平稳时序模型性质

平稳时序模型性质第一页，共一百四十二页，2022年，8月28日自回归过程的性质第二页，共一百四十二页，2022年，8月28日AR模型平稳性判别

判别原因AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的

第三页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.1:考察如下四个模型的平稳性第四页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.1平稳序列时序图第五页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.1非平稳序列时序图第六页，共一百四十二页，2022年，8月28日一阶自回归过程AR(1)的性质一阶自回归模型的形式为：或第七页，共一百四十二页，2022年，8月28日1、平稳性和可逆性A.可逆性：一个有限阶的自回归模型总是可逆的，所以，AR(1)模型总是可逆的。B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外，于是有：第八页，共一百四十二页，2022年，8月28日AR模型平稳性判别方法特征根判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质，等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在单位圆外平稳域判别

平稳域第九页，共一百四十二页，2022年，8月28日AR(1)模型平稳条件特征根平稳域第十页，共一百四十二页，2022年，8月28日二阶自回归AR(2)过程的性质二阶自回归模型的形式为：或第十一页，共一百四十二页，2022年，8月28日B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型总是可逆的。第十二页，共一百四十二页，2022年，8月28日第十三页，共一百四十二页，2022年，8月28日注：我们下面对AR(2)性质的讨论中都假定平稳性条件满足第十四页，共一百四十二页，2022年，8月28日-202-101实根复根AR(2)过程的平稳性区域如下图三角域所示第十五页，共一百四十二页，2022年，8月28日AR(2)模型平稳条件特征根平稳域第十六页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.1平稳性判别模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳第十七页，共一百四十二页，2022年，8月28日p阶自回归过程AR(p)p阶自回归模型的形式为：或第十八页，共一百四十二页，2022年，8月28日B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.平稳性和可逆性A.可逆性：AR(p)模型总是可逆的。即如果β1，β2，…，βp是的根，那么它们的绝对值|βi|>1第十九页，共一百四十二页，2022年，8月28日其实也就是要求特征方程的特征根都在单位圆内。即如果λ1，λ2…λp是上述特征方程的p个特征根，那么为满足平稳性条件，必须有|λi|<1注：下面对AR(p)性质的讨论，都假定平稳性条件满足。第二十页，共一百四十二页，2022年，8月28日对于高阶的自回归过程，其平稳性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：这是自回归过程平稳的必要条件之一。第二十一页，共一百四十二页，2022年，8月28日平稳AR模型的统计性质均值方差协方差自相关系数偏自相关系数第二十二页，共一百四十二页，2022年，8月28日均值如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有根据平稳序列均值为常数，且为白噪声序列，有推导出第二十三页，共一百四十二页，2022年，8月28日Green函数定义AR模型的传递形式其中系数称为Green函数第二十四页，共一百四十二页，2022年，8月28日Green函数递推公式原理方法待定系数法递推公式第二十五页，共一百四十二页，2022年，8月28日方差平稳AR模型的传递形式两边求方差得第二十六页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.2:求平稳AR(1)模型的方差平稳AR(1)模型的传递形式为Green函数为平稳AR(1)模型的方差第二十七页，共一百四十二页，2022年，8月28日协方差函数在平稳AR(p)模型两边同乘，再求期望根据得协方差函数的递推公式第二十八页，共一百四十二页，2022年，8月28日AR(1)过程第二十九页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.3:求平稳AR(1)模型的协方差递推公式平稳AR(1)模型的方差为协方差函数的递推公式为第三十页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.4:求平稳AR(2)模型的协方差平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为第三十一页，共一百四十二页，2022年，8月28日自相关系数自相关系数的定义平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式第三十二页，共一百四十二页，2022年，8月28日常用AR模型自相关系数递推公式AR(1)模型AR(2)模型第三十三页，共一百四十二页，2022年，8月28日AR模型自相关系数的性质拖尾性呈复指数衰减第三十四页，共一百四十二页，2022年，8月28日AR(1)过程的自相关函数第三十五页，共一百四十二页，2022年，8月28日第三十六页，共一百四十二页，2022年，8月28日第三十七页，共一百四十二页，2022年，8月28日第三十八页，共一百四十二页，2022年，8月28日通过上述推导可看出，当过程平稳即时，AR(1)过程的自相关函数（ACF）呈指数衰减。如果，那么所有的自相关系数都为正，并逐渐衰减。如果，自相关系数的符号以负号开始，并呈正、负交替逐渐衰减。第三十九页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.5—自相关系数按复指数单调收敛到零第四十页，共一百四十二页，2022年，8月28日-6-4-202482848688909294969800模拟生成的AR(1)过程趋势图第四十一页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.5:—第四十二页，共一百四十二页，2022年，8月28日-6-4-2024682848688909294969800Y模拟生成的AR(1)过程趋势图第四十三页，共一百四十二页，2022年，8月28日AR(2)过程的自相关函数第四十四页，共一百四十二页，2022年，8月28日第四十五页，共一百四十二页，2022年，8月28日第四十六页，共一百四十二页，2022年，8月28日第四十七页，共一百四十二页，2022年，8月28日通过上述推导可以如下结论，在AR(2)过程的平稳性条件满足时，如果特征方程的根为实根，即时，AR(2)的自相关函数呈指数衰减。如果特征方程的根为复根，即时，AR(2)的自相关函数呈阻尼正弦波衰减。第四十八页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.5:—自相关系数呈现出“伪周期”性第四十九页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.5:—自相关系数不规则衰减第五十页，共一百四十二页，2022年，8月28日AR(p)的自相关函数ACF第五十一页，共一百四十二页，2022年，8月28日第五十二页，共一百四十二页，2022年，8月28日通过上述推导有如下结论：对于平稳过程，有|λi|<1，AR(p)过程的ACF是由差分方程的根确定的，呈混合指数衰减或出现复根时的阻尼正弦波衰减。第五十三页，共一百四十二页，2022年，8月28日偏自相关系数定义对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，对影响的相关度量。用数学语言描述就是第五十四页，共一百四十二页，2022年，8月28日偏自相关函数的一般公式第五十五页，共一百四十二页，2022年，8月28日偏自相关系数的计算滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。第五十六页，共一百四十二页，2022年，8月28日第五十七页，共一百四十二页，2022年，8月28日第五十八页，共一百四十二页，2022年，8月28日第五十九页，共一百四十二页，2022年，8月28日第六十页，共一百四十二页，2022年，8月28日AR(1)过程的偏自相关函数第六十一页，共一百四十二页，2022年，8月28日上述结论说明：AR(1)过程的偏自相关函数(PACF)在滞后一阶有一峰值，其符号取决于。滞后一阶以后PACF截尾。第六十二页，共一百四十二页，2022年，8月28日偏自相关系数的截尾性AR(p)模型偏自相关系数P阶截尾第六十三页，共一百四十二页，2022年，8月28日AR(2)过程的偏自相关函数第六十四页，共一百四十二页，2022年，8月28日第六十五页，共一百四十二页，2022年，8月28日通过上述证明可以得出如下结论：第六十六页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图第六十七页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.5—理论偏自相关系数样本偏自相关图第六十八页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.5:—理论偏自相关系数样本偏自相关图第六十九页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.5:—理论偏自相关系数样本偏自相关图第七十页，共一百四十二页，2022年，8月28日-4-202482848688909294969800模拟生成的AR(2)过程趋势图第七十一页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.5:—理论偏自相关系数样本偏自相关系数图第七十二页，共一百四十二页，2022年，8月28日-6-4-2024682848688909294969800模拟生成的AR(2)过程趋势图第七十三页，共一百四十二页，2022年，8月28日AR(p)过程的偏自相关函数PACF第七十四页，共一百四十二页，2022年，8月28日可以很容易地看出，当k>p时，上式分母行列式最后列是同一矩阵前面各列的线性组合。于是当k>p时,有φkk=0。所以，AR(p)过程的偏自相关函数(PACF)滞后p阶截尾。第七十五页，共一百四十二页，2022年，8月28日移动平均过程的性质第七十六页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA模型的定义具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型第七十七页，共一百四十二页，2022年，8月28日移动平均系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为

