第二章 分形分形维数对复杂性2012

第二讲

研究现状及基础理论2009第二章分形维数对复杂度的刻划

20世纪有四项发明、发现足以影响后世：相对论、量子论、分形、混沌；其中，前两项属于物理，后两项属于数学。美国物理学家约翰·惠勒（J.A.Wheeler）说：“在过去，一个人如果不懂得‘熵’，就不能说是科学上有教养；在将来，一个人如果不熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。”

Outline

2.1

引言

2.2

分形学基础理论

2.3

基于分形维数理论的系统复杂度分析

2.4

机械故障诊断的分形方法

2.5

分形学在地理信息分析（GIS）中的应用

2.6

运用分形方法预测股市行情

2.7

分形在地震综合预报中的应用2.1引言

分形是一种具有自相似性的现象、图像或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅变小了一些而已。自然界中有许多景物在某种程度上存在这种相似性。如心脏的跳动，变幻莫测的天气预报等。从下面的几张分形照片中可以更好的了解分形的特点：分形的创立时间表(1)曼德勃罗在美国《科学》杂志上发表论文《英国的海岸线有多长》震惊学术界(1967年)。(2)法兰西学院讲演报(1973年)。(3)“病态”“数学怪物”命名——分形(Fractal)(1975年)。(4)法文版《分形对象：形、机遇和维数》出版(1975年)。(5)英文版《分形：形、机遇和维数》出版(1977年)。(6)英文版《大自然的几何学》出版(1982年)。

2.2分形学基础一、分形方法论概述（1）分形的概念

1975年，IBM公司的数学家B.B.Mandelbrot创造出了“分形（Fractal）”这个新术语。拉丁语形容词fractus是其原形。相应的拉丁语动词frangere含有“打破”和“产生不规则的碎块”，fractus同样具有“破碎的”和“不规则的”含义（Mandelbrot82）。自1982年，Mandelbrot的“TheFractalGeometryofNature”一书出版后，分形的概念就在全世界不胫而走，逐渐广为人知。为了应用方便，1986年，Mandelbrot对分形作了如下描述（Mandelbrot86）：分形是指由各部分组成的形态，每个部分以某种方式与整体相似。对这一描述加以引伸，它可以包括以下含义：分形可以是几何图形，也可以是由“功能”或“信息”架起的数理模型；分形可以同时具有形态、功能和信息三方面的自相似性，也可以只有其中某一方面的自相似性；自相似性可以是严格的，也可以是统计意义上的。严格地讲，现实中并不存在数学意义的严格分形，自然界的大多数分形都是统计自相似的；相似性有层次结构上的差异。数学中的分形具有无限嵌套的层次结构，而现实中的分形只有有限层次的嵌套。只有进入到一定的层次结构以后，才会有分形的规律（通常是幂律）；相似性有级别（即使用生成元的次数或放大倍数）上的差异。级别最高的是整体，最低的称为0级生成元。级别愈接近，相似性愈显著；级别相差愈大，则相似性愈差。分形体系是复杂系统，其复杂度在一定程度上可用非整数维描述。复杂系统有各种不同的类型，其所具有的多样性需用不同维数来刻画。分维数是刻画分形集复杂性的有效工具。参看以下分形图片：

FractallandscapesIFS迭代产生分形混沌游戏给定平面上三点A,B,C。再任意给定初始点,做下列迭代

当掷出的硬币呈正面当掷出的硬币呈反面当掷出的硬币呈侧面按上述方式迭代数百次，呈现极不规则的图形。故称为混沌游戏。IFS迭代IFS--IteratedFunctionSystem

