专题12数余的扩充

阅读与思考人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数。在引人无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张 .理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意：1.把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数

q

的形式（这里

p，q是互质的p整数，且

p≠0）；2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与 π相关的数，开方开不尽得到的数等；有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数；4．明确无理数的真实性 .克菜因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.”想一想：下列说法是否正确？①带根号的数是无理数；②两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数；③一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数；④一个无理数的平方一定是有理数 .例题与求解【例1】已知2(b4)2abc0．则(ac)b________.的平方根是2（湖南省长沙市“学用杯”竞赛试题）解题思路：运用式子的非负性，求出a，b，c的值．【例2】若a，b是实数，且a2b12b4．则ab的值是().2A．3或－3B．3或－1C．－3或－1D．3或1（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：由算术根的双非负性，可得b1≥0，22b≥0，求出b＝1．代入原式中可得a＝±2．由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性：①a中a≥0；②a≥0.运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法.【例3】已知实数m，n，p满足等式m199n199mn3m5n2p2m3np，求p的值．（北京市竞赛试题）解题思路：观察发现（m199n），（199mn）互为相反数，由算术平方根定义、性质探寻解题的切入点．【例4】已知a，b是有理数，且(13)a(13)b211930，求a，b的值．32412420解题思路：把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a，b的方程组.实数有以下常用性质：①若a，b都是有理数，c为无理数，且abc0，则a＝b＝0;②若a，b，c，d都是有理数，c，d为无理数，且“acbd，则a＝b，cd．要证一个数是有理数，常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数为有理数，设法推出矛盾 .想一想怎样证明 2是无理数？【例5】一个问题的探究问题：设实数x，y，z满足xyz≠0．且xyz0.111111求证：y2z2xyzx2在上述问题的基础上，通过特殊化、一般化，我们可编拟出下面两个问题：(1)设a，b，c为两两不相等的有理数，求证：111为有理数．(ab)2(bc)2(ca)2（2）设S111111111222222，求S的整数部分.122320082009解题思路：从公式()22222()入手．abcabcabbcac【例6】设S111111111111222，S21222，S33242，,，Snn2(n1)2，13求S1S2Sn的值（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．（四川省成都市中考试题）解题思路：解答此题的关键是将 Sn变形为一个代数式的平台。能力训练A级1．在实数－4，3，0，21，64，327，1中，共有_______个无理数．227（贵州省贵阳市中考试题）2a33，b是a2的小数部分，则(b2)3的值为____.．设(2013年全国初中数学竞赛试题)3．已知a4b90，则a2aba2ab的值为_______．b2a2b2（山东省济南市中考试题）4．观察下列各式：1123412311，1234522321，1345632331，(AB)（:AB)(2xy):(xy)猜测：12005200620072008________.（辽宁省大连市中考试题）5．已知有理数A，B，x，y满足AB0，(AB)（:AB)(2xy):(xy)，那么A（:AB)＝________.A.3x（:2xy)B.3x（:4x2y)C.x（:xy)D.2x（:2xy)（2013年“实中杯”数学竞赛试题）6xy为实数，且x2y20(x2009的值为()．yA.1B．－1C．2D．－2（天津市中考试题）7．一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是()．A.aB．a21C．a21D．a1（山东省潍坊市中考试题）8x11x(xy)2，则xy的值为()．．若A．－1B．1C．2D．3（湖北省荆门市中考试题）9．