2023年阳江职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年阳江职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.（参数方程与极坐标选讲）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2+2ρcosθ=0，点P的极坐标为(2，π2)，过点P作圆C的切线，则两条切线夹角的正切值是______．答案：圆C的极坐标方程ρ2+2ρcosθ=0，化为普通方程为x2+y2+2x=0，即（x-1）2+y2=1．它表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．点P的极坐标为(2，π2)，化为直角坐标为（0，2）．设两条切线夹角为2θ，则sinθ=15，cosθ25，故tanθ=12．再由tan2θ=2tanθ1-tan2θ=43，故为43．2.已知集合A满足{1，2，3}∪A={1，2，3，4}，则集合A的个数为______．答案：∵{1，2，3}∪A={1，2，3，4}，∴A={4}；{1，4}；{2，4}；{3，4}；{1，2，4}；{1，3，4}；{2，3，4}；{1，2，3，4}，则集合A的个数为8．故为：83.若事件与相互独立，且，则的值等于A．B．C．D．答案：B解析：事件“”表示的意义是事件与同时发生，因为二者相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率公式得：.4.已知平面α内有一个点A（2，-1，2），α的一个法向量为=（3，1，2），则下列点P中，在平面α内的是（）

A．（1，-1，1）

B．（1，3，）

C．,（1,-3，）

D．（-1,3，-）答案：B5.设函数f（x）=（1-2a）x+b是R上的增函数，则（）A．a＞12B．a＜12C．a≥12D．a≤12答案：∵函数f（x）=（1-2a）x+b是R上的增函数，∴1-2a＞0，∴a＜12．故选B．6.在研究打酣与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打酣与患心脏病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是（）

A．100个心脏病患者中至少有99人打酣

B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打酣

C．100个心脏病患者中一定有打酣的人

D．100个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有答案：D7.下列随机变量ξ服从二项分布的是（）

①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；

②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；

③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数（M＜N）；

④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数（M＜N）．

A．②③

B．①④

C．③④

D．①③答案：D8.已知点A（1，2），直线l1：x=1+3ty=2-4t（t为参数）与直线l2：2x-4y=5相交于点B，则A、B两点之间的距离|AB|=______．答案：将x=1+3t，y=2-4t代入2x-4y=5，得t=12，所以两直线的交点坐标为（52，0）所以|AB|=(1-52)2+(2-0)2

=52．故为：529.若点A（1，2，3），B（-3，2，7），且AC+BC=0，则点C的坐标为______．答案：设C（x，y，z），则AC+BC=（2x+2，2y-4，2z-10）=0，∴x=-1，y=2，z=5．故为（-1，2，5）10.2008年9月25日下午4点30分，“神舟七号”载人飞船发射升空，其运行的轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，若这个椭圆的长轴长为2a，离心率为e，则“神舟七号”飞船到地球中心的最大距离为______．答案：如图，根据椭圆的几何性质可知，顶点B到椭圆的焦点F的距离最大．最大为a+c=a+ae．故为：a+ae．11.有一矩形纸片ABCD，按图所示方法进行任意折叠，使每次折叠后点B都落在边AD上，将B的落点记为B′，其中EF为折痕，点F也可落在边CD上，过B′作B′H∥CD交EF于点H，则点H的轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分答案：由题意知：点H到定点B的距离以及到定直线AD的距离相等，根据抛物线的定义可知：点H的轨迹为：抛物线，（抛物线的一部分）故选D．12.已知如下等式：12=1×2×36，12+22=2×3×56，12+22+32=3×4×76，…当n∈N*时，试猜想12+22+32+…+n2的值，并用数学归纳法给予证明．答案：由已知，猜想12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6，下面用数学归纳法给予证明：（1）当n=1时，由已知得原式成立；（2）假设当n=k时，原式成立，即12+22+32+…+k2=k(k+1)(2k+1)6，那么，当n=k+1时，12+22+32+…+（k+1）2=k(k+1)(2k+1)6+（k+1）2=(k+1)(k+2)(2k+3)6=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6故n=k+1时，原式也成立．由（1）、（2）知12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6成立．13.如图是一个实物图形，则它的左视图大致为（）A．

B．

C．

D．

答案：∵左视图是指由物体左边向右做正投影得到的视图，并且在左视图中看到的线用实线，看不到的线用虚线，∴该几何体的左视图应当是包含一条从左上到右下的对角线的矩形，并且对角线在左视图中为实线，故选D．14.复数z=sin1+icos2在复平面内对应的点位于第______象限．答案：z对应的点为（sin1，cos2）∵1是第一象限的角，2是第二象限的角∵sin1＞0，cos2＜0所以（sin1，cos2）在第四象限故为：四15.已知直线l：ax+by=1（ab＞0）经过点P（1，4），则l在两坐标轴上的截距之和的最小值是______．答案：∵直线l：ax+by=1（ab＞0）经过点P（1，4），∴a+4b=1，故a、b都是正数．故直线l：ax+by=1，此直线在x、y轴上的截距分别为1a、1b，则l在两坐标轴上的截距之和为1a+1b=a+4ba+a+4bb=5+4ba+ab≥5+24ba?ab=9，当且仅当4ba=ab时，取等号，故为9．16.已知随机变量ξ服从正态分布N（2，0.2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）等于（）A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84答案：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，0.2），μ=2，∴p（ξ≤0）=p（ξ≥4）=1-p（ξ≤4）=0.16．故选A．17.已知集合M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N．求a、b的值．答案：由M=N及集合中元素的互异性，得a=2ab=b2

