第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1.简单的逻辑联结词(1)命题中的①

、②

、③

叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q、p∨q、¬p的真假判断教材研读pqp∧qp∨q¬p真真④

真假真假⑤

真假假真假真⑥

假假假⑦

⑧

且或非真假真假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,

用“⑨

”表示;含有全称量词的命题叫做全称命题.(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量

词,用“⑩

”表示;含有存在量词的命题叫做特称命题.3.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x)

∃x0∈M,p(x0)

∀

∃

∃x0∈M,¬p(x0)

∀x∈M,¬p(x)正面叙述等于大于小于是都是p或qp且q至多有一个至少有一个任意一个所有的否定形式不等于不大于不小于不是不都是非p且非q非p或非q至少有两个一个也没有某个某些4.常见的否定形式如下

1.下列四个命题中的真命题为

(

)A.∃x0∈Z,1<4x0<3

B.∃x0∈Z,5x0+1=0C.∀x∈R,x2-1=0

D.∀x∈R,x2+x+2>0

答案

D选项A中,

<x0<

且x0∈Z,不成立;选项B中,x0=-

,与x0∈Z矛盾;选项C中,x=±1,与∀x∈R矛盾;选项D中,由Δ=1-8=-7<0可知D正确.2.(2015北京朝阳一模,2)已知命题p:∀x∈R,sinx≤1,则

(

)A.¬p:∀x∈R,sinx≥1

B.¬p:∀x∈R,sinx>1C.¬p:∃x0∈R,sinx0≥1

D.¬p:∃x0∈R,sinx0>1

答案

D命题p:∀x∈R,sinx≤1的否定是把量词“∀”改为“∃”,然后否定结论,即把“sinx≤1”改为“sinx>1”.3.(2015北京丰台二模,2)已知a>0且a≠1,命题“∃x>1,logax>0”的否定是

(

)A.∃x≤1,logax>0

B.∃x>1,logax≤0C.∀x≤1,logax>0

D.∀x>1,logax≤0

答案

D先把量词“∃”改为“∀”,再否定结论.故选D.4.如果命题“p且q”是假命题,“非p”是真命题,那么

(

)A.命题p一定是真命题B.命题q一定是真命题C.命题q一定是假命题D.命题q可以是真命题也可以是假命题

答案

D“非p”是真命题,那么p一定是假命题,故A错;“p且q”是假命题,且p是假命题,所以q可能是真命题也可能是假命题,故选D.5.命题p:若sinx>siny,则x>y;命题q:x2+y2≥2xy,下列命题为假命题的是

(

)A.p或q

B.p且q

C.q

D.¬p

答案

B取x=

,y=

,可知命题p不正确;由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q正确,故¬p为真命题,p或q是真命题,p且q是假命题,故选B.

全称命题与特称命题的真假判断典例1

(1)下列命题中的假命题是

(

)A.∀x∈R,2x-1>0

B.∀x∈N*,(x-1)2>0C.∃x∈R,lgx<1

D.∃x∈R,tanx=2(2)下列命题中,真命题是

(

)A.∀x∈R,x2-x-1>0B.∀α,β∈R,sin(α+β)<sinα+sinβC.∃x∈R,x2-x+1=0D.∃α,β∈R,sin(α+β)=cosα+cosβ

答案

(1)B

(2)D考点突破

解析

(1)A正确;对于B,当x=1时,(x-1)2=0,错误;对于C,当x∈(0,1)时,lgx<0<1,正确;对于D,∃x∈R,tanx=2,正确.(2)因为x2-x-1=

-

,所以A是假命题.当α=β=0时,有sin(α+β)=sinα+sinβ,所以B是假命题.x2-x+1=

+

≥

,所以C是假命题.当α=β=

时,有sin(α+β)=cosα+cosβ,所以D是真命题,故选D.全称命题、特称命题的真假判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p

(x)成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=x0,使得

p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x=

x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.1-1下列命题:①∀x∈R,x2+2>0;②∀x∈N,x4≥1;③∃x∈Z,x3<1;④∃x∈Q,x2=3;⑤∀x∈R,x2-3x+2=0;⑥∃x∈R,x2+1=0.其中真命题的序号为

.

