第5章 逻辑函数的表示及化简

5.1概述5.2逻辑函数的公式法化简5.3逻辑函数的图形法化简5.4逻辑函数的表示方法和转换5.5本章小结5.1概述★逻辑函数的表示★逻辑函数的化简真值表卡诺图波形图逻辑电路图表达式公式法化简图形法化简5.4节5.2节5.3节5.2逻辑函数的公式法化简采用化简公式，对逻辑函数的一般表达式进行化简，得到最简与或式；再根据电路搭建时所要求采用的门电路种类，对最简式进行变形，得到对应的其他形式的最简式。

5.2.1逻辑函数的化简原则★逻辑电路所用的门最少；★每个门的输入端要少；★逻辑电路所用的级数要少；★逻辑电路能可靠地工作。一般表达式最简与或式其他最简式5.2.2与或逻辑函数的公式法化简一．应用吸收定律1，消相邻项：——重点：寻找逻辑相邻关系【例5.2.2】

二．应用吸收定律2，消多余项：——重点：找到单因子项【例5.2.3】

三．应用吸收定律3，消多余因子：——重点：找到单因子项【例5.2.4】

四．应用多余项定律及其推广：【例5.2.5】

【例5.2.5】化简下面的逻辑表达式。五．其他技巧：1.拆项，也称为“乘1因子”

重新求解【例5.2.5】

2.提取公因子3.加

0因子【例5.2.7】公式法化简的思路总结

如果有直接利用化简公式的结构，就可直接化简；如果没有，则改变表达式结构去化简。

★“直接利用化简公式的结构”：4个化简公式★最希望见到的是单因子项★“改变表达式结构”：①拆项、②提取公因子◆“将化简进行到底！”◆第二，化简结果不唯一公式法化简的综合训练

最简与或式与非-与非式与或式两次取反，用摩根定律展开一层。与或非式先求出反函数的与或式，然后再取反一次，不处理即可。5.2.2五类逻辑函数形式之间的转换与非式与或式与或非式或非式或与式最简与或式或与式与或非式用摩根定律展开两层，得到或与式。或与式两次取反，利用摩根定律展开一层。或非-或非式与非-与非式与或非式五类逻辑函数形式的公式法转换类型转换方法与或式有直接利用公式的结构，就直接化简，没有直接利用公式的结构，就改变表达式结构后再化简。与非式与或式两次取反，用摩根定律展开一层。与或非式先求出反函数的与或式，然后再取反，不处理即可。或与式与或非式用摩根定律展开两层。或非式或与式两次取反，用摩根定律展开一层。5.3逻辑函数的图形法化简5.3.1最小项和标准与或式1.最小项的含义标准与或式最小项最简式对于一个给定了变量数目的逻辑函数，所有变量都参加相“与”的与项称为最小项，在一个最小项中，每个变量只能以原变量或反变量形式出现一次。★1变量逻辑函数F=f(A)有2个最小项：★2变量逻辑函数F=f(A、B)有4个最小项：★3变量逻辑函数F=f(A、B、C)有8个最小项：n变量逻辑函数共有2n个最小项

标准与或式用最小项相加，得到的与或表达式。也称为最小项标准式、“最小项之和”形式。2.标准与或式和真值表的联系

ABCF00000101001110010111011101010011一个最小项就对应着真值表上的一行，对应着一组确定的输入条件组合。逻辑函数的真值表和标准与或式是严格对应的，具有唯一性，都准确地表达了一个逻辑命题的功能。

逻辑函数的一般式具有多样性，代表了逻辑电路形式的多样性。

3.最小项的性质0000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000000000001010011100101110111ABC★在输入的任一种取值下，有且仅有一个最小项的值为1；★一个逻辑函数的任意两个最小项之积必为0；★一个逻辑函数的全体最小项之和必为1。

4.最小项的编号

最小项输入部分取值对应的十进制数最小项编号ABC0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m75.3.2卡诺图原理一．卡诺图的结构原理1.两变量逻辑函数的卡诺图ABAB0101AB0101卡诺图上的一个方格就对应着逻辑函数的一个最小项。例：AB01010110★逻辑函数的真值表、标准与或式和卡诺图相互严格对应，具有唯一性，代表了逻辑函数的功能；总结★一个最小项，就对应着真值表上的一行，对应着卡诺图上的一个方格，表示一个确定的输入条件组合；★同一个逻辑函数，真值表的输出部分有几个1，卡诺图方格内就要填几个1，都表示了有几个输入组合能够使输出成立；★逻辑函数的输入变量个数确定了真值表的结构、卡诺图的结构。2.n变量逻辑函数的卡诺图2.n变量逻辑函数的卡诺图★卡诺图结构的灵活性二．卡诺图的化简原理逻辑函数的逻辑相邻关系——卡诺图上的几何相邻关系由此方便地在卡诺图上应用吸收定理1，合并逻辑相邻项。ABCD0001111000011110例：m5m4m7m1m13m2m3m6m0m10三．卡诺图上的最小项合并规律1.2

