生医信号处理课件2随机信号通过线性系统

信自学院生医系生物医学信号处理第二章随机信号通过线性系统电子系统分为：时不变线性系统L[.]x(t)y(t)=L[x(t)]2.1线性系统的基本理论

2.1.1线性时不变系统h(t)x(t)y(t)=x(t)*h(t)3、冲激响应4、传输函数5、系统的稳定性和物理可实现若h(t)绝对可积，即则系统稳定。若当t<0时，h(t)=0,则系统为因果系统2.1.2离散线性时不变系统1、2、若则系统稳定。3、设采样间隔T=14、系统的传递函数（频率响应）5、令则6、因果系统：n<0时，h(n)=02.2随机信号通过连续时间系统的分析2.2.1时域分析法

1、输出表达式（零状态响应，因果系统）

对于随机信号任意一个样本函数均成立。：

那么对于所有的试验结果，系统输出为一族样本函数，这族样本函数构成随机过程1、输出表达式

2、输出的均值

结论：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为3、系统输入与输出之间的互相关函数

4、系统输出的自相关函数

5、系统输出的高阶距

2.2.2系统输出的平稳性和遍历性前提:系统处于稳定状态时。在这种情况下，系统输出响应在t=0已处于稳态1、若输入是宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。证明2、若输入是严平稳的，则输出也是严平稳的。

3、若输入是宽遍历性的，则输出也是宽遍历性的。证明2.2.3频域分析法

当系统的输入、输出均为平稳随机过程时，输入、输出的功率谱密度是存在的。一、系统输出的均值二、系统输出的功率谱密度三、系统输入与输出间互谱密度四、拉氏变换与付氏变换关系当不可积时，可积。因此对于随机信号，通常情况下其拉氏变换存在。

2.3随机信号通过离散时间系统的分析

2.3.1时域分析法一、系统的输出表达式二、输出的均值、自相关函数、互相关函数1、均值2、输入与输出之间的互相关函数依互相关函数的定义，有3、输出的自相关函数按自相关函数的定义，有三、输入是平稳随机信号的情况当X(n)为平稳随机序列时，均值为常数，即mx=mx(n)=mx(n-k)，因此即输出Y(n)也为平稳随机序列。当n=0时，可得输出随机序列的平均功率为当X(n)为平稳随机序列时，输出也为平稳随机序列，有同理可求得RYX(m)为2.3.2频域分析法一、功率谱密度表达式

当输入为平稳随机序列X(k)，其均值为mx时，则输出随机序列Y(k)的均值为根据维纳-欣钦定理，平稳离散随机序列的相关函数与Z域的功率密度谱构成Z变换对。即有当X(k)为平稳随机序列时，输出Y(k)也为平稳随机序列。上式两边取Z变换，有若以上三式的Z变换结果的收敛域在Z平面的单位圆之内，只要将z=ejωT=ejΩ代入Z域分析结果，就可分别得到输出功率密度谱和互功率密度谱。即有或者例：已知一线性时不变离散系统的单位脉冲响应为：h(k)=akε(k),0＜a＜1。输入为平稳随机序列X(k)，其自相关函数为RX(n)=N2δ(n)。试求系统输出的自相关函数RY(n)，功率谱密度SY(ω)

。解：2.4色噪声与白噪声一、色噪声的产生一个线性系统在单位功率谱密度的白噪声激励下上述系统是物理可实现的（渐近）稳定的。二、白化滤波器设计一个稳定的线性滤波器，将输入的色噪声变成输出是白噪声。2.5多输入多输出的线性系统研究：N个输入，M个输出方法：将纯量公式扩展为矩阵形式二个输入二个输出的系统例题一同一信号x(t)经两个滤波器H1(ω)和H2(ω)分别输出，求输出间的互谱。解：例题二信号x1(t)x2(t)分别经两个滤波器H1(ω)和H2(ω)后再相加，求输出y(