取定n个仿射变换以及n个概率任给初值，以概率选取变换进行迭代

则点集的聚点集合称为一个IFS吸引子。用IFS绘制分形的方法１、设图形可视区域为假设采用L级灰度的图像绘制，总迭代次数为N。２、将V分成的网格，格点为用

表示矩形区域。用表示在N次迭代中落入中点的个数。记则象素(i,j)的灰度为IteratedFunctionSystemsIFSfemRealfem50xzoomofIFSfemIteratedFunctionSystemsAffinetransformationValuesofcoefficientsandcorrespondingpResultingfemfor5000,10000,50000iterationsIteratedFunctionSystemsWithoutthefirstlineinthetableoneobtainsthefernwithoutstalkThefirsttwolinesinthetableareresponsibleforthestalkgrowth二、什么是分形维数无论其起源或构造方法如何，所有的分形都具有一个重要的特征：可通过一个特征数，即分形维数测定其不平度，复杂性或卷积度。最早将维数从整数推广到非整数中去的是豪斯道夫（Hausdorff）和贝西科维奇（Besicovitch）。豪斯道夫于1919年首先提出连续空间的概念，认为空间维数不是跃变的，而是可以连续变化的，既可以是整数，也可以是分数。而贝西科维奇则证明对任何集合S存在一个实数D，使得d维测度对d<D为无限大而对d>D为零，这个临界的D就称为S的豪斯道夫—贝西科维奇维数（或称分形维数），简称分维。分维是定量描写分形的重要参数，有多种定义和计算方法。一般地，把一个Df维几何物体的每维尺寸放大L倍，就得到个原来的几何对象，令：两边取对数则有：上式中的Df即为豪斯道夫—贝西科维奇维数的定义。也可以缩小几何对象来定义分维。把一个Ds维的几何对象等分成N个小的几何图形，则每个小图形每维缩小为原来的r倍，而N个小图形的总和应为：则有：

r称为局部与整体的相似比，Ds即称为相似维数。

ABCDEFGHIJ1nsizeN(size)Length

log(1/size)log(N)log(L)Dslope20273=b2*c2

=log(1/b2)=log(c2)=log(d2)=(g3-g2)/(f3-f2)=(h3-h2)/(f3-f2)3=a2+1=b2*(1/3)=c2*4

nsizeN(size)Length

log(1/size)log(N)log(L)Dslope027381

-1.43136380.4771211.9084851.261860.261861912108

-0.95424251.0791812.0334241.261860.261862348144

-0.47712131.6812412.1583621.261860.2618631192192

02.2833012.2833011.261860.2618640.333333768256

0.477121252.8853612.408241.261860.2618650.1111113072341.3333

0.954242513.4874212.5331791.261860.2618660.03703712288455.1111

1.431363764.0894812.6581171.261860.2618670.01234649152606.8148

1.908485024.6915412.7830561.261860.2618680.004115196608809.0864

2.385606275.2936012.9079951.261860.2618690.0013727864321078.782

2.862727535.8956613.0329341.261860.26186100.00045731457281438.376

3.339848786.4977213.1578721.261860.26186Hereisachartwithallofthedatafromclasstoday

nsizeN(size)Lengthlog(1/size)log(N)log(L)Dslope027381-1.43136380.4771211.9084851.261860.261861912108-0.95424251.0791812.0334241.261860.261862348144-0.47712131.6812412.1583621.261860.261863119219202.2833012.2833011.261860.2618640.3333337682560.477121252.8853612.408241.261860.2618650.1111113072341.33330.954242513.4874212.5331791.261860.2618660.03703712288455.11111.431363764.0894812.6581171.261860.2618670.01234649152606.81481.908485024.6915412.7830561.261860.2618680.004115196608809.08642.385606275.2936012.9079951.261860.2618690.0013727864321078.7822.862727535.8956613.0329341.261860.26186100.00045731457281438.3763.339848786.4977213.1578721.261860.26186