①或a=b2b=2a

②解①得：a=0b=1或a=0b=0，解②得：a=14b=12，当a=0b=0时，违背了集合中元素的互异性，所以舍去，故a、b的值为a=0b=1或a=14b=12．18.已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A(72，4)，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．5B．92C．4D．AD答案：依题意可知焦点F（12，0），准线x=-12，延长PM交准线于H点．则|PF|=|PH||PM|=|PH|-12=|PA|-12|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-12，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①设直线FA与抛物线交于P0点，可计算得P0（3，94），另一交点（-13，118）舍去．当P重合于P0时，|PF|+|PA|可取得最小值，可得|FA|=194．则所求为|PM|+|PA|=194-14=92．故选B．19.“sinx=siny”是“x=y”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：∵“sinx=siny”不能推出“x=y”，例如sin30°=sin390°，但30°≠390°，即充分性不成立；反过来，若“x=y”，一定有“sinx=siny”，即必要性成立；∴“sinx=siny”是“x=y”的必要不充分条件．故选C．20.根据给出的程序语言，画出程序框图，并计算程序运行后的结果．

答案：程序框图：模拟程序运行：当j=1时，n=1，当j=2时，n=1，当j=3时，n=1，当j=4时，n=2，…当j=8时，n=2，…当j=11时，n=2，当j=12时，此时不满足循环条件，退出循环程序运行后的结果是：2．21.设直角三角形的三边长分别为a，b，c（a＜b＜c），则“a：b：c=3：4：5”是“a，b，c成等差数列”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件答案：∵直角三角形的三边长分别为a，b，c（a＜b＜c），a：b：c=3：4：5，∴a=3k，b=4k，c=5k（k＞0），∴a，b，c成等差数列．即“a：b：c=3：4：5”?“a，b，c成等差数列”．∵直角三角形的三边长分别为a，b，c（a＜b＜c），a，b，c成等差数列，∴a2+b2=c22b=a+c，∴a2+a2+

c2+2ac4=c2，∴4a=3b，5a=3c，∴a：b：c=3：4：5，即“a，b，c成等差数列”?“a：b：c=3：4：5”．故选C．22.若21-i=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则a+b=______．答案：∵21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i，∵21-i=a+bi∴a+bi=1+i∴a=b=1∴a+b=2．故为：223.已知||=2，||=，∠AOB=150°，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设（m，n∈R），则=（）

A．

B．

C．

D．答案：B24.若不等式logax＞sin2x（a＞0，a≠1）对任意x∈(0，π4)都成立，则a的取值范围是（）A．(0，π4)B．(π4，1)C．(π4，π2)D．（0，1）答案：∵当x∈(0，π4)时，函数y=logax的图象要恒在函数y=sin2x图象的上方∴0＜a＜1如右图所示当y=logax的图象过点(π4，1)时，a=π4，然后它只能向右旋转，此时a在增大，但是不能大于1故选B．25.设S(n)=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2，则（）A．S(2)=12+13B．S(2)=12+14C．S(2)=1+12+13+14D．S(2)=12+13+14答案：∵S(n)=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2，当n=2时，n2=4故S(2)=12+13+14故选D26.用0、1、2、3、4、5这6个数字，可以组成无重复数字的五位偶数的个数为______（用数字作答）．答案：末尾是0时，有A55=120种；末尾不是0时，有2种选择，首位有4种选择，中间有A44，故有2×4×A44=192种故共有120+192=312种．故为：31227.已知a为常数，a＞0且a≠1，指数函数f（x）=ax和对数函数g（x）=logax的图象分别为C1与C2，点M在曲线C1上，线段OM（O为坐标原点）与曲线C1的另一个交点为N，若曲线C2上存在一点P，且点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N的横坐标2倍，则点P的坐标为______．答案：设点M的坐标为（m，am），点N的坐标为（n，an）∵点P的横坐标与点M的纵坐标相等∴点P的坐标为（am，m）∵点P的纵坐标是点N的横坐标2倍，∴m=2n而O、M、N三点共线则amm=ann=

am2m2解得：am=4即m=loga4∴点P的坐标为（4，loga4）故为：（4，loga4）28.如图，花园中间是喷水池，喷水池周围的A、B、C、D区域种植草皮，要求相邻的区域种不同颜色的草皮，现有4种不同颜色的草皮可供选用，则共有______种不同的种植方法（以数字作答）．答案：若AD相同，有4×（3+3×2）种种植方法，若AD不同，有4×3×（2+2×1）种种植方法∴共有4×（3+3×2）+4×3×（2+2×1）=36+48=84种不同方法．故为84．29.已知=1-ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m+ni=（

