内容课件参考

空间直线与平面的夹检：<3分钟A1B1C1D1－ABCD的棱长为1O是底A1B1C1D1的中心，则直线OA与平A1B1CD的夹角

【答案】3引：<10在立体几何中，在立体几何中，直线与平面的夹角是如何定义1下示意图。90；当直线在平面内或直线与平面平行时，定义之间与平面的夹角为0。显然，直线与 在空间坐标系在空间坐标系中，直线的方向是如果进行代数化研究的在空间坐标系在空间坐标系中，平面的方向是如果进行代数化研究的思考 思考在空间坐标系中，如何计算两个向量的夹角【答案】cosab

a思考 例：在A1B1C1D1－ABCD画出直线ABAC1所夹的平面角画出向量ABAC1所夹的平，并判断是什么关画出向量BAAC1所夹的平面角，并判断与是什直线所夹的角的取值范围是0,90；而对应的两个向量所夹的角的范围更大，取值范0,180。当两个向量的夹角大于90时，该角与它们所在直线的夹角是互补的关系思考在在计算中，我们可以通过怎样的处理，通过向量准确求出它们所在直线【答案】：在利用公式

aab 计算中，对公式采用绝对值化处理，可以保证aa的角即为对应直线的夹角。令这个夹角为，可得cos讲：<15分钟例题正三棱A1B1C1－ABC的底面边长为a，侧棱长为2aAC1ABB1A1所]:]:思考 例：正A1B1C1D1－ABCD的棱长为1O是底A1B1C1D1的中根据立体几何中直线与平面夹角的定义，画出直线A与平面A1B1D的夹角所对应画出直线OA所对应的向量与A1B1CD的法向量，并利用平移的方法画出两个向比较两个平面角的边的关系，并得出两个平面角之间的关系两个互余的角两个互余的角的三角函数值之间有什么样的关【答案】：如果90，则cossin思考总结一下，利用直线所对应的向量a总结一下，利用直线所对应的向量a和平面的法向量n求直线与平面所成的角用绝对值和sin的原因。【答案】sin

a例题如图所示，在三棱锥PABCABBC6，平面PAC平面ABCPDDAD1CD3PD3APPBC B:【答案】4aan求出角总结直线与平面所成的角的计算包括哪些步骤和公式 探究如何求出斜线在平 影所对应的向量【答案】：斜线a在平面内的投影b满足两个条件：（1）a、b及平面n共面（

a0，an 快速练习：<7分钟1、ABCDABBC2ADASABCDAD//BCABBCASAB。求直线SC与底面ABCD的夹角的余弦【答案】：32、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中EF、G分别是棱BB1、CC1、DD1的中点，求直线BG与平面AEFD所成的角的正弦值。【答案】43、如图，在体积为1的直三ABCA1B1C1，ACB90，ACBC1，求直线BB1C1C所成角的正弦【答案】：64、如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰AC⊥BD，垂H，PH是四棱锥的高，EAD的中点证明若∠APB＝∠ADB＝60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值【答案】：（1）略（2） 4 检：<3分钟在棱长为1的正方体AC1中，求平面C1BD与底面ABCD所成二面角C1BDC的平面角 【答案】：3引：<10分钟在立体几何中在立体几何中，二面角是如何定义的（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面)。以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两二面角的取值范围0,180在空间直角坐在空间直角坐标系中，应该如何对二面角运算进行代数化呢【答案】：通过半平面的法向量代数化它们的方向，再利用向量方法计算夹角讲：<15分钟例题在正四ABCDA1B1C1D1中,AA12AB2EAD中点,F为CC1中点求证ADD1F；（Ⅱ）求证CE平面AD1F平面AD1F与底面ABCD所成答案：（1） （2）6]:]:思考例：在A1B1C1D1－ABCD画出二BADB1的平面角AA1BA1ADCBADC1B1AA1BA1所夹的平面角，并判断是什么关系A1ABA1ADCBADC1B1A1ABA1所夹的平面角，并判断与是什么关系总结一下，利用两个半平面的法向量mn求二面角的公式【答案】：两个总结一下，利用两个半平面的法向量mn求二面角的公式思考【答案coscosn1n2n1。例题2：如图，直三ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1

证明：BC1∥平面求二面角D－A1C－E的正弦答案：（1）略（2）3nn1n26判断二面角是锐角还是钝角，求出角总结二面角的计算包括哪些步骤和公式 探究如何判断所求的二面角是锐角还是钝角【答案】通过图形直观判断几何法：在其中一个半平面内（非两个半平面交线上）垂足如果落在另一个半平面内部，二面角小于90；落在半平面外部，二面角大于90；在交线上，二面角等于向量法：对于半平面和它们的法向量mn，在两个半平面内除交线上各取点AB(mn)(mAB)(nAB)0二面角小于90；mnmABnAB0，二面角大于90mnmABnAB0，二面角等于90。快速练习：<7分钟1、已知棱1的正ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1与平ABCD所成的二面角的【答案】：32、如图，直平行六面体ADDA-BCCB中BC=1,CC=2,AB(Ⅰ)求证C1B平面ABC