此外，分维的定义还有盒子(box)维数、分形子(farcton)维数、空隙gap维数和质量(mass)维数等许多种（林鸿益92），它们各自有不同的应用，这是由分形的多样性和自然界的复杂性所决定的。在此统一给出分维Dq的一般定义：式中为标度(Scaling)，是参数量，是覆盖几率，当用边长为的小盒子去覆盖分形结构时，是分形结构中某点落入小盒子的几率。当取不同值时，表示不同分维。三、分形理论在控制领域中的应用及其前景在信息学科中，分形理论的应用主要体现在分形图象压缩和计算机图象生成及处理中（齐东旭93，高勇96，Forte95，Barnsley95等）。若进一步将信息概念扩大，则在地震综合预报资料分析及市场经济预测和股市行情分析中，也常用到分形方法（平建军93，樊重俊99等）。而在控制领域中的应用还非常少见。即使见到，也只是在应用混沌同步及控制时顺便提一下名词概念而已。

不过，近年来美国CETYS大学的PatriciaMelin教授和Tijuana理工学院计算机系的OscarCastillo教授将分形方法理论具体应用到控制领域，取得了一些仿真成果（Castillo97a，Castillo97b，Castillo98，Melin98）。已被应用于食品工业生化反应器的控制及机器人动力系统的模型构造及模拟中。他们首次利用分数维作为系统特征参数，通过分类来寻找和选取适合于系统的有效模型。具体选取操作过程中，采用了模糊规则推理方法等。而他们起初只是将分形方法应用到金融时间序列的预测上（Castillo95，Castillo96）。另外，台湾的Ching—YuPeng等人（Peng96）从另一个角度，将分形方法应用到控制中。具体是用分形分析法来降低时间序列集的大小，并将具有自相似性的规则合并；同时删除多余的规则生成分形规则集；最后将此分形规则集同非线性模型预测控制（NonlinerMPC）结合起来，完成分形模型控制。控制效果明显优于PID和普通的NMPC。我们分析这种用分形方法减少规则的好处在于：由于压缩后的分形规则集更“稠密（dense）”于原有规则集，如当原有规则集数达到15000以后，对应分形规则集中规则个数则基本保持在52个。因此，实时性很好，且使控制系统更具柔性和适应性——对同一对象用原始规则集的NMPC来控制，系统是发散或振荡很厉害，响应也慢；而用压缩后分形规则集的分形模型来控制，系统是收敛的，且有很强的抗干扰性。

在理论研究方面，我国学者程代展将分形中的Hausdoff测度引入并应用于控制系统。同时，介绍了准自相似集的新概念，并将计算自相似集的方法推广到准自相似集，由此说明控制系统的可达集具有分数维（程代展93）。因此，应用分形几何学分析非线性系统的可控性和可观性，不仅有意义，而且可行。其实，我们从分形的广义概念及分数维对系统复杂性刻划两方面可知，随着控制对象复杂性的不断提高，分形理论在控制领域中的应用将不断扩大和深入。分形理论在控制领域中的应用将有广阔的前景。譬如，可在以下几个方面加以应用：①利用分形理论来分析具有结构和功能自相似的工程和控制系统目前的DCS、CIMS和CIPS等控制系统都具有这种层次功能上的自相似。尤其是FCS的出现和综合自动化系统的研究完善，这种整体和局部的自相似关系更明显，局部在一定程度上体现了整体的基本精神和主要特征。随着系统的越来越庞大，子系统不断地增多，其层次结构越分越细，系统在具体运行时很容易出现混沌现象（Kompas95）。利用分形方法来化简和协调各组成和功能块（分形元）之间的联系，压缩不必要的信息，使子系统成为既有独特性，又有相似性的柔性自治体，从而节省了许多不必要的信息传送。