）

A．1+2i

B．1-2i

C．2+i

D．2-i答案：C30.能较好地反映一组数据的离散程度的是（）

A．众数

B．平均数

C．标准差

D．极差答案：C31.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）

A．

B．

C．2

D．4答案：A32.直线y=kx+1与椭圆x29+y24=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定答案：∵直线y=kx+1过定点（0，1），把（0，1）代入椭圆方程的左端有0+14＜1，即（0，1）在椭圆内部，∴直线y=kx+1与椭圆x29+y24=1必相交，

因此可排除B、C、D；

故选A．33.圆的极坐标方程为ρ=2cos（θ+π3），则该圆的圆心的极坐标是______．答案：∵ρ=2cos（θ+π3），展开得ρ=cosθ-3sinθ，∴ρ2=ρcosθ-3ρsinθ，∴x2+y2=x-3y，∴(x-12)2+(y+32)2=1．∴圆心(12，-32)．∴ρ=(12)2+(-32)2=1，tanθ=-3212=-3，∴θ=-π3．故圆心的极坐标是(1，-π3)．故为(1，-π3)．34.设函数f（x）的定义域为R，如果对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（2）=1，那么f（3）=______．答案：对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（2）=1，∴f（2）=2f（1）=1∴f(1)=12那么f（3）=f（2）+f（1）=1=12=32故为：3235.下表是关于某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y（万元）的几组统计数据：

x23456y2.23.85.56.57.0（1）请在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程

y=

bx+

a；

（3）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？

（参考数值：2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3）．答案：（1）根据所给的数据，得到对应的点的坐标，写出点的坐标，在坐标系描出点，得到散点图，（2）∵5i=1xi2=4+9+16+25+36=90

且.x=4，.y=5，n=5，∴̂b=112.3-5×4×590-5×16=12.310=1.23̂a=5-1.23×4=0.08∴回归直线为y=1.23x+0.08．（3）当x=10时，y=1.23×10+0.08=12.38，所以估计当使用10年时，维修费用约为12.38万元．36.在极坐标系中，点（2，)到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为（）

A．2

B.

C.

D.答案：D37.9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）

A．140种

B．84种

C．70种

D．35种答案：C38.设b是a的相反向量，则下列说法错误的是（）

A．a与b的长度必相等

B．a与b的模一定相等

C．a与b一定不相等

D．a是b的相反向量答案：C39.已知函数f(x)=x21+x2．

（1）求f（2）与f(12)，f（3）与f(13)；

（2）由（1）中求得结果，你能发现f（x）与f(1x)有什么关系？并证明你的结论；

（3）求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f(12)+f(13)+…+f(12013)的值．答案：（1）f（2）=45，f（12）=15…1分f（3）=910，f（13）=110…2分（2）f（x）+f（1x）=1…5分证：f（x）+f（1x）=x21+x2+(1x)21+(1x)2=x21+x2+11+x2=1…8分（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（12）+f（13）+…+f（12013）=f（1）+[f（2）+f（12）]+[f（3）+f（13）]+…+[f（2013）+f（12013）]=12+2012=40252…12分40.若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1，2，3，4}；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为（）

A．24

B．48

C．144

D．288答案：C41.如图，在长方体OAEB-O1A1E1B1中，OA=3，OB=4，OO1=2，点P在棱AA1上，且AP=2PA1，点S在棱BB1上，且SB1=2BS，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS．答案：证明：如图，建立空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（0，4，0），O1（0，0，2），A1（3，0，2），B1（0，4，2），E（3，4，0），∵AP=2PA1，∴AP=2PA1=23AA1，即AP=23（0，0，2）=（0，0，43），∴P（3，0，43）同理可得，Q（0，2，2），R（3，2，0），S（0，4，23），∴PQ=（-3，2，23）=RS，∴PQ∥RS，∵R∉PQ，∴PQ∥RS42.不等式ax2+bx+2＞0的解集是(-，)，则a+b的值是（）

A．10

B．-10

C．14

D．-14答案：D43.对任意实数x，y，定义运算x*y为：x*y=ax+by+cxy，其中a，b，c为常数，等式右端运算为通常的实数加法和乘法，现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数m，使得对于任意的实数都有x*m=x，则d的值为（

