概率论与随机过程-第三讲

定义1.2.2

设是定义在集合类上的集函数，若对中任第二节测度与概率则称在A处下连续（类似于普通函数在某一点上的左连续）。若在Ģ中的每一A处下连续，则称在上下连续（类似于普通函数在某一区间上的左连续性）。类似地可定义在A处上连续（一般情况下集函数在A处的值是有限的），甚至也可推广在上的上连续性。上连续+下连续连续意满足条件An，且的集合序列{An}，有：2/5/20231北京邮电大学电子工程学院

下面讨论完全可加性与连续性的关系：定理1.2.2设是集代数上的σ-可加集函数（或测度），则有限可加且连续。证明：由定理1.2.1（2）知：σ-可加有限可加因此只需说明的连续性。（1）首先说明的下连续性，不妨假设{An}，An2/5/20232北京邮电大学电子工程学院

一般情形：若对一切n，(An)有限，则如下图，有：且上式右边的任意两项均两两不交，以保证可以利用-可加性。具体证明过程略，见P11。（2）类似地可说明的上连续性，略2/5/20233北京邮电大学电子工程学院定理1.2.3

设是集代数上的有限可加集函数（或有限可加测度）,若满足下列条件之一：（1）是下连续的；（2）有限，且在处连续，则是σ-可加集函数（或测度）证明：（1）若下连续，则对任意的

An，n=1,2,…，Bn，且：2/5/20234北京邮电大学电子工程学院则由下连续性和有限可加性，有：则：是-可加的。2/5/20235北京邮电大学电子工程学院（2）设有限，且对每一个n，有：则：2/5/20236北京邮电大学电子工程学院二、测度的扩张定理有了定义在集代数上的测度v，我们考虑如何在此基础上产生测度ν在σ-代数σ()上的扩张？首先必须明白什么叫“扩张”？定理1.2.31,2是Ω上的两个非空集合类,且1

2，vi是1的测度，i=1,2，若对A1,有v1(1)=v2(1)，则称v2是v1在2上的扩张（v1是v2在1上的限制）。第二节测度与概率2/5/20237北京邮电大学电子工程学院以下讨论的前提是是Ω的集代数，ν是的测度称Ω上的v*是由上的v所引出的外测度。(可列多个集合的并覆盖集合A，该可列多个集合的测度和的下确界，即为集合A的外测度。）还需回顾下确界的性质（1.2.1）1、Ω（Ω的一切子集所生成的σ-代数）上的外测度2/5/20238北京邮电大学电子工程学院下面讨论外测度的性质：引理1.2.1

由集代数上的测度v引出的Ω上的外测度v*，满足：2/5/20239北京邮电大学电子工程学院2/5/202310北京邮电大学电子工程学院

由的任意性，外测度的次可加性得证。2/5/202311北京邮电大学电子工程学院问题：外测度ν*在Ω上未必满足可加性，为了把那些满足可加性的集合挑选出来，我们引入ν*可测集的概念，并构成一个新的集合类，该集合类*不仅为σ-代数，而且ν*

是*上的测度。2、ν*可测集2/5/202312北京邮电大学电子工程学院证明：必要性显然成立下面简单说明充分性：

由引理1.2.1，有v*()=0

由引理1.2.1(1)知外测度函数v*具有次可加性，则在引理1.2.1(3)中取我们记*为所有ν*可测集组成的集合类。2/5/202313北京邮电大学电子工程学院引理1.2.3*满足：（1）*是σ-代数；（3）ν*是*上的测度证明：（1）首先证明*是集代数2/5/202314北京邮电大学电子工程学院则有：AB*综上所述知*是集代数。（1.2.5）2/5/202315北京邮电大学电子工程学院下面说明*是-代数，只需进一步说明*对可列不交并运算封闭。（要解释原因？）

设An*是，n=1,2,…，Ai

Aj=，ij，则：对D，有：2/5/202316北京邮电大学电子工程学院令n，有：*，则*是-代数。（1.2.6）2/5/202317北京邮电大学电子工程学院2/5/202318北京邮电大学电子工程学院（3）欲证v*是*上的测度，只须说明v*在*上满足完全可加性。在（2）的结论中取D=A*，则对任意的D考虑到v*()=0，所以A*上，有：v*(A)0则v*是*上的测度。整个引理的证明完毕。2/5/202319北京邮电大学电子工程学院3、测度扩张定理问题：*是否是包含的σ-代数？若是，则v*便是定义在上的测度v在*的一个扩张；进一步地，这样的扩张唯一吗？为了保证唯一性，不必将v扩张到*上，而只需扩张到σ(

)即可。定理1.2.4

设v是Ω的集代数

上的测度，则v在σ(

)

上存在一个扩张；如果v在上是σ-有限的，则v在σ(

)

上的扩张是唯一的。证明：由前面的一系列引理，只须说明

*即可具体证明过程略，见教材P15唯一性的证明过程也略，见教材P162/5/202320北京邮电大学电子工程学院三、测度的完全化初等概率中我们遇到这样的问题：考虑某一集合BA，A\BN，且P(N)=0，但B未必属于，即B未必是事件，未必有概率。为了克服这个问题，必须将上的测度完全化。即根本的问题在于零测集的子集未必有概率。定义1.2.4

设v是σ-代数

(或集代数)上的测度,如果A

(或)，v(A)=0，BA，则B

(或)，因而必有v(B)=0

，则称v为

(或)上的完全测度。以下介绍如何将σ-代数上的测度v完全化？2/5/202321北京邮电大学电子工程学院定理1.2.5（测度的完全化）设v是σ-代数上的测度，记：2/5/202322北京邮电大学电子工程学院证明过程略。2/5/202323北京邮电大学电子工程学院第三节L-S测度和L测度

本节先给出L-S测度（Lebesque-Stieltjes测度）的构造方法，其特殊情况就是L测度。一、

n维L-S测度前面介绍过n维Borel域（由开区