高等量子力学-chapter6

第六章二次量子化理论研究由全同粒子构成的相互作用多粒子体系,二次量子化方法是一种有效的方法1.波函数的二次量子化表象考虑系统由N个相互作用的全同粒子组成相互作用能动能含时Schrodinger方程引入单粒子力学量完全集的共同本征函数满足正交归一化和完备性条件各种不同单粒子函数的乘积构成粒子态的完全集,任意一个粒子态可以展开成全同粒子波函数具有对称性对称波函数(玻色子体系)反对称波函数(费米子体系)表示任意交换二个粒子坐标时,波函数必须是对称的,或是反对称的.由波函数的对称性要求给出:展开系数自身在交换相应量子数时,也必须是对称或反对称的(一)玻色子波函数是对称的,引入对称化函数乘积

为对处于不同量子态的粒子置换可以证明任意的对称波函数可写成的线性组合函数的性质:它对下标的任意一个置换是对称的;可以用一组整数来标记它,

其中表示在中遇到量子态1的次数;

表示…

量子态2的次数;

表示…量子态f的次数;这组数称为状态占据数，函数完全被这组占据数确定

记函数为：占据数可取任意正整数但应满足一个条件:

(为总粒子数)函数组对不同的占据数组是彼此正交的.归一化后,得到一组正交归一化对称函数系对称波函数可以按它们展开这就是二次量子化表象,以占据数为自变量的函数是二次量子化表象中的波函数.存在关系式:波函数的归一化:可以把看作是系统处于某一特定单粒子态占据数分布状态的几率(二)费米子波函数是反对称的,引入反对称化的函数乘积其中

为偶置换为奇置换这个函数可以表示成大家熟悉的行列式形式函数中有任意两个函数相同,

则反对称函数乘积恒等于0,因此下标中没有二个是相同的.

通过置换可使下标按从小到大排列

任意一个反对称波函数可以表示为用占据数组来表示

表示量子态在

中出现的次数由于各不相同,所以即在费米统计情况下:并且每一个可能的占据数分布与函数一一对应记对于不同的占据数组函数是正交的归一化后,得到一组正交归一化函数基:它们构成反对称波函数空间的完备基任意反对称波函数可展开为这是费米子系统的二次量子化表象,展开系数就是二次量子化表象中的波函数同样有:

表示某一单粒子态分布出现的几率既然,则,所以有与玻色统计中的关系式完全相似2.二次量子化表象中的Schrodinger方程（一）玻色子系统的二次量子化引入与时间无关的态矢量表示在量子态上有个粒子，在有个粒子，等等要求这组基矢是完备的和正交归一化的，即引入与时间无关的产生算符和消灭算符（玻色子对易关系）这正是谐振子的产生和消灭算符的对易规则，它具有性质：

是粒子数算符的本征态，本征值为（为真空态）推广到无穷多个所有量子态的情况既占据数表象中基矢是某个量子态粒子数本征态的直接乘积下面考虑态矢量的满足的Schrodinger方程，令写在x表象中即其中即为前面讨论过的对称归一化基矢

满足的方程方程对时间的依赖关系都包含在系数中通过求出所满足的方程，最终可以得到Schrodinger方程的二次量子化形式

是占据数表象中的算符，它与产生算符和消灭算符有关，即是哈密顿量的二次量子化形式其中矩阵元是普通的c数其它任意力学量都可以在占据数表象中表示成算符形式例如，坐标表象中，单体算符二体算符表示为二次量子化形式：引入所谓“量子化的波函数”

其实是Schrodinger场算符，则有用来表示力学量哈密顿算符哈氏量的上述形式指出了二次量子化这个名称的来由．用几率波描述粒子运动时，我们考虑了粒子的波粒二象性，进行过一次量子化，现在将当作场，又把它看成算符，相当于又进行了一次量子化．所以称为二次量子化．（二）费米子系统的二次量子化波函数反对称类似于玻色子，引入抽象的占据数空间则这里，反映费米子统计性质