）

A.4

B.1

C.0

D.不确定答案：A44.解不等式logx（2x+1）＞logx2．答案：当0＜x＜1，logx（2x+1）＞logx2?0＜2x+1＜20＜x＜1，解得0＜x＜12；当x＞1，logx（2x+1）＞logx2?2x+1＞2x＞1，解得x＞1．综上所述，原不等式的解集为{x|0＜x＜12或x＞1}．45.如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点．过P作⊙O的切线，切点为C，PC=23，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB=______．答案：连接BC，设圆的直径是x则三角形ABC是一个含有30°角的三角形，∴BC=12AB，三角形BPC是一个等腰三角形，BC=BP=12AB，∵PC是圆的切线，PA是圆的割线，∴PC2=PB?PC=12x?32x=34x2，∵PC=23，∴x=4，故为：446.若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为3，则点P的横坐标等于______．答案：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=3=x+p2=3，∴x=2，故为：2．47.已知两条直线y=ax-2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（

）

A．2

B．1

C．0

D．-1答案：D48.证明不等式1+12+13+…+1n＜2n（n∈N*）答案：证法一：（1）当n=1时，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立；（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即1+12+13+…+1k＜2k，则1+12+13+…+1k+1＜2k+1k+1=2k(k+1)+1k+1＜k+(k+1)+1k+1=2k+1，∴当n=k+1时，不等式也成立．综合（1）、（2）得：当n∈N*时，都有1+12+13+…+1n＜2n．证法二：设f（n）=2n-(1+12+13+…+1n)，那么对任意k∈N*

都有：f(k+1)-f(k)=2(k+1-k)-1k+1=1k+1[2(k+1)-2k(k+1)-1]=1k+1•[(k+1)-2k(k+1)+k]=(k+1-k)2k+1＞0∴f（k+1）＞f（k）因此，对任意n∈N*

都有f（n）＞f（n-1）＞…＞f（1）=1＞0，∴1+12+13+…+1n＜2n．49.如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是

______．答案：根据题意，x2+ky2=2化为标准形式为x22+y22k=1；根据题意，其表示焦点在y轴上的椭圆，则有2k＞2；解可得0＜k＜1；故为0＜k＜1．50.赋值语句M=M+3表示的意义（）

A．将M的值赋给M+3

B．将M的值加3后再赋给M

C．M和M+3的值相等

D．以上说法都不对答案：B第2卷一.综合题(共50题)1.一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为（）A．16B．112C．536D．19答案：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2x+y=8上，当x=1，y=6；x=2，y=4；x=3，y=2，共有3种结果，∴根据古典概型的概率公式得到P=336=112，故选B．2.探测某片森林知道，可采伐的木材有10万立方米．设森林可采伐木材的年平均增长率为8%，则经过______年，可采伐的木材增加到40万立方米．答案：设经过n年可采伐本材达到40万立方米则有10×（1+8%）n=40即（1+8%）n=4故有n=log1.084，解得n≈19即经过19年，可采伐的木材增加到40万立方米故为193.直线(t为参数)和圆x2+y2=16交于A，B两点，则AB的中点坐标为（）

A．（3，-3）

B．(-，3)

C．(，-3)

D．(3，-)答案：D4.两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0之间的距离为（

）

A．

B．

C．7

D．答案：D5.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.6，则ξ在（0，1）内取值的概率为（）

A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4答案：C6.已知如下等式：12=1×2×36，12+22=2×3×56，12+22+32=3×4×76，…当n∈N*时，试猜想12+22+32+…+n2的值，并用数学归纳法给予证明．答案：由已知，猜想12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6，下面用数学归纳法给予证明：（1）当n=1时，由已知得原式成立；（2）假设当n=k时，原式成立，即12+22+32+…+k2=k(k+1)(2k+1)6，那么，当n=k+1时，12+22+32+…+（k+1）2=k(k+1)(2k+1)6+（k+1）2=(k+1)(k+2)(2k+3)6=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6故n=k+1时，原式也成立．由（1）、（2）知12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6成立．7.如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，BC=6，以AB为直径作⊙O，连接OC，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，若sin∠OCD=45，则直径AB=______．答案：连接OD，则OD⊥CD．∵∠ABC=90°，∴CD、CB为⊙O的两条切线．∴根据切线长定理得：CD=BC=6．在Rt△OCD中，sin∠OCD=45，∴tan∠OCD=43，OD=tan∠OCD×CD=8．∴AB=2OD=16．故为16．8.若直线l的方程为x=2，则该直线的倾斜角是（）A．60°B．45°C．90°D．180°答案：∵直线l的方程为x=2∴直线l与x轴垂直∴直线l的倾斜角为90°故选C9.已知椭圆(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，b=4，离心率e=过F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）

A．10

B．12

C．16

D．20答案：D10.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程y=0.68x+54.6

表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）A．68B．68.2C．69D．75答案：设表中有一个模糊看不清数据为m．由表中数据得：.x=30，.y=m+3075，由于由最小二乘法求得回归方程y=0.68x+54.6．将x=30，y=m+3075代入回归直线方程，得m=68．故选A．11.从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（）A．120个B．480个C．720个D．840个答案：要选取5个字母时首先从其它6个字母中选3个有C63种结果，再与“qu“组成的一个元素进行全排列共有C63A44=480，故选B．12.过P（-1，1），Q（3，9）两点的直线的斜率为（

