等差数列前n项和公式

等差数列前n项和公式

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现

问题1问题2一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？

问题就是求“1+2+3+4+…+100=？”探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。有无简单的方法？

探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

123212120191获得算法：问题3:求和:1+2+3+4+…+n=?记:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1问题4：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求等差数列的前n项和Sn=a1

+a2+a3+…+an?解：因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…

两式左右分别相加，得倒序相加Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+anSn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a12Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an)问题5：能否用a1,n,d表示Sn将an=a1+(n-1)d代入【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫

；②{an}为等差数列

，这是一个关于

的

没有

的“

”

倒序相加法Sn=an2+bnn常数项二次函数（注意a还可以是0）等差数列前n项和公式【公式记忆】用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前n项和的两个公式.③等差数列的前n项和公式类同于

；梯形的面积公式n例1．某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：

,8000,8500,9000,9500,10000,10500这位运动员7天共跑了多少米？解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，记为｛an},其中a1=7500,a7=10500.根据等差数列前n项和公式，得答：这位长跑运动员7天共跑了63000m.例2等差数列-10，-6，-2，

2，…前多少项的和是54？

本题实质是反用公式，解一个关于n的一元二次函数，注意得到的项数n必须是正整数.解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列的前n项和，则有a1=－10,d=－6－(－10)=4根据等差数列前n项和公式：解得n1=9,n２=－3(舍去)因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.设该数列前n项和为54

例3

求集合M={m|m=7n,n是正整数,且m<100}的元素个数,并求这些元素的和.解:由7n<100得n<100／7,由于满足它的正整数n共有14个,∴集合M中的元素共有14个.即7,14,21,…,91,98.这是一个等差数列,各项的和是答:

集合M中的元素共有14个,它们的和为735.=735例4.求和：例5.等差数列{an}中，

a1=-17,d=2,求S3.随堂练习:１、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的sn(1)a１=5,an=95,n=10(2)a1=100,d=－2,n=50(3)a1=14.5,d=0.7,an=322、(1)求正整数列中前n个数的和；(2)求正整数列中前n个偶数的和。3、等差数列5,4,3,2,1,…前多少项的和是－30？［前15项］

1.推导等差数列前n项和公式的方法小结：2.公式的应用中的数学思想.

-------倒序相加法-------方程思想3.公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知其中三个量，可以求其余两个-------知三求二作业:书P118:习题3.3T1(2)(4)T2T7浙江省乐清中学高一数学备课组再见已知等差数列16，14，12，10，…

(1)前多少项的和为0？

(2)前多少项的和最大？课外探索例6.在等差数列{an}中，(1)已知d=3,an=20,Sn=65,求a1和n以及此数列的后6项和；(2)已知an=11-3n,求Sn.(3)已知a11=-1，求S21.备用:小结EX例6.已知一个等差数列的前10项的和是310，前2