0＜b＜λ/2将TE10模、TE20模和TE01模的截止波长代入上式得或写作2)波导功率容量问题

在传播所要求的功率时,波导不致于发生击穿。适当增加b可增加功率容量,故b应尽可能大一些(见3.1-44b)。即取b＜a/23)波导的衰减问题通过波导后的微波信号功率不要损失太大。增大b也可使衰减变小,故b应尽可能大一些(3.1-47b)。综合上述因素,矩形波导的尺寸一般选为a=0.7λb=(0.4-0.5)a标准波导见附录一通常将b=a/2的波导称为标准波导;为了提高功率容量,选b＞a/2这种波导称为高波导;为了减小体积,减轻重量,有时也选b＜a/2的波导,这种波导称为扁波导。通常波导尺寸确定以后，其工作频率范围便可以确定。为了使损耗不大，并不出现高次模，其工作波长范围取：实际的微波电路设计则是知道工作波长，从而选择合适的波导。

例3.1-1

见书上P77（磁导率用的国际单位）

例3.1-2在尺寸为的矩形波导中，传输TE10模，工作频率10GHz。

（1）求截止波长、波导波长和波阻抗；（2）若波导的宽边尺寸增大一倍，上述参数如何变化？还能传输什么模式？（3）若波导的窄边尺寸增大一倍，上述参数如何变化？还能传输什么模式？

解：（1）截止波长（2）当时此时

故此时能传输的模式为由于工作波长（3）当时此时故此时能传输的模式为由于工作波长3.2圆形波导若将同轴线的内导体抽走,则在一定条件下,由外导体所包围的圆形空间也能传输电磁能量,这就是圆形波导,简称圆波导,如图所示。圆波导具有加工方便、双极化、低损耗等优点广泛应用于远距离通信、双极化馈线以及微波圆形谐振器等,是一种较为常用的规则金属波导。下面着重来讨论圆波导中场分布及基本传输特性。1.圆波导中的模与矩形波导一样,圆波导也只能传输TE和TM波型。设圆形波导外导体内径为a，并建立如图所示的圆柱坐标，其拉梅系数h1=1,h2=r,由(1.4-30)其纵向-横向场关系为：

应用分离变量法,令Hoz(r,)=R(r)Φ()代入式（3.2-3）得（3.2-3）边界条件：1)TE波此时Ez=0,Hz=Hoz(r,φ)e-jβz≠0,且满足如下本征值方程在圆柱坐标中，

要使上式成立,上式两边项必须均为常数,设该常数为k2

,则得解为：

这种表示形式是考虑到圆波导的轴对称性,场的极化方向具有不确定性,使导行波的场分布在方向存在cosk和sink

两种可能的分布,它们独立存在,相互正交,截止波长相同,构成同一导行模的极化简并模。由于Hoz的解在方向上必须是周期的，即有对于：

该方程为Bessel方程，其解为：式中,Jm(x),Nm(x)分别为第一类和第二类m阶贝塞尔函数，第二类贝塞尔函数也称为诺依曼函数(Neumann)由于r→0时Nm(kcr)→-∞,由于圆波导中心的场应该为有限值，因此必然有A2=0。于是Hoz(r,φ,z)的基本解为:由边界条件，TE模在圆周上的Φ向电场应该为0，根据纵－横场关系有：由Bessel函数的性质有Hoz(r,φ,z)的基本解为:由于不同的m,n值对应不同的模式，因此圆波导中TE模的纵向磁场的通解为：将Hz一般解代入纵向-横向关系式得到TE模的各个场分量：可见,圆波导中同样存在着无穷多种TE模,不同的m和n代表不同的模式,