阶移动平均系数多项式第七十八页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA模型的可逆性MA模型自相关系数的不唯一性例3.6中不同的MA模型具有完全相同的自相关系数和偏自相关系数第七十九页，共一百四十二页，2022年，8月28日可逆的定义可逆MA模型定义若一个MA模型能够表示称为收敛的AR模型形式，那么该MA模型称为可逆MA模型可逆概念的重要性一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。第八十页，共一百四十二页，2022年，8月28日可逆MA(1)模型

第八十一页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA模型的可逆条件MA(q)模型的可逆条件是：MA(q)模型的特征根都在单位圆内等价条件是移动平滑系数多项式的根都在单位圆外第八十二页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA(1)过程的平稳性和可逆性A.平稳性：AR(1)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性，θ(B)=1－θ1B=0

的根必须在单位圆外。第八十三页，共一百四十二页，2022年，8月28日注：以后对MA(1)过程性质的讨论中，都假定可逆性条件满足，即有：|θ1|<1。第八十四页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA(2)过程的平稳性和可逆性A.平稳性：AR(2)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性,的根必须在单位圆外。第八十五页，共一百四十二页，2022年，8月28日第八十六页，共一百四十二页，2022年，8月28日平稳性和可逆性A.平稳性：有限阶移动平均过程MA(q)总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性，的根必须在单位圆外。第八十七页，共一百四十二页，2022年，8月28日对于高阶的移动平均过程，其可逆性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：这是移动平均过程可逆的必要条件之一。第八十八页，共一百四十二页，2022年，8月28日逆函数的递推公式原理方法待定系数法递推公式第八十九页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.6续:考察如下MA模型的可逆性第九十页，共一百四十二页，2022年，8月28日(1)—(2)