②利用数据信息的统计自相似性分析系统复杂性并建立合适模型这种方法要用到输入输出数据的时间序列，通过对其进行分形分析得到相应的分维数及其类型，由此可以知道系统内部的特征及各变量间的相关关系等，再结合其他建模方法建立或选择较合适的模型。若系统具有混沌特性，则同时可以用相空间重构法来重构吸引子。③利用算法自相似可以模拟和仿真被控对象及环境在系统建模及模型优化中，常用到迭代学习算法，也就是一种分形结构的算法。一般，复杂对象内部实体具有层次结构，而分形理论正可揭示这一隐藏在其内部的精密结构及其自相似的规律。举个有趣的例子，如考察序列：F0=1,F1=1，…，Fn=Fn-1+Fn-2(n≥2)

则而可见，简单的连分数可以逼近一个复杂的无理数，而连分数本身即具有分形结构。同理，我们可以用一些简单的分形迭代算法来对一个复杂系统建模，而用于控制系统中的仿真运算。如可利用的有迭代函数系统IFS（IteratedFunctionSystem）以及程序递归调用等。元胞自动机CA及人工生命等也具有这方面特点。④利用输入输出对数据间的自相似压缩模型规则库简化控制模型这种方法可称为分形滤波或分形离散化，经分形方法化简后的规则库保留了与原规则库的相似性，而删除了多余的规则信息。这是用统计方法所无法达到的。⑤用分形方法分析控制、决策系统

在各控制系统的具体控制中，其不同控制命令的发出和执行在时间轴上不是连续的，而是有点象康托集（CantorSet）一样呈分形分布（如图6.1(a)和(b)）。这一点在模糊规则控制中更明显，其控制器发出的命令可以用一个规则序列集合来表示。这个集合在具体控制中并不难得到，只要在控制程序中加上记忆规则调用一段即可。我们可以用复杂度不同的时间序列信号（从线性到混沌），加到控制器上得到相应的规则集序列，利用分维值对规则集进行度量分析来优化原规则库。从而建立一个具有解决不同复杂度问题的规则模型库（每个模型有自己的规则库），进而对分析复杂系统控制问题提供帮助。此外，还可以将混沌理论、分形理论和其它智能控制及信息处理方法相结合，用在控制系统的建模、预测、控制上。(a)Cantor集

(b)控制命令分形分布集图6.1控制系统中的分形特征返回

四、分形维数1．容量维数设任一集合的有界集合，由直径为ε的小球（d维小球）去覆盖A集合。假设为覆盖A后的最小覆盖球，若A是一个D维的流形，则与成反比，即：式中的D即为容量维数，可写为Df，可由上式求得。令取极限，则有：容量维数也称为盒子维。在考察非规则曲线（包括动力系统行为曲线）及曲面时，可以把嵌入空间分成边长为的盒子，并计算出与曲线或曲面相交的盒子数（如图3.1）。则这些曲线“长度”或曲面的“面积”满足：对于直线，指数-1表示所测系统的维数为1；而对于平面，其指数-2即表示系统的维数为2。Df=1.490图3.1(a)南中国海海岸线图3.1(b)Cantor集Df=0.6309102103104101102103104105101loglogN()英国海岸线的分形维数D=1.25图3.1(c)UK海岸线LengthchangesasmeasurementtooldoesWhat’sthelengthofNorwaycoastline?图3.1(d)挪威海岸线What’sthelengthofNorwaycoastline?L()=a1-DD–fractal(Hausdorf)dimensionReferencebook:“Fractals”J.Feder,1988Fractal–isasetwithfractal(Hausdorf)dimensiongreaterthanitstopologicaldimensionBox-countingmethodIfN()1/d