记作TEmn,场沿半径按Bessel函数或其导数的规律变化，式中m表示场沿圆周分布的整波数（即Φ方向的驻波数）,n表示场沿半径分布的最大值个数(即沿半径方向的半驻波数)。圆波导中TEmn导模的波阻抗：式中圆波导中TEmn导模的截止波长：圆波导中TEmn导模的截止频率：圆波导中TEmn导模从右面的表可以知道一阶Bessel函数的一阶导数方程的第一个根最小为1.841,对应为TE11模,其对应的截至波长为：从上面的表可以看出圆波导中TEmn导模的m阶Bessel函数的一阶导数最小值为1.841，即对应最小的截止频率，因此TE11模为圆波导的主模。2)圆波导中TMmn波TM波通过与TE波相同的分析,可求得TM波纵向电场Ez(r,φ,z)的基本解为:其中,umn是m阶贝塞尔函数Jm(x)的第n个根且kcTMmn=umn/a,于是可求得其它场分量:TM波纵向电场Ez(r,φ,z)的通解为:由边界条件(3.2-5):可见，圆波导中存在着无穷多种TM模,波型指数m和n的意义与TE模相同.此时波阻抗为：2.圆波导TM波的传输特性1)TMmn模截止波长2)TMmn模截止频率Bessel方程的根如图所示，可以知道0阶Bessel方程的第一个根最小的为2.405，对应的是TM模中的TM01导模2)简并模在圆波导中有两种简并模,它们是EH简并(TE0n和TM1n)和极化简并。

(1)E－H简并由于贝塞尔函数具有J0′(x)=-J1(x)的性质,所以一阶贝塞尔函数的根和零阶贝塞尔函数导数的根相等,即:μ’0n=u1n,故有λcTE0n=λcTM1n,从而形成了TE0n模和TM1n模的简并。这种简并称为E-H简并。(2)极化简并由于圆波导具有轴对称性,对m≠0的任意非圆对称模式,横向电磁场可以有任意的极化方向而截止波数相同,任意极化方向的电磁波可以看成是偶对称极化波和奇对称极化波的线性组合。偶对称极化波和奇对称极化波具有相同的场分布,故称之为极化简并。正因为存在极化简并,所以波在传播过程中由于圆波导细微的不均匀而引起极化旋转,从而导致不能单模传输，同时也正是因为有极化简并现象,圆波导可以构成极化分离器、极化衰减器等。由上面的分析可以得到下面的重要结论：(1)圆波导中导模的传输条件为工作波长小于截止波长。(2)圆波导的导模存在两种模式的简并，E-H简并和极化简并。即TE0n和TM1n的E-H简并，和极化简并。

(3)圆波导的主模为TE11模，TM01模为次模圆波导中各模式截止波长的分布图

3.几种常用模式由各模式截止波长分布图（见图3.2-2）,圆波导中TE11模的截止波长最长,其次是TM01模,由于TE01模场分布的特殊性,使之具有低损耗特点。为此我们主要来介绍这三种模式的特点及用途。1)主模TE11模TE11模的截止波长最长,是圆波导中的最低次模,也是主模。它的场结构分布图如图所示。其中图(a)表示横截面上的电磁场分布；图(b)表示纵剖面上的电磁场分布