）

A．2

B．

C．4

D．答案：A13.设a∈（0，1）∪（1，+∞），对任意的x∈(0，12]，总有4x≤logax恒成立，则实数a的取值范围是______．答案：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），当0＜x≤12时，函数y=4x的图象如下图所示：∵对任意的x∈(0，12]，总有4x≤logax恒成立，若不等式4x＜logax恒成立，则y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）∵y=logax的图象与y=4x的图象交于（12，2）点时，a=22，故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足22＜a＜1．故为：（22，1）．14.Rt△ABC的直角边AB在平面α内，顶点C在平面α外，则直角边BC、斜边AC在平面α上的射影与直角边AB组成的图形是（）

A．线段或锐角三角形

B．线段与直角三角形

C．线段或钝角三角形

D．线段、锐角三角形、直角三角形或钝角三角形答案：B15.圆x2+y2-4x=0，在点P（1，）处的切线方程为（）

A．x+y-2=0

B．x+y-4=0

C．x-y+4=0

D．x-y+2=0答案：D16.现有以下两项调查：①某校高二年级共有15个班，现从中选择2个班，检查其清洁卫生状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1：5：9．为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查．完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．简单随机抽样法，分层抽样法B．系统抽样法，简单随机抽样法C．分层抽样法，系统抽样法D．系统抽样法，分层抽样法答案：从15个班中选择2个班，检查其清洁卫生状况；总体个数不多，而且差异不大，故可采用简单随机抽样的方法，1500家大型、中型与小型的商店的每日零售额存在较大差异，故可采用分层抽样的方法故完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是简单随机抽样法，分层抽样法故选A17.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的=（m，n），=（p，q）

，令⊙=mq-np，下面说法错误的序号是（）

①若若a与共线，则⊙=0

②⊙=⊙a

③对任意的λ∈R，有（λ）⊙=λ（⊙）

④（⊙）2+（a）2=||2||2

A．②

B．①②

C．②④

D．③④答案：A18.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3)．若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c=______．答案：设c=（x，y），则c+a=（x+1，y+2），又（c+a）∥b，∴2（y+2）+3（x+1）=0．

①又c⊥（a+b），∴（x，y）•（3，-1）=3x-y=0．

②解①②得x=-79，y=-73．故应填：(-79，-73)．19.已知F1、F2为椭圆x225+y216=1的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有

（）个．A．0B．1C．2D．4答案：设△MF1F2的内切圆的内切圆的半径等于r，则由题意可得2πr=3π，∴r=32．由椭圆的定义可得

MF1+MF2=2a=10，又2c=6，∴△MF1F2的面积等于12

（MF1+MF2+2c）r=8r=12．又△MF1F2的面积等于12

2cyM=12，∴yM=4，故M是椭圆的短轴顶点，故满足条件的点M有2个，故选

C．20.已知0＜a＜1，loga（1-x）＜logax则（）

A．0＜x＜1

B．x＜

C．0＜x＜

D．＜x＜1答案：C21.两条平行线l1：3x+4y-2=0，l2：9x+12y-10=0间的距离等于（）

A．

B．

C．

D．答案：C22.若双曲线的渐近线方程为y=±34x，则双曲线的离心率为______．答案：由题意可得，当焦点在x轴上时，ba=34，∴ca=a2+b2a=a2+(3a4)2a=54．当焦点在y轴上时，ab=34，∴ca=a2+b2a=a2+(4a3)2a=53，故为：53

或54．23.下列说法中正确的有（）

①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响；

②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大

③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确．

④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．A．①②B．③C．③④D．④答案：中位数数不受少数几个极端值的影响，平均数受样本中的每一个数据影响，故①不正确，抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”的概率是14“两枚都是反面朝上的概率是14、“恰好一枚硬币正面朝上的概率是12”，故②不正确，用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确．正确向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型，故④不正确，故选B．24.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若的面积,求的大小.答案：（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）90°解析：本题主要考查平面几何中与圆有关的定理及性质的应用、三角形相似及性质的应用.证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD．因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD．故△ABE∽△ADC．（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE．又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE．则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°．【点评】在圆的有关问题中经常要用到弦切角定理、圆周角定理、相交弦定理等结论，解题时要注意根据已知条件进行灵活的选择，同时三角形相似是证明一些与比例有关问题的的最好的方法.25.有3名同学要争夺2个比赛项目的冠军，冠军获得者共有______种可能．答案：第一个项目的冠军有3种情况，第二个项目的冠军也有3种情况，根据分步计数原理，冠军获得者共有3×3=9种可能，故为9．26.已知正三角形的外接圆半径为63cm，求它的边长．答案：设正三角形的边长为a，则12a=Rcos30°=63?32=9(cm)∴a=18(cm)．它的边长为18cm．27.点M，N分别是曲线ρsinθ=2和ρ=2cosθ上的动点，则|MN|的最小值是______．答案：∵曲线ρsinθ=2和ρ=2cosθ分别为：y=2和x2+y2=2x，即直线y=2和圆心在（1，0）半径为1的圆．显然|MN|的最小值为1．故为：1．28.不等式log32x-log3x2-3＞0的解集为（）

