平面任意力系的平衡

平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零即

3.3平面任意力系的平衡条件和平衡方程因为有平面任意力系平衡的充要条件是：力系中各力对两个坐标轴投影的代数和等于零；且对任意一点力矩的代数和等于零平面任意力系的平衡方程说明：1、平衡方程有两个称为投影方程，一个称为力矩方程；2、投影方程可以任取两个不相平行的轴作为投影轴，而不一定要使两轴互相垂直；3、写力矩方程时，矩心也可以任意选取，而不一定取在两投影轴的交点；4、如果平面任意力系是平衡力系，可得3个平衡方程，可求出3个未知量（力的大小和方向）。例已知：尺寸如图；求：轴承A、B处的约束力。解：取起重机，画受力图。解得已知：求：支座A、B处的约束力。解：取AB梁，画受力图。解得解得已知：求：固定端A处约束力。解：取T型刚架，画受力图。其中解得解得解得例3-6如图，梁的一端为固定端，另一端悬空，如图，这样的梁称为悬臂梁。设梁上受最大集度为q的分布荷载，并在B端受一集中力F。试求A端的约束力。解作梁ＡＢ的受力图。由梁的平衡条件得到三个平衡方程例3-7悬臂吊车结构。横梁AB长为l＝2.5m

，重G

＝1.2kN

，拉杆BC的斜角α

＝300，质量不计，起吊重量Q

＝7.5kN

。求图示位置a＝2m时，拉杆BC所受的拉力和铰链A处的约束反力。解①分析横梁AB的受力，画横梁AB的受力图。②列平衡方程②列平衡方程平面任意力系平衡方程的三种形式一般式二矩式A,B两个取矩点连线，不得与投影轴垂直三矩式三个取矩点，不得共线说明：如果平面任意力系是平衡力系，可得3个平衡方程，可求出3个未知量（力的大小和方向）。例3-8如图所示，绞车通过钢丝绳牵引小车沿斜面轨道匀速上升。已知小车重W＝10kN，绳与斜面平行，坡角α＝300，a＝0.75m，b＝0.3m，不计摩擦。求钢丝绳的拉力及轨道对于车轮的约束反力。解分析小车的整体受力，画小车的受力图。一矩式平衡方程为：二矩式平衡方程为：一矩式平衡方程为：二矩式平衡方程为：三矩式平衡方程为：相比较二矩式最简单解得：二矩式平衡方程为：例3-9如图所示，在水平外伸梁上作用有集中力P＝20kN，矩为M＝16kNm的力偶，集度为q＝20kN/m均匀分布载荷，a＝0.8m。求支座A、B处的约束反力。解分析梁AB的受力，画梁AB的受力图。列方程：解得：平面平行力系的平衡方程平面平行力系的方程为两个，有两种形式各力不得与投影轴垂直两点连线不得与各力平行说明：对于平面平行力系，利用平衡方程可求解两个未知数。例3-10如图所示，行动式起重机，轨距b＝3m，机身重G＝500kN，其作用线至右轨的距离e＝1.5m，起重机的最大荷载P＝250kN，其作用线至右轨的距离l＝10m，欲使起重机满载时不向右倾倒，空载时不向左倾倒，平衡重Q作用线至左轨的距离a＝6m，试确定平衡重Q之值。解⑴分析起重机整体受力，画起重机受力图。⑵满载情况：满载时，如果起重机倾倒将绕右轨B转动，倾倒前起重机处于平衡状态。则要起重机不向右倾倒，应有有:得:⑶空载情况：空载时，如果起重机倾倒将绕左轨A转动，倾倒前起重机处于平衡状态。则⑶空载情况：空载时，如果起重机倾倒将绕左轨A转动，倾倒前起重机处于平衡状态。则要起重机不向左倾倒，应有有：得：综合⑵、⑶可知，要使起重机既不向左倾倒也不向右倾倒，平衡重Q的取值范围为：3.4静定和超静定的概念3.5刚体系的平衡

刚体系：是由许多单个刚体通过约束按一定方式连接而成的工程结构。称为刚体系统，简称刚体系。外力：是刚体系以外物体对刚体系的作用力。内力：是刚体系内部各刚体之间的相互作用力，内力不影响刚体系整体的平衡，因而在研究刚体系整体的平衡时，不必考虑内力。外力和内力是相对的概念，是对一定的考察对象而言的。求解平衡问题时，可以根据需要选择研究对象。每次选择研究对象，根据平衡力系的种类，相应的独立平衡方程数是确定。如：平面任意力系→三个独立平衡方程平面汇交力系→二个独立平衡方程平面平行力系→二个独立平衡方程平面力偶系→一个独立平衡方程但是对于确定的刚体系，独立的平衡方程总数是确定的，如果每个刚体都是平面任意力系，那么总的独立平衡方程数是3n。也就是说，可解3n个未知量。例已知：F,a,各杆重不计；求：B铰处约束反力。解：取整体，画受力图解得取ADB杆，画受力图取DEF杆，画受力图得得得对ADB杆受力图得例3-11如图所示，静定多跨梁由梁AB和梁BC用中间铰B连接而成。已知P＝20kN，q＝5kN/m，α＝450，求支座A、C处的约束反力和中间铰B处两梁之间的相互作用力。分析：⑴研究对象的选取有三种情况⑵刚体数量为2，独立的平衡方程数为6，可解6个未知量解：取梁BC为研究对象再取梁AB为研究对象例3-12井架如图所示，它由AC和BC两个桁架通过中间铰C连接而成，两个桁架的重量均为G，在左边的桁架上有一水平风压力P。尺寸l，H，h和a均为已知，求铰链A、B、C三点处的约束反力。解：⑴研究井架结构的整体的平衡⑵研究桁架BC的平衡⑵研究桁架BC的平衡研究井架结构的整体的平衡例3－１4某厂厂房三铰刚架，由于地形限制，铰A及B

位于不同高程如图。刚架上的荷载已简化为两个集中力F1及F2。试求A、B、Ｃ三处的反力。依据图(b)依据图(c)依据图(b)依据图(c)联立求解可得依据图(b)依据图(c)例已知：a,b,P,各杆重不计，C,E处光滑；求证：AB杆始终受压，且大小为P。解：取整体，画受力图。得取销钉A，画受力图得取ADC杆，画受力图。取BC，画受力图。得对ADC杆得对销钉A解得例已知：

q,a,M,P作用于销钉B上；求：固定端A处的约束力和销钉B对BC杆,AB杆的作用力。解：取CD杆，画受力图。得取BC杆（不含销钉B)，画受力图。解得解得取销钉B，画受力图。解得则解得则取AB杆（不含销钉B），画受力图。解得解得解得3.6平面简单桁架的内力计算工程中的桁架结构工程中的桁架结构总杆数总节点数=2()平面简单桁架的组成：平面复杂（超静定）桁架平面简单（静定）桁架非桁架（机构）1、各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；3、载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；4、各杆件自重不计或均分布在节点上。在上述假设下，桁架中每根杆件均为二力杆。平面桁架的计算方法：节点法与截面法关于平面桁架的几点假设：例已知:P=10kN,尺寸如图；求:桁架各杆件受力。解:取整体，画受力图。取节点A，画受力图。解得(压)解得(拉)取节点C,画受力图.解得(压)解得(拉)取节点D,画受力图。解得(拉)已知:各杆长度均为1m;求:1,2,3杆受力。解:取整体,求支座约束力。解得解得用截面法,取桁架左边部分。解得(压)解得(拉)解得(拉