个相邻项的合并ABCD0001111000011110111111ABC010001111011112.4

个相邻项的合并

ABC01000111101111ABCD000111100001111011111111ABCD000111100001111011111111ABCD0001111000011110111111113.8

个相邻项的合并ABCD000111100001111011111111ABCD000111100001111011111111★看坐标化简，多项变一项，保留不变的，消去变化的。

★不存在包含非2n个最小项的卡诺圈★2n个相邻最小项组成的卡诺圈合并，可以消去n个变量

四．用卡诺图表达逻辑函数先结构而后内容待表达的逻辑函数一般包括三种情况：

◆与或表达式◆标准与或式（最小项标准式、最小项之和）◆其他任何一般表达式。

★根据表达式，明确输入变量个数，画出卡诺图的结构；★根据表达式包含什么样的最小项，在卡诺图对应的方格上填1，其余的填0或者不填，就得到了完整的卡诺图。

【例5.3.3】画出逻辑函数的卡诺图。解：（1）确定为四输入卡诺图。（2）坐标1表示原变量、0表示反变量，按坐标规定，将与或式中的各个与项逐一填入卡诺图。ABCD000111100001111011与或表达式1111【例5.3.4】解：ABCD000111100001111011111111标准与或式（最小项标准式、最小项之和）（1）最小项标准式中，最小项编号最大是15，说明是四输入逻辑函数，由此得到卡诺图的结构。（2）最小项的排列规律填入最小项。【例5.3.5】解：

（1）（2）根据变形后得到的与或式，按照坐标要求填入卡诺图。ABCD00011110000111101111111其他一般表达式1111.卡诺图的原理和结构★结构原理★化简原理ABCD0001111000011110ABC0100011110m0m1m2m3m4m5m6m7m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD00011110000111105.3.3与或逻辑函数的图形化简法2.最简与或表达式的卡诺图化简法化简步骤①将待化简表达式用卡诺图表示出来；②在卡诺图上合理画出卡诺圈，圈全部的“1”；③化简卡诺圈得到所有的与项；④全部与项相或，得到最简与或表达式。卡诺图圈1，变量相与，结果相或。与或式3.化简范例【例5.3.6】解：与或式的卡诺图表达卡诺圈内的合并规则化简结果不唯一ABC0100011110111111ABC0100011110111111ABC0100011110111111【例5.3.7】解：ABCD000111100001111011111111卡诺圈的圈法原则卡诺圈的圈法步骤最小项之和的卡诺图表达多余圈【例5.3.8】解：卡诺圈的圈法步骤一般表达式的卡诺图表达ABCD00011110000111101111111110000000【例5.3.9】

解：ABCD00011110000111101111111111卡诺圈的圈法步骤卡诺圈的圈法原则卡诺圈的数量尽量少，每个圈尽量大。★先圈唯一的选择；★再圈最大的（最有吸引力的）；★随后用最大、最少的圈，圈上剩余的“1”。

4.总结最简与或式的卡诺图化简法卡诺图圈1，变量相与，结果相或。原函数形式卡诺圈的圈法原则和步骤卡诺圈内的合并规则化简结果不唯一5.3.45类逻辑函数的图形化简法与非式与或式与或非式或非式或与式1．与非-与非式

★用卡诺图表达出待化简函数，圈“1”得到最简与或式；★与或式两次求反，摩根定律展开一层，得到最简与非-与非式。【例5.3.10】ABCD000111100001111011111112．或与式★用卡诺图表达出待化简逻辑函数；★图上圈“0”，并且，坐标0表示原变量，1表示反变量，变量相“或”得到每一个或项；★最后再将所有的或项相“与”，得到最简或与式。【例5.3.11】ABCD00011110000111101111111000000000【例5.3.12】1ABCD00011110000111101111111000000013．或非-或非式★已知最简或与式，两次求反，再摩根定律展开一层，得到最简或非-或非式。【例5.3.13】4．与或非式

★在卡诺图上圈“0”，求出反函数的最简与或式；★然后取反，不处理，就得到最简与或非式。【例5.3.14】11ABCD000111100001111011111100000000五类典型逻辑函数的化简方法总结类型公式法图形法与或式公式法化简的总体思路。卡诺图上圈1，变量相与，结果相或。

与非式与或式两次取反，用摩根定律展开一层。与或式两次取反，用摩根定律展开一层。或与式与或非式用摩根定律展开两层。卡诺图上圈0，“0-原、1-反”，变量相或，结果相与。

或非式或与式两次取反，用摩根定律展开一层。或与式两次取反，用摩根定律展开一层。与或非式先求出反函数的与或式，再取反，不处理即可。卡诺图上圈0，求得反函数的与或式，再加非号还原，不处理即可。★