A．（，27）

B．（-∞，-1）∪（27，+∞）

C．（-∞，）∪（27，+∞）

D．（0，）∪（27，+∞）答案：D29.不等式|3x-2|＞4的解集是______．答案：由|3x-2|＞4可得

3x-2＞4

或3x-2＜-4，∴x＞2或x＜-23．故为：(-∞，-23)∪(2，+∞)．30.已知直线过点A（2，0），且平行于y轴，方程：|x|=2，则（

）

A．l是方程|x|=2的曲线

B．|x|=2是l的方程

C．l上每一点的坐标都是方程|x|=2的解

D．以方程|x|=2的解（x，y）为坐标的点都在l上答案：C31.直线y=kx+1与椭圆x29+y24=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定答案：∵直线y=kx+1过定点（0，1），把（0，1）代入椭圆方程的左端有0+14＜1，即（0，1）在椭圆内部，∴直线y=kx+1与椭圆x29+y24=1必相交，

因此可排除B、C、D；

故选A．32.已知一次函数y=（2k-4）x-1在R上是减函数，则k的取值范围是（）A．k＞2B．k≥2C．k＜2D．k≤2答案：因为函数y=（2k-4）x-1为R上是减函数⇔该一次函数的一次项的系数为负⇔2k-4＜0⇒k＜2．故为：C33.已知a=（2，-1，3），b=（-1，4，-2），c=（7，5，λ），若a、b、c三个向量共面，则实数λ等于

A.

B.

C.

D.答案：D34.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=7.069，则所得到的统计学结论是：有（）的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．

P（k2≥k0）

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

A．0.1%

B．1%

C．99%

D．99.9%答案：C35.正方体AC1中，S，T分别是棱AA1，A1B1上的点，如果∠TSC=90°，那么∠TSB=______．答案：由题意，BC⊥平面A1B，∵S，T分别是棱AA1，A1B1上的点，∴BC⊥ST∵∠TSC=90°，∴ST⊥SC∵BC∩SC=C∴ST⊥平面SBC∴ST⊥SB∴∠TSB=90°，故为：90°36.若a=(1，2，-2)，b=(1，0，2)，则(a-b)•(a+2b)=______．答案：∵a=(1，2，-2)，b=(1，0，2)，∴a-b=(0，2，-4)，a+2b=（3，2，2）．∴(a-b)•(a+2b)=0×3+2×2-4×2=-4．故为-4．37.质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．

（1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；

（2）设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分歧布列及期望Eξ．答案：（1）不能被4整除的有两种情形；①4个数均为奇数，概率为P1=(12)4=116②4个数中有3个奇数，另一个为2，概率为P2=C34(12)3?14=18这两种情况是互斥的，故所求的概率为P=116+18=316（2）ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3，4，根据符合二项分布，得到P(ξ=k)=Ck4(12)4（k=0，1，2，3，4），ξ的分布列为∵ξ服从二项分布B(4，12)，∴Eξ=4×12=2．38.两条直线x-y+6=0与x+y+6=0的夹角为（）

A．

B．

C．0

D．答案：D39.已知命题p：“△ABC是等腰三角形”，命题q：“△ABC是直角三角形”，则命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是（）A．p或qB．p且qC．非pD．以上都不对答案：因为“△ABC是等腰直角三角形”即为“△ABC是等腰且直角三角形”，所以命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是p且q，故选B．40.根据一组数据判断是否线性相关时，应选用（）

A．散点图

B．茎叶图

C．频率分布直方图

D．频率分布折线图答案：A41.下列图形中不一定是平面图形的是（）

A．三角形

B．四边相等的四边形

C．梯形

D．平行四边形答案：B42.正十边形的一个内角是多少度？答案：由多边形内角和公式180°（n-2），∴每一个内角的度数是180°(n-2)n当n=10时．得到一个内角为180°(10-2)10=144°43.已知a，b为正数，求证：≥．答案：证明略解析：1：∵a>0，b>0，∴≥，≥，两式相加，得≥，∴≥．解析2.≥．∴≥．解析3.∵a>0，b>0，∴，∴欲证≥，即证≥，只要证

≥，只要证

≥，即证

≥，只要证a3+b3≥ab(a+b)，只要证a2+b2-ab≥ab，即证(a-b)2≥0．∵(a-b)2≥0成立，∴原不等式成立．【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路．“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用．这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法．44.（理）在直角坐标系中，圆C的参数方程是x=2cosθy=2+2sinθ（θ为参数），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心极坐标为______．答案：∵直角坐标系中，圆C的参数方程是x=2cosθy=2+2sinθ（θ为参数），∴x2+（y-2）2=4，∵以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，∴圆心坐标（0，2），r=2∵0=pcosθ，∴θ=π2，又p=r=2，∴圆C的圆心极坐标为（2，π2），故为：（2，π2）．45.（选做题）

曲线（θ为参数）与直线y=a有两个公共点，则实数a的取值范围是（

）．答案：0＜a≤146.在平行四边形ABCD中，等于（）

A.