2,BCC1 36【答案】：3、如图，PCBM是直角梯形，PCB90，PMBC，PM1，BC2ACACB120PCABC，直线AM与直线PC所成的角60，求二面角MACB的平面角的余弦值【答案】：74、如图，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙OAB＝2，C是AB的中点，DAC的中证明：平面POD⊥平面求二面角B－PA－C的余弦值【答案】：5 1下示意图。检：<3分钟正方体A1B1C1D1－ABCD的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O与平面AB1C的 【答案】：3引：<10分钟在立体几何中在立体几何中，点到平面的距离是如何定义的平面内，则点到平面的距离为0。在实际测量时，过平面外一点做平面的垂线，点到垂足的在空间坐标系中，在空间坐标系中，应该如何对点到垂足的距离运算进行代数化呢【答案】：在向量代数中，距离使用向量的模来进行计算，可以通过计算向量OO1模得到O点到平面的距离。在实际计算中，求向量OO1需要首先确定点O1的位置，很不讲：<15分钟1：在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝2，E10，求的中点，若异面直线ADBE所成角的10，求

B到平面ACD的距离4【答案】3]:]:总结一下，点到总结一下，点到直线距离的公OPn【答OPn

，其中点P是平面内任意一2：在直三ABCA1B1C1中，BAC＝90，ABBB11与平面ABC所成的角为30试求点C1到平面AB1C的距离【答案】： 2 总结点O到平面距离d的计算包括哪些步骤和公

在平面求出平面的法向量n面P，写出向量OP1探究【答案1中求得的距离是向量OP在平面上的投影长度称为标量投影；向量

OPdn通常被称为向量OP在平面上的矢量投影，它的方向和平面的法向量方向一致，长OP

nOPnn。垂等于向量OP在平面上的标量投影，可以如下计算：OO 12 2O1的坐标等于点O的坐标加向量OO1，即快速练习：<7分钟1、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点M到平面BDD1B1的 C.【答案】

3D.22、如图所示，在直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，BD⊥DC，BD＝DC＝1，点E在上，且AE＝1AA1＝1.DC1⊥BE.则点B到平面EDC1的距离 【答案】33、如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离．【答案】74、如图所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4，且的菱BC－D的大小O1BC的距离【答案】（1）60（2）探究 题的方向，和计算上更加简单直接有力。思想就是通过直角坐标代数化，用更直基础难度1、若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150，则直线l与平面α所成的角等 D．以上均2、二面角是 两个平面相交所组成的图一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图从一条直线出发的两个半平面所组成的图【答 【答案】：700

2a，到棱的距离为2a，则此4、把等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，若∠BAC=600，则此二 【答案5、已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距 D.【答案】6、已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2ADAA11，则直BD1与平面 C D． 【答17、在三P－ABC中2

PAO、DAC、PC的中点底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值 A． B．8

【答8、在直三ABCABC中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA211 D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G．则A1B与平面ABD所成角的余弦值（ 2

C． D．7 7【答

，DCB延长线上一点11 且BDBC，则二面角B1ADB的大小

C 【答10、如图,已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．点C1到平面AB1D的距离（ 4

8

4

2 D B【答11、已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为（

2

D． 【答12、 的二面角的一个面内有一点，它到另一个面的距离为10cm，求它到棱的距离【答中等难度13、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中ACBCACBCCC1，MAB的中点求证BC1MA1C求直线BC1AA1B1B所成角的大小 【答案】：3014、正ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2aACABB1A1所成的角【答案分别是CC1A1B的中E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，求点A1到平面AED的距离．【答案】2316、如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90证明求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值【答案】：（1）略（2）717、如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ABC 4OA底面ABCD,OA2,M为OA的中点,N为BC的中点MN‖平面OCD求异面ABMD所成角的大小求点B到平面OCD的距离【答案】（1）略3

318、如图，四PABCD中，底面ABCD为正方PAPDPA平面PDCE为棱PD的中点求证PB//平面EAC求证PAD平面ABCD求二面角EACB的余弦值【答案】（1）略（2） （3） 19、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中BAC90ABACAA12,EBC中点求证A1B//AEC1若棱AA1上存在一点M，满足B1MC1E，求AM的长AEC1ABB1A1所成锐二面角的余弦值CB【答案】（1） （2）1（3）3进阶难度20、如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90，PA⊥1ABCD，且PA＝AD＝DC＝2AB＝1，MPB的中点PADACPB所成角的余弦值求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值【答案】（1）