第四章 几种重要的分布

P769.已知100个产品中有10个次品，求任取出5个产品中次品数的数学期望

24.两个随机变量ξ和η，已知Dξ=25，Dη=36，ρξη=0.4，计算D

(ξ+η)与D

(ξ-η)ξ：任取出5个产品中次品数第四章几种重要的分布4.1

二项分布4.2超几何分布4.3普哇松分布4.4指数分布4.5Γ-分布4.6正态分布贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1.(0-1)分布(p26)

若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或4.1二项分布（一）随机变量ξ的分布律(P79)定义４.1如果随机变量ξ有概率函数，2.(p24)定义设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.事件A恰好发生k次的概率为则称ξ服从参数为n,p的二项分布。记作ξ~B（n,p)其中0<p<1,q=1-p,事件Ａ至多出现m次的概率是事件Ａ出现次数不小于不大于

的概率是ξ的分布函数为:P{ξ=k}的值恰好是二项式（q+px)n展开式中第k+1项xk的系数。例1某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近６天内用水量正常的天数的分布。

解设最近六天内用水量保持正常的天数为ξ。它服从二项分布，ξ～B(6,0.75)用公式（4.1）计算其概率值，得到：0123456P0.00020.00440.03300.13180.29660.35600.1780（二）二项分布的期望和方差

二项分布B(n,p)

二项分布B(n,p)：例3若ξ~B(n,p),求E(ξ)解:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则求Dξ设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则（三）二项分布的最可能值

二项分布中ξ可以取值0,１,…,n。使概率Ｐ{ξ=k}取最大值的k，记作k0，称k0为二项分布的最可能值。由(2)得(4.3)

例４某批产品中有８０％的一等品，对它们进行重复抽样检验，共取出４个样品，求其中一等品数ξ的最可能值，并用贝努里公式验证。解ξ服从二项分布，ξ～B(40.8)np+p=3.2+0.8=4是整数，所以k0=4和k0=3时Ｐ{ξ＝k0}为最大。即取出４个样品时，一等品个数最可能是３或４。用贝努公式计算ξ的分布律下ξ01234p0.00160.02560.15360.40960.4096４.２超几何分布

例１某班有学生２０名，其中有５名女同学，今从班上任选４名学生去参观展览，被选到的女同学数ξ是一个随机变量，求ξ的分布。解ξ可以取０，１，２，３，４这５个值，计算结果列成概率分布表如下：ξ01234p0.28170.46960.21670.03100.0010定义４２设Ｎ个元素分为两类，有Ｎ１个属于第一类，Ｎ２个属于第二类（Ｎ１＋Ｎ２＝Ｎ）。从中按不重复抽样取n个，令ξ表示这n个中第一（或二）类元素的个数，则ξ的分布称为超几何分布。其概率函数是pqp1超几何分布以二项分布为极限当N→∞时，４３普哇松分布

其中λ>0，则称ξ

服从普哇松(Poisson)分布。定义4.3如果随机变量ξ的概率函数是

利用级数易知由于两边对求导得或或

普哇松分布常见于所谓稠密性的问题中。如一段时间内，电话用户对电话台的呼唤次数，候车的旅客数，原子放射粒子数，织机上断头的次数，以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等。在二项分布中，ξ～B(n，p)当n比较大，p很小时，用普哇松分布近似代替二项分布的公式，其中λ＝np普哇松分布的方便之处在于有现成的分布表（见附表一）可查，免于复杂的计算。普哇松定理表明，普哇松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的普哇松分布ξ～B(n,p)与ξ～Pλ(ξ=k)的比较

解因普哇松分布的参数λ就是它的期望值Eξ，故λ=5查书后附表一，有p5(2)=0.084224p5(5)=0.175467P5(20)=0例1ξ服从普哇松分布，Eξ=5,查表求P(ξ=2)=P(ξ=5)=P(ξ=20)=例2一大批产品的废品率为p=0.015求任取一箱（有100个产品），箱中恰有一个废品的概率。解所取一箱中的废品个数服从超几何分布，由于产品数量N很大，可按二项分布公式算，其中n=100,p=0.015但由于ｎ较大而ｐ很小，可用普哇松分布公式近似代替二项分布公式计算。其中λ=np=1.5,查表得：误差不超过0.01例３检查了100个零件上的疵点数，结果如表4-6:

疵点数0123456频用普哇松分布公式计算疵点数的分布，并与实际检查结果比较。解：要用普哇松(Poisson)分布公式计算，首先要求出λ频率0.140.270.260.200.070.030.03概率0.13530.27070.27070.18040.09020.03610.0120EX

P992、164.4指数分布定义4.4如果随机变量ξ的概率密度为其中λ>0，则称ξ服从参数为λ的指数分布。它的分布函数

易知0x对任何实数a,b（0≤a<b),有在习题三第12题中已经算出它的期望和方差：

指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近似。如随机服务系统中的服务时间，某些消耗性产品（电子元件等）的寿命等等，都常被假定服从指数分布。假若产品的失效率为λ，则产品在t(t>0)时间失效的分布函数而产品的可靠度为:例1某元件寿命ξ服从参数为λ(λ-1=1000)的指数分布。3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？各元件寿命相互独立，因此3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为解参数为λ的指数分布的分布函数为例.电子元件的寿命ξ(年）服从参数为3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？解4.5Γ-分布定义4.5如果连续性随即变量ξ具有概率密度其中λ>0，r>0，则称ξ服从Γ-分布，记作ξ～Γ(λ,r)这里的Γ(r)就是微积分里定义的Γ-函数，即Γ-分布在概率论，数理统计和随机过程中都有不少应用。当r=1时，为指数分布当r>0时这个积分式收敛的，利用Γ-函数的定义可以证明还可以计算出

当r为正整数时，它是排队论中常用到的r阶爱而朗分布；

当r=n/2(n是正整数），λ=1/2时就是具有n个自由度的χ2分布简记作χ2(n)

它是数理统计中最重要的几个常用统计量的分布之一。表示进入到所要考虑的统计问题中自由变量的个数自由度:多一个约束条件,就少一个自由变量.

