2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中永定分校九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中永定分校九年级（上）期中数学试卷一、选择题，共8小题，每小题2分，共16分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为0，则m的值为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣12．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．正方形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．正五边形3．（2分）将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2﹣3 C．y＝2（x+2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2+34．（2分）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．36 B．﹣36 C．9 D．﹣95．（2分）某厂家2023年1～5月份的某种产品产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x（）A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝4426．（2分）不解方程，判断关于x的方程2x2﹣kx﹣1＝0的根的情况为（）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根7．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A．a＜0 B．c＞0 C． D．a+b+c＜08．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…﹣3m10﹣3…有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和﹣1；④当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1．其中正确的是（）A．①④ B．②④ C．②③ D．③④二、填空题共8小题，每小题2分，共16分。9．（2分）方程x2﹣4＝0的根是．10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则点C的坐标为．11．（2分）关于x的方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为．12．（2分）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，则．13．（2分）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向上；②当x＜0时．14．（2分）A（1，y1）、B（3，y2）是函数y＝﹣2x2+2图象上的两个点，y1，y2的大小关系是．15．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则b0，Δ0．16．（2分）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD靠墙，BC，CD用总长为40米的栅栏围成．设矩形ABCD的边AB＝x米（1）活动区面积S与x之间的关系式为；（2）菜园ABCD最大面积是平方米．三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-23题，每小题8分，第24题10分，第25-26题7分，第27题6分，）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（8分）解下列方程（1）2（x+2）2﹣8＝0；（2）3x2﹣5x+2＝0．18．（5分）已知二次函数的图象经过点（6，0），顶点坐标为（4，﹣8），求该函数的表达式．19．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：（1）点A、B、C的坐标；（2）△ABC的面积．20．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：x…01234…y…﹣3﹣4﹣305…（1）求该二次函数的表达式；（2）直接写出该二次函数图象与x轴的交点坐标．21．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AED，AE交BC于点F．若AD＝322．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于﹣4，求m的取值范围．23．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣3，0），C（﹣1，0）1B1C．（每个方格的边长均为1个单位）（1）画出△A1B1C并直接写出：A1的坐标为，B1的坐标为；（2）判断直线AB与直线A1B1的位置关系为．24．（10分）已知抛物线y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法将y＝x2+2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出该抛物线的对称轴、顶点坐标；（3）抛物线与x轴交点A，B（点A在左侧），与y轴交点C，在给定的坐标系中画出这个抛物线；（4）直接写出当自变量x满足什么条件时，函数y＞0；（5）直接写出当自变量x满足什么条件时，y随x的增大而增大．25．（7分）掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）（x﹣h）2+k（a＜0）．某位同学进行了两次投掷．（1）第一次投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m0246810竖直距离y/m1.672.632.952.631.670.07根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣3.8）2+2.97．记实心球第一次着地点到原点的距离为d1，第二次着地点到原点的距离为d2，则d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝（x﹣1）2﹣4图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B．（1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象；（2）一次函数y＝kx+b的图象过A，B两点，结合图象（x﹣1）2﹣4的解集．27．（6分）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d（1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3）（4，3），则d＝．在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“关联点”是；（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1），使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围．