答案①③

解析①由于∀x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2,即x2+2>0,所以命题“∀x∈R,x2+2>0”是真命题.②由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立,所以命题“∀x∈N,x4≥1”是假命题.③由于-1∈Z,当x=-1时,能使x3<1,所以命题“∃x∈Z,x3<1”是真命题.④由于使x2=3成立的数只有±

,而它们都不是有理数,因此,没有任何一个有理数的平方能等于3,所以命题“∃x∈Q,x2=3”是假命题.⑤由于只有当x=2或x=1时,满足x2-3x+2=0,所以命题“∀x∈R,x2-3x+2=0”

是假命题.⑥由于不存在一个实数x使x2+1=0成立,所以命题“∃x∈R,x2+1=0”是假命

题.

含有一个量词的命题的否定典例2

(1)(2016北京东城期中,2)命题“∀x∈R,

>0”的否定是

(

)A.∃x∈R,

<0

B.∀x∈R,

≤0C.∀x∈R,

<0

D.∃x∈R,

≤0(2)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(

)A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>nB.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>nC.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0

答案

(1)D

(2)D

解析

(1)先改变量词,再否定结论,故选D.(2)“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”,全称命题的否定

为特称命题,故选D.一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个

命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定结论的同时,改变量词的属性,

即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.2-1

(2015北京海淀二模,2)已知命题p:∀x>0,x+

≥2,则¬p为

(

)A.∀x>0,x+

<2

B.∀x≤0,x+

<2C.∃x≤0,x+

<2

D.∃x>0,x+

<2

答案

D

先把量词“∀”改为“∃”,再否定结论.故选D.2-2命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为

(

)A.对任意x∈R,都有x2<0

B.不存在x∈R,使得x2<0C.存在x0∈R,使得

≥0

D.存在x0∈R,使得

<0

答案

D原命题的否定为存在x0∈R,使得

<0.

含逻辑联结词的命题的真假判断典例3

(1)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若

a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是

(

)A.p∨q

B.p∧qC.(¬p)∧(¬q)

D.p∨(¬q)(2)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③

p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是

(

)A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

答案

(1)A

(2)C

解析

(1)由题意知命题p为假命题,命题q为真命题,所以p∨q为真命题.故选A.(2)由不等式性质知:命题p为真命题,命题q为假命题,从而¬p为假命题,¬q为

真命题.故p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧(¬q)为真命题,(¬p)∨q为假命

题,故选C.(1)含逻辑联结词的命题真假判断的步骤:①确定复合命题的结构形式;②判断其中简单命题的真假;③根据真值表判断复合命题的真假.(2)含逻辑联结词的命题真假判断以真值表为标准.可简记为:p∧q,同真则

为真,其余为假;p∨q,有真则为真,其余为假;¬p与p的真假相反.3-1

(2015北京西城二模,3)设命题p:函数f(x)=ex-1在R上为增函数;命题q:函

数f(x)=cos2x为奇函数,则下列命题中的真命题是

(

)A.p∧q

B.(¬p)∨qC.(¬p)∧(¬q)

D.p∧(¬q)

答案

D命题p:函数f(x)=ex-1在R上为增函数,故p为真命题.命题q:函数f(x)=cos2x为偶函数,故q为假命题,所以¬q为真命题,从而p∧(¬q)为真命题,

故选D.

利用复合命题的真假求参数范围典例4已知命题p:关于x的不等式ax>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},命题q:

函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实数a

的取值范围为

.

答案

∪[1,+∞)

解析由关于x的不等式ax>1(a>0,a≠1)的解集是{