at0同理，对于图3.1所示的海岸线，属于不规则分形集，它满足，因此，D即为系统分维。此间的D可以是整数，也可以是分数。对于规则分形集，如图3.1(b)所示的Cantor集，它是通过每次去掉一个单位区间线段的之间三分之一，然后再去掉余下两段的中间三分之一，如此反复迭代生成的。如果我们对迭代到第k步的Cantor集，选用线段进行覆盖，则可得到覆盖数为。根据定义，我们可得其分维Df为：2．信息维数容量维数只考虑了所需—覆盖的个数，而没有考虑每个球覆盖中所含分形集元素的多少。而信息维说明了每个覆盖访问特定轨迹的相对频率，对于在球覆盖下，同样有个覆盖的信息分维DI，其定义为：其中：式中pi为分形集元素属于第i个覆盖概率。在信息论中，是信息熵的表达式。在等概率的情况下，信息维数DI=Df。事实上，在实际生活中有许多记录曲线，其本身就是时间序列的一种表征形式。如人的心电图、脑电图，以及由实验室得到的各种函数的仿真曲线与工业过程输出变量的实时数据曲线等。这些曲线的特点是：采样时间间隔Δt相对于该系统或该变量来说，都是一个足够小的值，因而使这些数据对于观察者来说，是“连续”的时间序列，具有“可读性”。因此，我们可以用这样的时间序列记录曲线（连续的时间序列，Δt足够小）来作为时间序列样本进行分析。

M-GChaotic Df=1.740

时间序列的分形计算方法Higuchi

第一次计数。小正方形的尺度为1。注意图中的小圆点为原始数据，而阴影方格是为了保持图像的连续性，也要参与计数，这两者之和即为当Blocksize=1的时候计数的结果。

第二次计数，注意小正方形的尺度为2，这时，所需要的正方形的数目已经大大减少了。阴影部分同样是为了维持图像的连续性而加入计数的。同理，这是第三次计数的过程：维数计算：

通过计数，我们得到了一系列的关于正方形尺度L对于所需要的正方形个数N(L)的关系。根据维数的定义。我们将Log(L)作为横坐标，将LogN(L)作为纵坐标，作出函数图像：图像斜率的相反数即为分形维数以下是程序运行截图:以下是使用举例：计算结果如下：Whitenoise Df=1.412

图3.3部分序列曲线及其回归结果3.相关维数现在提出另一个重要的维数概念——相关维数DR（也称关联维数）。关联维数DR常被用于相空间重中，F.Takens在论文“Detectingstrangeattractorsinturbulence”中给出了相空间重构数学方法。设时间序列，若其内部某两点之间的距离为，其关联函数为，则关联维数为：式中，其中，H(s)是Heaviside函数（Parker89），H(s)=1，当S>0；

H(s)=0，当S<0。相关维数的数值计算方法如下：由式可知，DR的值是对的双对数的斜率。只要给定一个，即可估计出的值。由此我们可以通过计算所有内部点的距离，并计算出所有满足的个数，由算式求得。最后我们对由有效个与组成的数据对取双对数，再进行最小二乘线性拟合，即可求出所ln(ε/ε0)lnC(ε)需的DR值。这里，我们在具体编程时可用来表示一系列。对任一时间序列，可得到和，使得为最小度量时间序列的距离，为最大度量距离（如图3.4）。ln(ε/ε0)lnC(ε)关联维数SomeFractals

andFractalDimensionsTheCantorset:wetakealinesegment,andremovethemiddlethird.Foreachremainingpiece,weagainremovethemiddlethird,andcontinueindefinitely.Tocalculatethefractal/Hausdorff/capacity/box-countingdimension,weseehowmanyboxes(circles)ofdiameter1/r^nweneedtocovertheset(inthiscase,wewilluser=3,sinceitfitsnicely).D=Lim(log(Nr)/log(1/r))

=log(2)/log(3)rNr111/321/3^22^21/3^32^31/3^n2^nTheKochsnowflake:Westartwithanequilateraltriangle.Weduplicatethemiddlethirdofeachside,formingasmallerequilateraltriangle.Werepeattheprocess.Tocalculatethefractal/Hausdorff/capacity/box-countingdimension,weagainseehowmanyboxes(circles)ofdiameter(again)1/3^nweneedtocovertheset.D=Lim(log(Nr)/log(1/r))