2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中永定分校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题，共8小题，每小题2分，共16分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为0，则m的值为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝2有一个根为0，∴m＝0，故选：C．2．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．正方形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．正五边形【解答】解：A、是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：A．3．（2分）将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2﹣3 C．y＝2（x+2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2+3【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移5个单位长度所得直线解析式为：y＝2（x+2）2；再向下平移1个单位为：y＝2（x+8）2﹣3．故选：C．4．（2分）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．36 B．﹣36 C．9 D．﹣9【解答】解：∵方程x2+6x+c＝3有两个相等的实数根，∴Δ＝62﹣2c＝0，解得c＝9，故选：C．5．（2分）某厂家2023年1～5月份的某种产品产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x（）A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442【解答】解：设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x7＝461，故选：B．6．（2分）不解方程，判断关于x的方程2x2﹣kx﹣1＝0的根的情况为（）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【解答】解：∵2x2﹣kx﹣5＝0，∴Δ＝（﹣k）2﹣4×2×（﹣1）＝k8+8，∵不论k为何值，k2+3＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：C．7．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A．a＜0 B．c＞0 C． D．a+b+c＜0【解答】解：根据函数图象可知a＜0，c＞0，，将x＝1代入y＝ax4+bx+c得y＝a+b+c，由图象知，此时a+b+c＞0．故选：D．8．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…﹣3m10﹣3…有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和﹣1；④当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1．其中正确的是（）A．①④ B．②④ C．②③ D．③④【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣2；抛物线的顶点坐标是（﹣2，7），故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，故①错误；由抛物线关于直线x＝﹣2对称知，当y＝5时，故方程ax2+bx+c＝0的根为﹣2和﹣1，故③正确；当y＞0时，x的取值范围是﹣8＜x＜﹣1，故选：C．二、填空题共8小题，每小题2分，共16分。9．（2分）方程x2﹣4＝0的根是x1＝﹣2，x2＝2．【解答】解：x2﹣4＝2，x2＝4，∴x＝±8，∴x1＝﹣2，x8＝2，故答案为：x1＝﹣8，x2＝2．10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则点C的坐标为（0，5）．【解答】解：令x＝0，则y＝5，∴C（2，5）．故答案为：（0，7）．11．（2分）关于x的方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为c＜1．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+c＝4有两个不相等的实数根，∴Δ＝22﹣3c＝4﹣4c＞3，解得：c＜1．故答案为：c＜1．12．（2分）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝（x﹣1）2﹣4．【解答】解：y＝x2﹣2x﹣6＝（x2﹣2x+3）﹣3﹣1＝（x﹣5）2﹣4，即y＝（x﹣4）2﹣4．故答案为：y＝（x﹣2）2﹣4．13．（2分）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向上；②当x＜0时y＝x2﹣x（答案不唯一）．．【解答】解：设y＝ax2+bx+c，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵x＜5时，y随x的增大而减小，∴﹣≥0．∴b≤2．∴y＝x2﹣x满足题意，故答案为：y＝x2﹣x（答案不唯一）．14．（2分）A（1，y1）、B（3，y2）是函数y＝﹣2x2+2图象上的两个点，y1，y2的大小关系是y1＞y2．【解答】解：∵a＝﹣2，则抛物线开口向下，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝0，点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离近，故yA大于yB，故答案为：y3＞y2．15．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则b＜0，Δ＞0．【解答】解：由所给图形可知，b＜0．因为抛物线与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2+bx+c＝7有两个不相等的实数根，即Δ＞0．故答案为：＜，＞．16．（2分）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD靠墙，BC，CD用总长为40米的栅栏围成．设矩形ABCD的边AB＝x米（1）活动区面积S与x之间的关系式为S＝﹣2x2+40x（0＜x＜20）；（2）菜园ABCD最大面积是200平方米．【解答】解：（1）根据题意得：BC＝（40﹣2x）米，∴S＝x（40﹣2x）＝﹣4x2+40x，∵40﹣2x＞7，∴x＜20，∴面积S与x之间的关系式为S＝﹣2x2+40x（2＜x＜20）；故答案为：S＝﹣2x2+40x（4＜x＜20）；（2）∵S＝﹣2x2+40x＝﹣5（x﹣10）2+200，且﹣2＜8，∴当x＝10时，S取最大值200，∴菜园ABCD最大面积是200平方米；故答案为：200．