定理4.1如果ξ1,ξ2,…,ξn相互独立，且ξi服从参数为λ,ri的Γ-分布，则它们的和ξ1+ξ2+…+ξn服从参数为r1+r2+…+rn的Γ－分布证明：略Γ-分布具有可加性EX

P10116、17、18、19、21

正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。ABA，B间真实距离为，测量值为ξ。ξ的概率密度应该是什么形态？4.6正态分布（一）正态分布的概率密度定义4.6如果连续型随机变量ξ的概率密度为其中σ,μ为常数，并且σ>0，则称ξ服从参数为μ,σ正态分布，简记作N(,2)利用普哇松积分可以验证＝0特别地，当参数μ=0，σ=1时，φ(x)可以写成称它为标准正态分布的概率密度，简记作N(0,1)其中为实数，

>0，则称ξ服从参数为

,2的正态分布,记为N(,2)，可表为ξ～N(,2).若随机变量

(1)单峰对称

密度曲线关于直线x=对称；(p93)

φ()＝maxφ(x)＝

.正态分布有两个特性：(2)的大小直接影响概率的分布越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻，。正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布函数表示为标准正态分布ξ～N(0,1)密度函数表示为（二）标准正态分布概率密度φ0(x)的性质及概率密度函数表φ0(x)除具有一般概率密度的性质外，还有下列性质：（1）φ0(x)有各阶导数；（2）φ0(-x)=φ0(x)

，即φ0(x)

的图形关于y轴对称；（3）φ0(x)在(-∞，0)内严格上升，在(0,+∞)内严格下降，在x=0处达到最大值：（4）φ0(x)

在x=±1处有两个拐点；

即x轴是曲线φ0(x)

的水平渐近线。例1介绍查概率密度函数表（5）例1ξ～N(0,1)求0.077540.33910.398900.002096定理4.2如果（三）一般正态分布与标准正态分布的关系其概率密度分别记为分布函数分别记为

证:定理4.3如果称随机变量函数为标准化变换。证：（四）标准正态分布函数表

如果ξ～N(0,1),则对大于零的实数x,的值可以由附表三直接查到。例2=0.975＝P(ξ≥1.96)=1-P(ξ≤1.96)=0.025=P(-1.96≤ξ≤1.96)==0.95=0.81855=0.97725+0.8413－1＝1∴如果ξ～N(0,1)，则例3解：例4解：查表得：若ξ~N（0，1）,（0.5)=0.6915,P{1.32<ξ<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注：(1)(x)＝1－(－x)；

(2)若X～N(,2)，则正态分布表（五）正态分布与Γ-分布的关系

定理4.4如果ξ服从N(0,1)，则ξ2服从λ＝0.5，r=0.5的Γ-分布，即证：根据P54（2.26)式，当x≤0时，当x>0时当x>0时（六）二元正态分布定义4.7若二元连续型随机变量（ξ，η）的联合概率密度为（4.16）其中均为常数。时，称（ξ，η）服从二元正态分布＝1

定理4.5二元正态分布的边缘概率密度是一元正态分布。证：设（ξ，η）的联合概率密度由（4.16）式给出，ξ的边缘概率密度记为二元正态分布的相关系数为ρ由第三章的知识我们知道：相互独立的两个随机变量一定不相关ρ＝0但是不相关的随机变量不一定独立然而对于二元正态分布来说，有定理4.6成立定理4.6服从二元正态分布的随机变量（ξ,η)它们独立的充分必要条件是ξ与η的相关系数ρ=0证：必要性充分性

定义4.8若连续型随机变量ξ的概率密度为

称ξ服从具有n个自由度的t分布，简记为t（n）。最后介绍连个在数理统计中占有重要位置的两个分布定义4.9若连续型随机变量ξ的概率密度为称ξ

服从具有第一个自由度为n1

，第二个自由度为n2

的F分布，简记为EX

P10125、26、27第四章复习要求2、熟练掌握几种重要分布的数字特征：期望、方差、协方差、相关系数1、熟练掌握几种重要的分布：

0－1分布；二项分布；超几何分布；几何分布；普哇松分布；均匀分布；指数分布；正态分布。4、掌握常用分布的数字特征与分布参数之间的关系3、理解随机变量的独立性及不相关的概念掌握独立性的条件与判定方法。EX1设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望EX2设随机变量相互独立，且均服从分布，求随机变量的数学期望答:答:设ξ的概率密度为，EX求E(ξ2),E(ξ3)，E(ξ4)。并求ξ2的方差解：分部积分法使用分部积分法＝1EX设随机变量ξ~N(-1,22),P{-2.45<ξ<2.45}=?正态分布表