第十一章连续小波变换

第十一章连续小波变换

短时傅里叶变换必须在时域分辨率和频域分辨之间做折衷

Gabor变换在时频相平面上按固定窗口大小堆砌理想状态

既能用短持续时间的窗函数对信号中的快速变化分析

又能用长持续时间窗函数对信号中的缓慢变化分析

时频堆砌“变焦”功能示意图宽分析窗窄分析窗小波变换的发展地质物理学家J.Morlet提出了分析窗的尺度伸缩和平移概念数学家Y.Meyer构造了近似光滑的正交小波基S.Mallat提出了多分辨率概念，引出构造正交小波基的一般方法I.Daubeices在此基础上构造了著名的Daubeices正交小波基11．1分析窗的尺度伸缩和平移特性 分析窗函数（小波函数）的时域局域化指标分析窗的尺度伸缩平移尺度伸缩平移窗函数的局域化指标尺度伸缩平移窗函数的特性尺度a增加，分析窗时域伸展，带宽变小尺度a减小，分析窗时域收缩，带宽变大分析窗的时间——带宽乘积等于常数例，尺度调节对时频相平面的影响调节尺度可改变分析窗的时、频域分辨率，类似调节显微镜的焦距尺度大时，可以观察被分析信号的低频频部分（信号全貌）尺度小时，可以观察被分析信号的细节或局部11．2连续小波变换连续小波变换的定义时域和频域局域化特性的分析窗（小波）函数信号小波函数尺度伸缩与平移CWT变换某尺度下CWT的计算过程某尺度和某位移下的CWT值等于求信号与小波函数的尺度伸缩平移的相关连续小波变换的频域分析频域观察CWT的物理意义若小波函数的频谱具有带通特性，不同尺度CWT等效提取信号在不同频带的成份尺度参数a与模拟角频率参数等效频域局域化指标为尺度大，带宽小，便于精确分析信号中的低频成份尺度小，带宽大，便于分析信号中的高频成份典型小波函数不同尺度下的频率特性连续小波变换的逆变换Moyal定理连续小波变换的逆变换小波函数的特性振荡性正则性小波函数的阶原点距正则性小波函数的正则性阶次为p时，小波变换中只包含被分析信号的p阶导数以上的成份当需要提取被分析信号的快速变化信息时，必须选择正则性条件高的小波函数其它特性光滑性和连续性:避免短时加窗截断时的非线性影响

紧支集性:时域或频域紧支性可保证小波函数在一个域中具有最好的局域化特性线性相位性:防止小波变换过程中产生相位失真正交性:变换之后的冗余度最小，实现最大限度的数据压缩具有解析表达式:方便连续小波变换的计算常见小波函数Morlet小波Haar小波墨西哥草帽（MexicanHat）或Marr小波Meyer小波无解析表达式的小波Daubechies小波系列dbN；双正交小波系列biorNr.Nd;Coiflet小波系列Symlets小波系列symN;样条小波系列Matlab工具箱中常用小波及其特性比较11．3连续小波变换的性质线性性时移不变性尺度伸缩性内积定理（Moyal定理）交叉项特性冗余度和再生核CWT变换结果中信息是冗余:离散化的依据，降噪

选择正交基小波函数可去除CWT变换中的相关性11．4连续小波变换的计算机实现CWT变换的数值卷积实现CWT卷积法计算过程由计算归一化尺度a=1时小波函数对应的短时分析窗宽度

Ts1小波采样频率

Ts信号采样频率任意尺度a小波函数对应的短时分析窗对抽样或插值得

CWT变换的最大尺度值

MatlabCWT变换函数：Coefs=CWT（x，scale，‘wname’）分析50HZ和450HZ信号成份尺度的选择采样频率为时，50HZ信号成份一个周期对应400个点，450HZ信号成份一个周期对应44个点左右。尺度等于1时对应的分析窗宽度约为4个采样点。只有当尺度等于100左右时，分析窗的宽度才能与50HZ信号成份相匹配，当尺度等于10左右时，分析窗的宽度可以与450HZ信号成份相匹配CWT变换的应用特点可以在某一局部尺度范围内对信号进行精确分析较小时，分析步长仍可选任意小应用梅林变换计算CWTCWT卷积算法一次可以计算固定尺度下不同位移处的CWT值梅林变换一次可以计算固定位移下不同尺度处的CWT值梅林变换梅林逆变换梅林变换时间方向的对数压缩梅林变换性质