高中数学 二项式定理性质 新人教A选修23

二项式定理(2).复习提问

1.二项式定理的内容(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+…+Cnan-kbk+…+Cnbn01kn右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；2.二项式系数:3.二项展开式的通项Tk+1=针对(a+b)n的标准形式而言(b+a)n，(a-b)n的通项则分别为:4.在定理中，令a=1，b=x，则.观察猜想展开式的二项式系数有什么变化规律？二项式系数最大的是哪一项？(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+…+Cnan-rbr+…+Cnbn01rn为了研究它的一般规律，我们先来观察n为特殊值时，二项展开式中二项式系数有什么特点？.当时，求展开式的二项式系数，及二项式系数的和。.把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，当n依次取1，2，3，…时，可列成下表：(a+b)1→11(a+b)2→121(a+b)3→1331(a+b)4→14641(a+b)5→15101051(a+b)6→1615201561……上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)1在我国,很早就有人研究过二项式系数表,南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算法》中就有出现..当时，求展开式的二项式系数，及二项式系数的和。

通过观察，二项式系数有什么特点？二项式系数求和：.

(a+b)1……………11(a+b)2……………121(a+b)3…………1331(a+b)4………14641(a+b)5……15101051(a+b)6…1615201561性质联系函数观察二项式系数表，寻求其规律：

不难发现,表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系数先增后减。.(a+b)n展开式的二项式系数依次是:

(1)对称性:

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(3)增减性与最大值.增减性的实质是比较的大小.(2)递推性:

除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和..(3)增减性与最大值.增减性的实质是比较的大小.所以相对于的增减情况由决定．

可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。.

还可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，研究二项式系数的性质．

(a+b)n展开式的二项式系数是

可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是{0,1,2,…,n},对于确定的n,可以画出它的图像。例如：当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点...----------1084621620f(r).....369r.例题分析:

例1．证明：（1）(a+b)n的展开式中,各二项式系数的和

启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。令a=b=1，则.1答案2答案继续思考1:（2）试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：证明：在展开式中令a=1，b=－1得

小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的值1，-1等来整体得到所求。.赋值法.例2.小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值，然后解方程组整体求解思考：.

1.当n10时常用杨辉三角处理二项式系数问题;2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值;3.常用赋值法解决二项式系数问题.课外思考:1.求证：2.(1﹣x

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的展开式中系数最小的项是()(A)第六项(B)第七项（C）第八项(D)第九项C.类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的..思考32答案思考2求证:略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：再由得.思考:求证：证明：∵倒序相加法.思考3.在(3x-2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项;解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则即3(r+1)>2(20-r)得

2(21-r)>3r