=log(4)/log(3)rNr131/33*41/3^23*4^21/3^33*4^31/3^n3*4^nTheSierpinskicarpet:Westartwithasquare.Weremovethemiddlesquarewithsideonethird.Foreachoftheremainingsquaresofsideonethird,removethecentralsquare.Werepeattheprocess.D=Lim(log(Nr)/log(1/r))

=log(8)/log(3)rNr111/381/3^28^21/3^38^31/3^n8^nTheSierpinskigasket:wedoasimilarprocesswithanequilateraltriangle,removingacentraltriangle.(Note:wecouldalsodoasimilarthingtakingcubesoutofalargercube--theSierpinskisponge--butit’shardtodraw:-)D=Lim(log(Nr)/log(1/r))

=log(3)/log(2)rNr111/231/2^23^21/2^33^31/2^n3^nWecanalsoremoveothershapes.D=Lim(log(Nr)/log(1/r))

=log(4)/log(4)=1rNr111/441/4^24^21/4^34^31/4^n4^nD=Lim(log(Nr)/log(1/r))

=log(3)/log(3)=1rNr111/331/3^23^21/3^33^31/3^n3^n2.3分形维数对于复杂度的判断分形维数对于复杂度的判断图一图二图一的计算结果：分形维数是：1.008879图二的计算结果分形维数是：1.60504我们可以从图像上很清楚地看出，图二的复杂程度要远胜于图一，这一点，在我们计算出的分形维数上得到了良好的验证视觉直观判断的误差：这是一个很有趣的例子，所用的图像仍然是前面我们接触过的混沌时间序列，是不是觉得这幅图像的复杂程度比前面的两幅图像要更厉害呢？程序计算出的分形维数如上图，分形维数是1.044622，比前面两张图更小，而我们又觉得这张图的复杂程度是更大的。那么，到底是我们人眼的错觉，还是程序算法的问题呢？？回到这张图，请注意图像底部横轴的时间跨度，在短短的横轴上，竟然跨越了1200个时间点，这相当于横轴被剧烈地压缩了。那么，如果我们将横轴放大一定的尺度，结果会是什么样子呢？这张图是上图的横坐标进行相当程度的放大后所得到的图像，也就是上一张图的一个局部放大图。我们可以很清楚地看出，此图的规则程度相当好，所以，它的分形维数比较小也就不奇怪了。我们现在可以肯定，刚才的疑惑，使我们眼睛的错觉，看来分形不但可以用数学方法来表述自然语言的描述，更可以避免人眼直观判断所带来的错觉Dim=1.04622另一个例子：这幅图可以代表很多实际情况，我们清楚地看出，这幅图分为两个部分，以100左右为分界点。它可以看成是某个设备从正常运行到发生故障或者是意外情况的一个时间序列。100以前的点是正常运行的情况，而100以后则是出了意外的情况。我们分段计算这张图的分形维数时间段分形维数0~321.02053933~651.01179868~981.02032999~1311.573678时间段分形维数0~321.02053933~651.01179868~981.02032999~1311.573678我们可以看到，在故障时间段，分形维数有着急剧地增长。因此，只要长期以分形维数为指标来跟踪一个系统，就可以很灵敏地发现很多不正常的运行状态。分形维数与预测精确程度的关系我们已经知道，分形维数可以反映曲线的不规则程度，而对于有随机因素的曲线，不规则程度越大，预测的误差也就越大，关于分形维数与预测精确度，存在如下关系：此图摘录自国外文献资料下面举两个更有实际意义的例子来说明分形在时间序列预测上的重要意义，这两个时间序列皆由C程序生成。例一：关键代码：for(inti=0;i<1000;i++) { out<<i<<""; out<<i+rand()%100-50<<endl; }此代码产生的是一个随时间线性增长，但是又有一个均值为零的随机扰动的时间序列如果需要给这幅图一段描述性的文字，我想大致可以这样说：在短期内局势动荡不安，在长期内长势看好，总体来说，是在曲折中前进。实际生活中，这样的例子很多。社会主义不也是在曲折中前进的吗？DIM=???根据这幅时间序列图像，下列的自然语言描述应该可以认为是合理的：关于预测方面，短期内动荡不安，预测难度较大，但长期内总体走势趋于线性增长，因此作长期预测较为合理。我们要使用维数来验证这些描述运行参数：横向无压缩计算文件中所有数据运行结果：分形维数是1.593908这些数据貌似没有说服力，不能验证刚才的描述？改变运行参数，再来一遍！横向压缩比分形维数11.593908101.340607201.148541301.057820横向压缩比分形维数11.593908101.340607201.148541301.057820我们可以看出，分形维数随着横向压缩比的增加而下降。对坐标进行横向压缩，也就是将横坐标的单位尺度变大，亦即：