由图可见,圆波导中TE11模的场分布与矩形波导的TE10模的场分布很相似,因此工程上容易通过矩形波导的横截面逐渐过渡变为圆波导,如图所示,从而构成方圆波导变换器。即矩形波导激励TE10模通过方圆过渡转换后在圆波导中的电磁场分布为TE11模。由于TE11模存在极化简并，因此如果波导的横截面由于加工误差存在一定的椭圆度的情况下，简并模将会分离成cosΦ和sinΦ的模，因此一般不使用圆波导来传输电磁波(因为不能保证其单模传输)。TE11模的传输功率：TE11模单位长度功率损耗为：由此得到圆波导TE11模的导体衰减常数为：圆波导TE11模的介质衰减常数为：注意：圆波导TE11模的半径一般选择工作波长的1/3由圆波导的模式频谱图可以知道TM01模是圆波导中的次主模，m=0,没有简并。其截止波长为：对应的电磁场分量为：m=0,n=1,Ez取余弦项2)圆对称TM01模（）圆波导TM01模是圆波导的横截面和俯视图的电磁场结构如图所示，可以看出(1)电场、磁场沿Φ方向没有变化(即场不是Φ的函数)，场的分布具有轴对称性。(2)电场相对集中在中心线附近，磁场则相对集中于圆波导内表壁。对于Ez而言，随着r的增大，电场强度减小，对应圆波导中心附近的电力线最密。(3)由于磁场只有Φ方向的量，因此表面电流只有JZ分量。由于圆波导中TM01模只有Z方向的表面电流，因此可以有效的和Z向流动的电子流(对应电场)交换能量，适合用于微波谐振腔或天线扫描装置的旋转铰链工作模式。TE01模的场分布如图所示。其中图(a)表示横截面上的电磁场分布(横截面径向为磁力线)图(b)表示纵剖面上的电磁场分布圆波导TE01模的场分量：m=0,n=1，纵向磁场取余弦项3)低损耗TE01模TE01模的场的特点：(1)电磁场沿Φ方向不变化，即具有轴对称性。(2)电场只有Φ方向分量，在中心和波导内壁处为0。(3)在管壁附近只有Hz分量磁场，故管壁只有Φ方向电流，因此当传输功率一定时，随着频率增加，损耗将减小，衰减常数将变小，适合于高频(毫米波)的长距离传输。但是其不是圆波导的主模，因此需要抑制其他的低次模式。当传输功率一定时,随着频率升高,管壁的热损耗将单调下降,故其损耗相对其它模式来说是低的例子3.2-13.3同轴线同轴线是一种典型的双导体传输系统,它由内、外同轴的两导体柱构成,中间为支撑介质,如图所示。其中内、外半径分别为a和b,填充介质的磁导率和介电常数分别为μ和ε。同轴线是微波技术中最常见的TEM模传输线,分为硬、软两种结构。硬同轴线是以圆柱形铜棒作内导体,同心的铜管作外导体,内、外导体间用介质支撑,这种同轴线也称为同轴波导。软同轴线的内导体一般采用多股铜丝,外导体是铜丝网,在内、外导体间用介质填充,外导体网外有一层橡胶保护壳,这种同轴线又称为同轴电缆。1.同轴线的TEM波导场如图所示，采用柱坐标系根据(3.3-1)同轴线的横向电场为：(2)特性阻抗由电磁场理论分析得到同轴线的单位长分布电容和单位长分布电感分别为(见书上表2.1-1)2.同轴线的传输特性(1).相速度和波导波长由于同轴线主要传输TEM波，则Kc=0，β=K，则相速度由(1.4-14)得特性阻抗为：同轴线内外导体之间的电位差可以通过(3.3-15)得到：另外：从电压和电流的角度求特性阻抗：同轴线内导体上的总电流可以通过(3.3-17)得到：特性阻抗为：同轴线的传输功率：(3)衰减常数下面重点讨论同轴线外半径b不变时,改变内半径a,分别达到耐压最高、传输功率最大及衰减最小三种状态下,它们分别对应的不同阻抗特性。(a)导体损耗和介质损耗为达到耐压最大,设Ea取介质的极限击穿电场值Emax,即Ea=Emax,故讨论1.耐压最高时的阻抗特性设外导体接地,内导体上的电压为Um,则内导体表面的电场为介质击穿的临界内导体电压对应的对同轴线尺寸的偏微分应该为0，因此有此时同轴线的特性阻抗为：当同轴线中填充空气时,相应于耐压最大时的特性阻抗为60Ω。2.传输功率最大时的特性阻抗

限制传输功率的因素也是内导体的表面电场

式中,x=b/a。要使Pmax取最大值,则Pmax应满足于是可得x=b/a=1.65,相应的特性阻抗为：

当同轴线中填充空气时,相应于传输功率最大时的特性阻抗为30Ω。3.衰减最小时的特性阻抗同轴线的损耗由导体损耗和介质损耗引起,由于导体损耗远比介质损耗大,这里我们只讨论导体损耗的情形。设同轴线导体的表面电阻为Rs,两者之间的关系为导体损耗而引入的衰减系数αc(2.4-40)为:化简有：要使衰减系数αc最小,则应满足于是可得xlnx-x-1=0,即x=b/a=3.59,此时特性阻抗为：

当同轴线中填充空气时,相应于衰减最小时的特性阻抗为76.7Ω。若要使衰减最小则b/a=3.591，若要求功率容量最大，则要求b/a=1.65,若折衷考虑即功率容量和衰减都达到一个比较合适的值，则选取b/a=2.303，对应的特性阻抗为50欧。可见在不同的使用要求下