B.

C.

D.答案：C47.已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：1+ba，1+ab中至少有一个小于2．答案：证明：假设1+ba，1+ab都不小于2，则1+ba≥2，1+ab≥2（6分）因为a＞0，b＞0，所以1+b≥2a，1+a≥2b，1+1+a+b≥2（a+b）即2≥a+b，这与已知a+b＞2相矛盾，故假设不成立（12分）综上1+ba，1+ab中至少有一个小于2．（14分）48.过点（-3，-1），且与直线x-2y=0平行的直线方程为______．答案：直线l经过点（-3，-1），且与直线x-2y=0平行，直线的斜率为12所以直线l的方程为：y+1=12（x+3）即x-2y+1=0．故为：x-2y+1=0．49.已知A（0，1），B（3，7），C（x，15）三点共线，则x的值是（）

A．5

B．6

C．7

D．8答案：C50.若不等式（﹣1）na＜2+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是

[

]A．[﹣2，）

B．（﹣2，）

C．[﹣3，）

D．（﹣3，）答案：A第3卷一.综合题(共50题)1.求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．答案：设三个互相垂直的平面分别为α、β、γ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c，三个平面的公共点为O，如图所示：在平面γ内，除点O外，任意取一点M，且点M不在这三个平面中的任何一个平面内，过点M作MN⊥c，MP⊥b，M、P为垂足，则有平面和平面垂直的性质可得MN⊥α，MP⊥β，∴a⊥MN，a⊥MP，∴a⊥平面γ．

再由b、c在平面γ内，可得a⊥b，a⊥c．同理可证，c⊥b，c⊥a，从而证得a、b、c互相垂直．2.一个完整的程序框图至少应该包含______．答案：完整程序框图必须有起止框，用来表示程序的开始和结束，还要包括处理框，用来处理程序的执行．故为：起止框、处理框．3.用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个是钝角”时，第一步是：“假设______．答案：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至多有一个是钝角”的否定为：“三角形的内角中至少有两个钝角”，故为“三角形的内角中至少有两个钝角”．4.一圆形纸片的圆心为点O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点．把纸片折叠使点A与Q重合，然后展平纸片，折痕与OA交于P点．当点A运动时点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案：如图所示，由题意可知：折痕l为线段AQ的垂直平分线，∴|AP|=|PQ|，而|OP|+|PA|=|OA|=R，∴|PO|+|PQ|=R定值＞|OQ|．∴当点A运动时点P的轨迹是以点O，D为焦点，长轴长为R的椭圆．故选B．5.已知随机变量X～B（n，0.8），D（X）=1.6，则n的值是（）

A．8

B．10

C．12

D．14答案：B6.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（）

A．511个

B．512个

C．1023个

D．1024个答案：B7.四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（）

A．8种

B．10种

C．12种

D．16种答案：C8.点P，设△ABC的面积是△PBC的面积的m倍，那么m=（）

A．1

B．

C．4

D．2答案：B9.数据：1，1，3，3的众数和中位数分别是（）

A．1或3，2

B．3，2

C．1或3，1或3

D．3，3答案：A10.已知f（x）=3mx2-2（m+n）x+n（m≠0）满足f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两根，则|x1-x2|的取值范围为（）

A．[，)

B．[，)

C．[，)

D．[，)答案：A11.已知向量a=(3，5，1)，b=(2，2，3)，c=(4，-1，-3)，则向量2a-3b+4c的坐标为______．答案：∵a=(3，5，1)，b=(2，2，3)，c=(4，-1，-3)，∴向量2a-3b+4c=2（3，5，1）-3（2，2，3）+4（4，-1，-3）=（16，0，-19）故为：（16，0，-19）．12.已知向量，，则“，λ∈R”成立的必要不充分条件是（）

A.

B与方向相同

C.

D.答案：D13.若随机变量X～B（n，0.6），且E（X）=3，则P（X=1）的值是（）

A．2×0.44

B．2×0.45

C．3×0.44

D．3×0.64答案：C14.下列语句不属于基本算法语句的是（）

A．赋值语句

B．运算语句

C．条件语句

D．循环语句答案：B15.如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°．且|OA|=1，|OB|=1，|OC|=23，若|OC|=λOA+μOB(λ，μ∈R)，求λ+μ的值．答案：如图，OC=OD+OE=λOA+μOB，在△OCD中，∠OD=30°，∠OCD=∠COB=90°，可求|OD|=4，同理可求|OE|=2，∴λ=4，μ=2，∴λ+μ=6．16.与

向量

=(2，-1，2)共线且满足方程=-18的向量为（）

A．不存在

B．-2

C．（-4，2，-4）

D．（4，-2，4）答案：D17.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A．（不等式选做题）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是______．