采用Jordan和Wigner方法，引入满足反对易规则的产生和消灭算符（费米子对易关系）这里性质：，因此，制止两个粒子占据同一状态，因此粒子数算符具有本征值０或１直接可证使得集合可以同时对角化，使占据数态矢量的定义成为可能反对易规则给出升降算符的性质定义消灭算符作用于这个态的效果其中而与玻色子系统类似,可以将Schrodinger方程用二次量子化表示为：＊注意哈密顿函数的最后两个消灭算符的次序同样可以引入费米子系统的场算符则哈氏量可表示为注意势能中最后二个场算符的次序，它保证了是厄密的．３．二次量子化应用举例（一）简并电子气体将讨论一个简单的模型，它提供金属或等离子体的一个粗略近似．考虑的系统是处于均匀正电背景中的相互作用电子气体．正电背景保证整个系统是电中性的．系统总的哈密顿量其中是正电背景的粒子密度，为收敛因子最终取．对于均匀正电背景，容易求出

由于库仑长程相互作用，在时发散利用平移不变性,也可以计算出因此，总哈密顿量为下面讨论如何按二次量子化改写哈氏量选单粒子波函数为平面波自旋波函数箱归一化，周期性边界条件动能项矩阵元动能算符可解释为每个量子态的动能乘以相应的粒子数算符对于势能项，需要计算矩阵元最后一个Kronecker

表示均匀系统中的动量守恒

可改写为动量求和限制了对的求和，只有三个独立变量而不是四个．作变量代换保证

且是两粒子相互作用中的动量转移方程最后一项为将它分成和的两项式中第一个求和号旁的一撇代表除去的项，第二个求和项等于处理粒子数固定的系统，算符可以用它的本征值代替．该项贡献为第一项与中第一项抵消，而第二项在热力学极限下可以忽略．最终得到二次量子化哈密顿量这里已取极限，且假设

引入无量纲变量先用每个粒子的体积来定义一个长度

实质是粒子间距．另有Bohr半径这两个量之比是无量纲的表征系统密度可以证明在高密度极限下（），势能成为一个微扰，因此相互作用能可以用微扰论来计算将哈密顿量分成两部分：

是无微扰哈密顿量，表示没有相互作用的费米系统，是微扰项．相应基态能量

是自由Fermi气体的基态能量是一级微扰能量由Pauli不相容原理，在每个动量本征态上只容许占据一个自旋向上，一个自旋向下电子

的基态是一个动量空间的一个Fermi球Fermi动量

,

由系统总粒子数确定

的期待值在自由Fermi气体中，每个粒子的平均基态能量是Fermi能的倍计算能量一级修正矩阵元不为0,要求消灭算符与产生算符配成对,这只有二种可能性:or第一种配对是不允许的，因为在求和中排除了

项，于是矩阵元为给出作变量代换化为对称形式对积分有贡献，要求和都小于，即和都在Fermi球内．积分区域如图所示阴影部分体积在高密度极限下，每个粒子基态能量近似为方程中第一项是Fermi电子气体的动能,在高密度极限下()成为主要项.第二项通常称为交换能,并且是负的,它来源于波函数的反对称性.微扰展开可以计算到更高级的项其中,及更高级系数的计算相当困难,需用Green函数和费曼图方法现在仅考虑前两项,作为的函数

能量曲线有负的极小值,因此系统处于束缚态实验室条件下,金属Na:当考虑低密度极限()时,Wigner证明:电子将构成点阵结构,称为”Wigner晶体”.这是由于与电子定域化相联系的零点动能远小于构成点阵的电子静电能.Wigner证明这种固体中每个粒子的能量为(Wigner晶体)(二)超导BCS理论超导现象是Kamerlingh

Onnes

在1911年发现的(1)超导现象Lead(Pb)

Lanthanum(La)

Tantalum(Ta)

Mercury(Hg)

Tin(Sn)

Indium(In)

7.196K

4.88K

4.47K

4.15K

3.72K

3.41K

3.3K

TcMeissnereffect（２）模型哈密顿量Bardeen-Cooper-Schrieff

提出超导体中电子系统哈密顿量为其中矩阵元若其它情况即假设动能在费米面两侧范围内,并且具有相反动量和自旋的一队电子之间存在弱吸引力把矩阵元记为,则上式称为BCS约化哈密顿量（３）BCS基态及变分法由于吸引相互作用，费米海是不稳定的，形成Cooper束缚对，基态由动量和自旋相反的电子构成对式中表示一对状态被占据的几率为,没有占据的几率为系数和可用变分法确定考虑巨正则系综,基态自由能自由能极小记,即取动能的零点为类似,相互作用项可直接计算证明此式.注意到相互作用项是从的状态散射到的状态过程,这就要求初态状态被占据,态空缺,末态恰好相反.这样的初态的几率振幅为

,末态则为,相乘得到上面的结果.因此取和为实数,满足约束条件