已知xabm是m的立方根，而y3b6是x的相反数，且m3a7，求x与y的平方和的立方根．10.计算：1111222．（广西竞赛试题）2n个1n个211.a，b满足3a5b7，求S2a3b的取值范围．若（全国初中数学联赛试题）级1x与y互为相反数，且xy3．那么x22xy1的值为____．．（全国初中数学竞赛试题）2．若2x14x128，则x的值为_______．（海南省竞赛试题）3．已知实数a满足2004aa2005a，则a20042＝_______.45的整数部分为a，小数部分为b，则(5a)b的值为____．．（广东省竞赛试题）5a，b满足2a4b2(a3)b242a，则ab等于()．．已知非零实数A．－1B．0C．1D．2（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）6．已知a21，b32，c62．则a，b，c的大小关系是()．A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a7．已知：1a1，那么代数式1a的值为()．aaA．55C．5D.5B．22（重庆市竞赛试题）8．下面有 3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数 .其中，正确的结论有 ( )个．A.0 B．1 C．2 D．3（江苏省竞赛试题）9．已知 a2 2005是整数，求所有满足条件的正整数 a的和．（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）设yaxb，a，b，c，d都是有理数，x是无理数.求证：10.cxd(1)当bcad时，y是有理数；(2)当bcad时，y是无理数．11.a，b满足2a4b2(a3)b242a.已知非零实数求ab值．（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）专题12数余的扩充———实数的概念与性质例1土1提示：由条件得a－2＝0,b＋4＝0,a＋b－2c＝0，则a＝2，b＝－4，c＝－1．故（ac）b＝[2×4（一1）]－4＝1，1的平方根为土11616．4；例2B例3m－199＋n≥0m＋n≥199由,得．∴m＋n＝199.199－m－n≥0m＋n≤199∴3m5n2p2m3np0，由非负数性质，得3m5n2p02m3n0解得p=201。例4已知等式整理，得1111a1b1930ab221220344因为a，b是有理数，所以1a1b210且1a1b190，34421220a33解得51b4511121112xyz例51111112x2y2z2xyz2yzxzxyzxyzxy1121=xyz故111111111111222xyz，进一步22（2xyx.xyzxyx）yy1111112（1）可证明（a22(ca)2abbccab）(bc)（2）令x=1，y=n，得11(11111n2n)2nn1S=11-111-111-111-12009-1122334200820092009故S的整数部分为2008.12112112例6∵Sn112121nn1n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)12111∴Sn111n(n1)n(n1)nn1∴原式=11-111-111n1n111n22n223n1nn1A级1.2提示：a23239,238393273，则b=39-2,b+2=392.93故b233939163.81200523200515.B提示：由题知ABxy，AB2xy（AB）(AB)(xy)(2xy),即2A3x，则AB2xyAB2xyA 3x故A B 4x 2yBBC210.原式=11110n1112111=11110n-111n个n个n个n个n个=111（10n-1）=111999=333n个n个n个n个11.3a5b7由题中条件a3bS2①×3+②×5得19a215S①×2-②×3得19b143S又∵a≥0，b≥0，则215S0解得-21S1414-3S053B组-5xy0x3，解得21.提示：由条件4xy3y32故x2+2xy+1=

2335322-1-2242.2提示：由2x14x128得2x122x27，故有(x+1)+2x=7,所以x的值为2.3.2005提示：由条件得：a≥2005，则a20052004，从而有：2-2004=2005a4.15.C提示：由条件得：≥3，则b2(a3)b20，a+b=1。a6.C提示：因为121，132，所以011.故b<a，又abab而223-220，c-a=6-2-2-16-216-21，所以621，故c>a，因此b<a<c.1，∴a>0，12127.D由条件得：a10aa4aaa8.D举例：31，3-1满足①②；5，1满足③339.设a22005b，则b2-a2=2005，而2005=5×401,5,401均为质数，a，b为正整数，∴ba2005ba401解得a=1002或a=198，从而1002+198=1200.ba1或ba5b10.(1)c、d不能同时为 0，否则y无意义，若c=0，由bc=ad，d≠0，得a=0,此时y=d

为有理数；若d=0，axac≠0，且d≠0，由bc=ad，得abc则C≠0，由bc=ad，得b=0，此时y为有理数，若，代入cxcdy得yb为有理数．d(2)假设bc≠ad时，y为有理数，则（cx+d)y=ax+b，即（