三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-23题，每小题8分，第24题10分，第25-26题7分，第27题6分，）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（8分）解下列方程（1）2（x+2）2﹣8＝0；（2）3x2﹣5x+2＝0．【解答】解：（1）2（x+2）3﹣8＝0，∴（x+2）2＝4，∴x+8＝±2，∴x+2＝7或x+2＝﹣2，∴x3＝0，x2＝﹣8；（2）3x2﹣4x+2＝0，∴（5x﹣2）（x﹣1）＝8，∴3x﹣2＝6或x﹣1＝0，∴，x4＝1．18．（5分）已知二次函数的图象经过点（6，0），顶点坐标为（4，﹣8），求该函数的表达式．【解答】解：∵二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣8），∴设该函数的表达式为y＝a（x﹣2）2﹣8，∵二次函数的图象经过点（3，0），把点（6，8）代入y＝a（x﹣4）2﹣8得，a（6﹣4）4﹣8＝0，解得a＝8，∴该函数的表达式为y＝2（x﹣4）6﹣8．19．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：（1）点A、B、C的坐标；（2）△ABC的面积．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，∴C（2，﹣3），令y＝0，则x8﹣2x﹣3＝6，解得：x1＝﹣1，x4＝3，∴A（﹣1，3），0）；（2）∵A（﹣1，2），0），﹣3），∴AB＝5，OC＝3，∴S△ABC＝＝6．20．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：x…01234…y…﹣3﹣4﹣305…（1）求该二次函数的表达式；（2）直接写出该二次函数图象与x轴的交点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线经过点（0，﹣3），﹣4），﹣4），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（8，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣6，把（0，﹣3）代入得a（7﹣1）2﹣8＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣6）2﹣4；（2）∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（7，0），而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣5，0），即该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，5），0）．21．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AED，AE交BC于点F．若AD＝3【解答】解：由题意得：△ABC≌△AED，∴AC＝AD＝3，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∵将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AED，∴∠BAF＝30°，∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝30°，∴CF＝AF，∵AF2＝CF2+AC8＝，∴AF2＝，∴AF＝AC＝5．22．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于﹣4，求m的取值范围．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2≥8，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵Δ＝（m﹣2）2≥5，∴x＝．∴x6＝m﹣1，x2＝7．∵此方程有一个根小于﹣4．∴m﹣1＜﹣5．∴m＜﹣3．故m的取值范围是m＜﹣3．23．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣3，0），C（﹣1，0）1B1C．（每个方格的边长均为1个单位）（1）画出△A1B1C并直接写出：A1的坐标为（2，0），B1的坐标为（﹣1，2）；（2）判断直线AB与直线A1B1的位置关系为垂直．【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作，A6的坐标为（2，0），B4的坐标为（﹣1，2）；故答案为：（2，0），2）；（2）因为△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A4B1C，所以AB绕点C按顺时针方向旋转90°后得到A1B7，即直线AB与直线A1B1垂直．故答案为：垂直．24．（10分）已知抛物线y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法将y＝x2+2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出该抛物线的对称轴、顶点坐标；（3）抛物线与x轴交点A，B（点A在左侧），与y轴交点C，在给定的坐标系中画出这个抛物线；（4）直接写出当自变量x满足什么条件时，函数y＞0；（5）直接写出当自变量x满足什么条件时，y随x的增大而增大．【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+5﹣4＝（x+1）2﹣4；（2）抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣3；（3）抛物线如图所示：△ABC的面积＝×3×3＝6；（4）观察图象可知当x＜﹣2或x＞1时，y＞0；（5）当x＞﹣5时，y随x的增大而增大．25．（7分）掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）（x﹣h）2+k（a＜0）．某位同学进行了两次投掷．（1）第一次投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m0246810竖直距离y/m1.672.632.952.631.670.07根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣3.8）2+2.97．记实心球第一次着地点到原点的距离为d1，第二次着地点到原点的距离为d2，则d1＞d2（填“＞”“＝”或“＜”）．【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（4，∴h＝4，k＝3.95，即实心球竖直高度的最大值为2.95，根据表格中的数据可知，当x＝0时，代入y＝a（x﹣3）2+2.95得：2.67＝a（0﹣4）2+2.95，解得：a＝﹣0.08，∴函数关系式为：y＝﹣5.08（x﹣4）2+2.95；（2）第一次投掷，y＝﹣0.08（x﹣4）7+2.95，当y＝0时，﹣7.08（x﹣4）2+7.95＝0，解得：x＝4±，∵x＞0，∴x＝4+，第二次投掷，y＝