逆函数逆转形式第九十一页，共一百四十二页，2022年，8月28日(3)—(4)

逆函数逆转形式第九十二页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA模型的统计性质常数均值常数方差第九十三页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA模型的统计性质自协方差函数P阶截尾自相关系数P阶截尾第九十四页，共一百四十二页，2022年，8月28日常用MA模型的自相关系数MA(1)模型MA(2)模型第九十五页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA(1)过程的自相关函数ACF第九十六页，共一百四十二页，2022年，8月28日第九十七页，共一百四十二页，2022年，8月28日第九十八页，共一百四十二页，2022年，8月28日模拟产生的250个数据的如下MA(1)过程的趋势图和自相关图：第九十九页，共一百四十二页，2022年，8月28日第一百页，共一百四十二页，2022年，8月28日模拟产生的250个数据的如下MA(1)过程的趋势图和自相关图：第一百零一页，共一百四十二页，2022年，8月28日第一百零二页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA(2)过程的自相关函数ACF第一百零三页，共一百四十二页，2022年，8月28日第一百零四页，共一百四十二页，2022年，8月28日第一百零五页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA(q)过程的自相关函数(ACF)第一百零六页，共一百四十二页，2022年，8月28日因而：MA(q)过程的自相关函数是滞后q阶截尾的。第一百零七页，共一百四十二页，2022年，8月28日例3.6:考察如下MA模型的相关性质第一百零八页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA模型的自相关系数截尾

第一百零九页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA模型的自相关系数截尾

第一百一十页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA模型的统计性质偏自相关系数拖尾第一百一十一页，共一百四十二页，2022年，8月28日样本偏自相关函数（SPACF）样本偏自相关函数有如下递推公式：第一百一十二页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA(1)过程的偏自相关函数PACF我们介绍了求偏自相关的递推公式如下：第一百一十三页，共一百四十二页，2022年，8月28日第一百一十四页，共一百四十二页，2022年，8月28日由上推导可得出如下结论：在可逆性条件满足情况下,MA(1)过程的PACF呈指数拖尾。如果θ1>0,那么PACF都为负，且呈指数衰减；如果θ1<0,那么PACF正负交替呈指数衰减。第一百一十五页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA(2)过程的偏自相关函数(PACF)第一百一十六页，共一百四十二页，2022年，8月28日对于MA(2)过程，我们有如下结论：如果其特征方程:1－θ1B－θ2B2=0的根是实数，则φkk是两个衰减指数的和；如果其根是复数，则φkk

是一衰减的正弦波。第一百一十七页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA(q)过程的偏自相关函数（PACF）要用明确的公式表示出MA(q)过程的自相关函数是很困难的，但是从前面我们对MA(1)、MA(2)的讨论中，可以看出：MA(q)过程的偏自相关函数是由的根确定的，呈混合指数衰或阻尼正弦波衰减。第一百一十八页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA模型的偏自相关系数拖尾

第一百一十九页，共一百四十二页，2022年，8月28日MA模型的偏自相关系数拖尾

第一百二十页，共一百四十二页，2022年，8月28日自回归移动平均过程的性质第一百二十一页，共一百四十二页，2022年，8月28日ARMA模型的定义具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为特别当时，称为中心化模型第一百二十二页，共一百四十二页，2022年，8月28日系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为

阶自回归系数多项式阶移动平均系数多项式第一百二十三页，共一百四十二页，2022年，8月28日ARMA(1,1)的性质第一百二十四页，共一百四十二页，2022年，8月28日ARMA(1,1)过程的平稳性和可逆性第一百二十五页，共一百四十二页，2022年，8月28日2.ARMA(1,1)过程的ACF第一百二十六页，共一百四十二页，2022年，8月28日第一百二十七页，共一百四十二页，2022年，8月28日第一百二十八页，共一百四十二页，2022年，8月28日通过上式可以看出，ARMA(1,1)过程的自相关函数具有AR(1)过程和MA(1)过程的组合特性。当k=1时，自相关系数由φ1和θ1共同决定。当k≥2时，自相关系数仅取决于φ1即差分方程φ(B)=0的根，呈指数衰减。第一百二十九页，共一百四十二页，2022年，8月28日ARMA(1,1)过程的PACFARMA(1,1)过程的PACF和它的ACF一样，也是呈指数衰减，不过指数衰减的形态由φ1和θ1共同决定，因此指数衰减的形态比MA(1)过程PACF指数衰减形式更多。第一百三十页，共一百四十二页，2022年，8月28日平稳条件与可逆条件ARMA(p,q)模型的平稳条件P阶自回归系数多项式的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定ARMA(p,q)模型的可逆条件q阶移动平均系数多项式的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定第一百三十一页，共一百四十二页，2022年，8月28日传递形式与逆转形式传递形式逆转形式第一百三十二页，共一百四十二页，2022年，8月28日ARMA(p,q)