Y(t)=X(t*k)k即为横向压缩比X(t)为原始时间序列，Y（t）为压缩后时间序列对横坐标的压缩，相当于细化局部，强化整体，细化短期，突出长期而维数的随之下降，也就很好的说明了时间序列在长期的走势是稳定的，尽管在短期内是比较混乱的。这样就很好的验证了我们的自然语言描述例二：关键代码：intran;intlast=0;for(inti=0;i<1000;) { ran=rand()%20+1; if(ran%2==0) { for(intj=0;j<ran;j++) { out<<i<<""<<last+1<<endl; last++; i++; } } else { for(intj=0;j<ran;j++) { out<<i<<""<<last-1<<endl; last--; i++; } } }此代码所产生的时间序列在短时间内可保持稳定的上升或者下降，但是在长期内却飘忽不定，这个特点在它的图像上可以明显反映出来：长期走势上图的一个局部放大：短期走势维数计算如下：横向压缩比分形维数11.095959101.280172201.408911横向压缩比分形维数11.095959101.280172201.408911由上表可以看出，随着横向压缩比的增加，亦即随着宏观特征的逐步体现亦即局部特征的逐步衰退，分形维数是随之上升的，也就是说图像的不规则性是逐渐上升的。这就和我们前面所描述的：图像在短期内走势稳定，但是在长期内飘忽不定达成了很好的一致。2.4运用分形方法分析股票市场

用波浪理论来分析股市，除了需懂得波浪理论的种种规则以外，最重要的就是提高数浪的准确性。而提高数浪准确性，归根到底，就是如何界定与划分波浪：从哪里到哪里可算一个浪，从哪里到哪里不能算一个浪；哪些是同一级别的浪，哪些不是。这就需要我们对走势进行适当的过滤。只有过滤掉一些次级波动，才能清楚地看出市势轮廊，从而把同一等级的浪数清楚。有三种方法可帮我们过滤。一种是取周、月、甚至季、年收盘价，它们可分别过滤掉日线、周线和月线、季线上的波动，使走势轮廊变得相对简洁；一种是均线，不同长度的均线可过滤掉不同级别的波动；还有一种就是分形，前两种方法笔者过去已作过多次论述，这里介绍分形。分形的基本条件和检验方法所谓分形，就是通过K线组合来界定浪形。一个分形最少由5条K线组成，其中向上的分形代表一个向上的波浪，它的组合情况是：中间一条K线的低点处于最低位置，称之为分形零点；左右各有2条以上K线，它们的低点都高于中间这条K线的低点，至于最高点是否高于中间这条K线，那就不管了。如果无法满足这一条件，这个分形便不能成立。而向下的分形正好相反。中间1条K线的高点是最高的(分形零点)；左右各2条以上的K线，其最高价都比中间这条低，否则也不能算是一个向下的分形。

一段完整的波浪，应同时具有一个向上的分形和一个向下的分形，否则就只能算作次一级子浪。如1996年7、8、9月的894点到752点，在月线上就不能算作一个浪，因为894点的右边只有1条K线的高点高于894点。同样，12月的1258点至8