B．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是______．

C．（几何证明选做题）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=22，BE=1，BF=2，若CE与圆相切，则线段CE的长为______．答案：A．∵|x-5|+|x+3|≥10，∴当x≥5时，x-5+x+3≥10，∴x≥6；当x≤-3时，有5-x+（-x-3）≥10，∴x≤-4；当-4＜x＜5时，有5-x+x+3≥8，不成立；故不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是{x|x≤-4或x≥6}；B．由ρ=-2sinθ得：ρ2=-2ρsinθ，即x2+y2=-2y，∴x2+（y+1）2=1，∴该圆的圆心的直角坐标为（-1，0），∴其极坐标是（1，3π2）；C．∵DF=CF=22，BE=1，BF=2，依题意，由相交线定理得：AF•FB=DF•FC，∴AF×2=22×22，∴AF=4；又∵CE与圆相切，∴|CE|2=|EB|•|EA|=1×（1+2+4）=7，∴|CE|=7．故为：A．{x|x≤-4或x≥6}；B．（1，3π2）；C.7．18.已知A（-1，2），B（2，-2），则直线AB的斜率是（）

A．

B．

C．

D．答案：A19.已知曲线C的参数方程为x=4t2y=t（t为参数），若点P（m，2）在曲线C上，则m=______．答案：因为曲线C的参数方程为x=4t2y=t（t为参数），消去参数t得：x=4y2；∵点P（m，2）在曲线C上，所以m=4×4=16．故为：16．20.将3封信投入5个邮筒，不同的投法共有（）

A．15

种

B．35

种

C．6

种

D．53种答案：D21.设向量与的夹角为θ，，，则cosθ等于（）

A．

B．

C．

D．答案：D22.数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2（n∈N*）”时，第一步验证的表达式为______．答案：根据数学归纳法的步骤，首先要验证证明当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=1时，2n+1≥n2+n+2的成立；即21+1≥12+1+2成立；故为：21+1≥12+1+2（22≥4或4≥4也算对）．23.曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公共点的个数是（）

A．4

B．3

C．2

D．1答案：D24.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点O在AB上，BD⊥AB，点B是垂足，OD∥AC，连接CD．

求证：CD是⊙O的切线．答案：证明：连接CO，（1分）∵OD∥AC，∴∠COD=∠ACO，∠CAO=∠DOB．（3分）∵∠ACO=∠CAO，∴∠COD=∠DOB．（6分）∵OD=OD，OC=OB，∴△COD≌△BOD．（8分）∴∠OCD=∠OBD=90°．∴OC⊥CD，即CD是⊙O的切线．（10分）25.如图，在梯形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，E、F分别是AC和BD的中点，分别写出

（1）图中与EF、CO共线的向量；

（2）与EA相等的向量．答案：（1）由图可知，与EF共线的向量有：CD、AB；与CO共线的向量有：CE、CA、OE、OA、EA；（2）由E为CA的中点可知，CE=EA，即与EA相等的向量为CE；26.隋机变量X～B（6，），则P（X=3）=（）

A．

B．

C．

D．答案：C27.（2x+1）5的展开式中的第3项的系数是（）A．10B．40C．80D．120答案：（2x+1）5的展开式中的第3项为T3=C25(2x)3

×1=80x3，故（2x+1）5的展开式中的第3项的系数是80，故选C．28.定义在R上的二次函数y=f（x）在（0，2）上单调递减，其图象关于直线x=2对称，则下列式子可以成立的是（）

A．

B．

C．

D．答案：D29.将程序补充完整

INPUT

x

m=xMOD2

IF______THEN

PRINT“x是偶数”

ELSE

PRINT“x是奇数”

END

IF

END．答案：本程序的作用是判断出输入的数是奇数还是偶数，由其逻辑关系知，若逻辑是“是”则输出“x是偶数”，若逻辑是“否”，则输出“x是奇数”故判断条件应为m=0故为m=030.如果一个圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积是______．答案：由已知，圆锥的底面直径为2，母线为2，则这个圆锥的表面积是12×2π×2+π?12=3π．故：3π．31.设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为y=±12x，则双曲线的离心率e=______．答案：依题意可知ba=12，求得a=2b∴c=a2+b2=5b∴e=ca=52故为52．32.若a=(1，1)，则|a|=______．答案：由题意知，a=(1，1)，则|a|=1+1=2，故为：2．33.已知直线l：kx-y+1+2k=0．

（1）证明：直线l过定点；

（2）若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．答案：（1）证明：由已知得k（x+2）+（1-y）=0，∴无论k取何值，直线过定点（-2，1）．（2）令y=0得A点坐标为（-2-1k，0），令x=0得B点坐标为（0，2k+1）（k＞0），∴S△AOB=12|-2-1k||2k+1|=12（2+1k）（2k+1）=（4k+1k+4）≥12（4+4）=4．当且仅当4k=1k，即k=12时取等号．即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为12x-y+1+1=0