第21讲 弯曲应力习题课

教学基本要求与教学重点：【1】复习弯曲正应力、切应力与各符号的意义【2】会用弯曲正应力与切应力强度条件进行强度分析【重点】【3】掌握提高梁强度的主要措施教学安排：

【1】复习——弯曲正应力与切应力及梁的强度分析【2】课堂练习1、2、3、4、5【课堂练习，教师提示】思考题1、2、3、4【课堂讨论，教师归纳】【3】课外作业第21讲弯曲应力习题课

复习：弯曲正应力与切应力河海大学材料力学\材料力学.exe观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴中性轴过横截面形心EIz称为抗弯刚度

(Flexuralrigidity)复习——纯弯曲正应力公式直梁纯弯曲时中性层的曲率为上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。弯曲正应力计算公式：中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值smax为式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数(sectionmodulusinbending)，其单位为m3。hbzyodzyo中性轴z不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为当梁上有横向力作用时,横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲(Nonuniformbending)复习——横力弯曲时的正应力与切应力

横力弯曲时,梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力,纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.一、横力弯曲(Nonuniformbending)虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异,但进一步的分析表明,工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式,可以用于计算横力弯曲时横截面上的正应力.等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为二、正应力公式的应用范围

1、

在弹性范围内3、平面弯曲4、直梁2、具有切应力的梁跨长与截面高度之比要求大于5三、正应力强度条件：梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力数学表达式（Mathematicalformula)b矩型截面的宽度yz整个横截面对中性轴的惯性矩距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩1、矩形截面梁的切应力沿截面高度的变化规律沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定四、弯曲切应力y1nBmAxyzOyA1B1m1可见,切应力沿截面高度按抛物线规律变化.zτmaxy=±h/2(即在横截面上距中性轴最远处)τ=0y=0(即在中性轴上各点处),切应力达到最大值式中,A=bh,为矩形截面的面积.z截面静矩的计算方法A为截面面积为截面的形心坐标A

2、工字形截面梁（工-sectionbeam)假设求应力的点到中性轴的距离为y.研究方法与矩形截面同,切应力的计算公式亦为HoyBxbzhd

——腹板的厚度【切应力当地宽度】Ozydxy——距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A*对中性轴的静矩.τminozyτmaxτmax(a)腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化.(b)最大切应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大切应力.ozyτminτmax式中——中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩.ydzo假设(a)沿宽度kk’上各点处的切应力均汇交于o’点.(b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等.在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.3、圆截面梁(Beamofcircularcrosssection)最大切应力发生在中性轴上ydzo式中为圆截面的面积4、圆环形截面梁(Circularpipebeam)图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为,环的平均半径为r0,由于«r0故可假设(a)横截面上切应力的大小沿壁厚无变化.(b)切应力的方向与圆周相切.zyr0δ式中A=2r0为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生中性轴上,其值为zyr0δ五、切应力强度条件六、需要校核切应力的几种特殊情况（1）梁的跨度较短,M较小,而FS较大时,要校核切应力.（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时,要校核切应力.（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差,要校核切应力.矩形截面梁受力如图，试比较最大正应力和最大切应力。已知跨度L,高h。提示同学们：1、求反力；2、作剪力图；3、作弯矩图；4、计算最大切应力与最大正应力。课堂练习1矩形截面梁受力如图，试比较最大正应力和最大切应力。课堂练习1解答课堂练习2【同学们作（1）】例题6问：a＝？课堂练习3：比较a＝0、a＝0.2L时，最大弯矩值。并问a＝？时，最大弯矩值为最小？【a的最佳值】课堂练习3：比较a＝0【左图】、a＝0.2L【中图】时，最大弯矩值。并问a＝？【右图】时，最大弯矩值为最小？【a的最佳值】aalqlqaalq三人上黑板作课堂练习3——分别作弯矩图答案：a＝0、a＝0.2L、a＝0.207L时，最大弯矩值。当两端支座分别向跨中移动a=0.207l

时，最大弯矩值最小。【？】aalq0.025ql2lqql2/80.0214ql2aalq思考题1【讨论步骤与教师归纳】例题7思考题2下述薄壁梁上指定截面处的弯曲切应力如何计算？如何分布？

课堂练习4某空心矩形截面梁，分别按图a及图b两种方式由四块木板胶合而成。试求在横力弯曲时每一胶合方式下胶合缝上的切应力。梁的横截面上剪力FS已知。解：图a所示胶合方式下，由图可知：bdx(c)图b所示胶合方式下，由图可知：b-2dx(d)F一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F=30kN.跨长l=5m.吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力[]=170MPa,许用弯曲切应力[]=100MPa，试校核梁的强度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊车梁可简化为简支梁力P在梁中间位置时有最大正应力.(a)正应力强度校核由型钢表查得20a工字钢的所以梁的最大正应力为课堂练习5+FSmax5mABFC(b)切应力强度校核在计算最大切应力时,应取荷载F在紧靠任一支座例如支座A处所示,因为此时该支座的支反力最大,而梁的最大切应力也就最大.查型钢表中,20a号工字钢,有d=7mm据此校核梁的切应力强度以上两方面的强度条件都满足,所以此梁是安全的.对于上题图中的吊车大梁,现因移动荷载F增加为50kN,故在20a号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲正应力[]=152MPa,许用切应力[]=95MPa.试校核此梁的强度.2.2m200z22012010解加强后的梁是阶梯状变截面梁.所以要校核(3)F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力(2)F靠近支座时支座截面上的切应力(1)F位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力思考题3（接上题）(1)校核F位于跨中时截面时的弯曲正应力查表得20a工字钢F62.5kN.m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mRBRA最大弯矩值为跨中截面对中性轴的惯性矩为200z22012010略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩.抗弯截面系数(2)校核突变截面处的正应力,也就是校核未加强段的正应力强度.2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mR