公式化简法的知识体系与或式与非式或与式或非式与或非式公式法化简的总体思路卡诺图的原理和结构★

卡诺图化简法的知识体系卡诺圈的圈法原则和步骤卡诺图与或式与非式或与式或非式与或非式用卡诺图表达逻辑函数5.3.5具有约束关系的逻辑函数的卡诺图化简一．约束关系的含义约束关系：

由具有约束关系的输入变量所决定的逻辑函数，就称为具有约束的逻辑函数。输入变量的取值不是任意的，而是有条件的，并不是所有的输入组合都可以出现。这往往是因为在实际应用中，某些现实条件限制了输入变量的取值，将这种限制称为输入变量具有约束关系。将具有限制关系的一组输入变量称为一组具有约束的变量。完全描述问题非完全描述问题

n输入的逻辑函数的2n种输入取值组合下的输出取值都是明确的，这样的逻辑函数就是完全描述问题，其功能与每一个最小项均有关。

具有约束的逻辑函数就是非完全描述问题，其功能只与能够出现的最小项有关。

例如：设计一个电梯运行状态指示电路，以估计电梯日常使用频率。二．约束关系（无关项）的表示

1．在真值表中的表达

ABCF000001010011100101110111×

0

1×

1×××ABC0100011110×1012．在卡诺图中的表达

××××3．在逻辑表达式中的表达

三．具有约束关系的逻辑函数的卡诺图化简法电梯运行状态显示电路

在输出表达式上加上某些无关项，也不会影响逻辑功能。化简结果：

并不是所有无关项都适合加入，有的无关项加入表达式后，反而会使表达式变得复杂。卡诺图法更为直观【例5.3.15】试用卡诺图法化简上述的电梯运行状态显示电路，得到最简表达式。ABC0100011110×101××××解：具有约束关系的逻辑函数的化简原则：最简原则！

【例5.3.16】卡诺图法化简具有约束关系的逻辑函数。ABC01000111100101××××解：

四．约束关系的理解和表述例如：

约束关系最小项之和的形式上述约束关系可以总结为：3输入逻辑函数中，不允许出现AB同时为1、AC同时为1和BC同时为1这三种情况。3输入中，不能有两个以上的1。约束关系的表述：约束表达式限制了什么样的输入组合出现，把它们总结起来，就是约束关系的语言表达。约束关系的数学化：将一个现实的逻辑约束所限制的输入组合用表达式总结出来。【例5.3.17】卡诺图法化简具有约束关系的逻辑函数。解：

ABC010001111010××1010B、C不能同时为0B、C不能同时为1?5.4逻辑函数的表示方法和转换5.4.1逻辑函数的表示方法一．真值表

真值表是描述逻辑函数的逻辑功能的最底层工具，用于将现实逻辑命题数学化，从而可以进行后续分析。【例5.4.1】分析三变量多数表决器的逻辑功能，列写真值表。ABCF00000101001110010111011100010111真值表的整体分析法二．逻辑表达式将输出变量与输入变量之间的逻辑关系，用基本逻辑运算和常用复合逻辑运算的数学符号，写成相应的逻辑组合形式。逻辑表达式，也简称为逻辑式、表达式、逻辑函数。一些其他概念逻辑函数的五类典型类型一般表达式最简式标准与或式最小项编号之和ABCF00000101001110010111011100010111例：三变量多数表决器逻辑函数的五类典型类型一般表达式最简式标准与或式最小项编号之和与非式与或式与或非式或非式或与式三．卡诺图卡诺图是一种用于化简逻辑函数的非常实用的图形工具。卡诺图实质上就是图形化的真值表，可以直观地判断最小项间的逻辑相邻关系。只适于表示和化简变量个数较少的逻辑函数，四．电路图根据逻辑表达式，将输入变量通过对应的逻辑门符号逐级连接，直至得到输出变量，就形成了逻辑电路图，简称电路图、逻辑图。优点：最接近实际电路。缺点：不能进行运算和变形，所表示的逻辑关系不直观。五．波形图

以时间为横轴，画出一个逻辑函数的输入、输出变量对应变化的波形，从而形成输入信号和输出信号的对应图形，即逻辑电路的波形图。组合逻辑波形图的画法整体分析法【例5.4.3】已知逻辑函数和输入波形，画出完整波形图。tFtAtBtC5.4.2逻辑函数各种表示形式的相互转换一．真值表与逻辑表达式之间的转换【例5.4.4】

ABCF00000101001110010111011101100111★最小项标准式★最简与或式★5类典型表达式公式法或者卡诺图法化简以最简与或式为基础，形式转换。

解：

一．真值表与逻辑表达式之间的转换（1）从表达式可知这是3输入、1输出的逻辑函数，得到真值表的结构。【例5.4.5】已知逻辑函数

，列写真值表。

解：

ABCF00000101001110010111011101000101（2）整体分析法，填写真值表的内容。二．逻辑表达式与电路图之间的转换★从输入级到输出级，逻辑运算符号和对应的门电路符号之间的对应替代，逐级推导即可。★熟