第二章 物体承受的不同载荷形式及其应力分析(2014上课用)

第二章物体承受的不同载荷形式

及其应力分析主讲教师：钟磊广西民族大学化学化工学院杆件变形的基本形式拉伸和压缩

由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力所引起，表现为杆件长度的伸长或缩短。如托架的拉杆和压杆受力后的变形。剪切由大小相等、方向相反、相互平行且非常靠近的一对力所引起，表现为受剪杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动。如连接件中的螺栓和销钉受力后的变形。扭转

由大小相等、转向相反、作用面都垂直于杆轴的一对力偶所引起，表现为杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。如机器中的传动轴受力后的变形。弯曲由垂直于杆件轴线的横向力，或由作用于包含杆轴的纵向平面内的一对大小相等、方向相反的力偶所引起的，表现为杆件轴线由直线变为受力平面内的曲线。如单梁吊车的横梁受力后的变形。拉压时的内力计算

如图所示受轴向拉力P的杆件上作任一横截面m-m，取左段部分，并以内力的合力代替右段对左段的作用力。由平衡条件得

。N－P＝0由于P>0（拉力），则

N=P>0当外力沿着杆件的轴线作用时，杆件截面上只有一个与轴线重合的内力分量，该内力（分量）称为轴力，一般用N表示。

知P－N＝0得N=P>0取右端该如何分析？材料力学中轴力的符号是由杆件的变形决定，而不是由所设坐标或内力方向决定的。习惯上将轴力N的正负号规定为：拉伸时，轴力N为正；压缩时，轴力N为负。

轴向拉压时的应力只根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度，必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。根据平面假设得知,横截面ab、cd变形后相应平移到a’b’、c’d’，横截面上各点沿轴向的正应变相同，由此可推知横截面上各点正应力也相同，即等于常量。拉应力为正，压应力为负。

剪切应力计算

假定受剪面上各点处与剪力相平行的剪应力相等，于是受剪面上的剪应力为

式中：Q-剪力；A-剪切面积

挤压与挤压面

联接和被联接件接触面相互压紧的现象称“挤压”。剪切与挤压往往同时发生，计算时要学会区分挤压面与剪切面。挤压面的分析如下图所示。挤压面积扭转内力的计算传递轴外力偶矩的计算：截面法求扭矩：其中：P—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（rpm）mmmT

扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。x例题：

已知一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDm2

m3

m1

m4解：①计算外力偶矩nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）③绘制扭矩图，BC段为危险截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37––扭矩应力的分析与计算剪切胡克定律若在弹性范围内加载，即剪应力小于某一极限值时，对于大多数各向同性材料，剪应力与剪应变之间存在线性关系

此即为剪切胡克定律（Hookelawinshearing），式中G为比例常数，称为剪切弹性模量或切变模量(shearingmodulus)。扭转时剪应力的分布特点横截面上某点的剪应力的方向与扭矩方向相同，并垂直于该点与圆心的连线；剪应力的大小与其和圆心的距离成正比。Mnττ

如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一样适用，但是，空心部分没有应力存在。τmaxτmaxMtMt说明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截面中心之间的距离成正比。结合剪切胡克定律可得以上结论。例题：由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。(A)(B)(C)(D)解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。

根据以上分析，正确答案是（C）最大切应力计算Wp扭转截面系数发生在横截面边缘上的各点对于等截面轴，扭转轴内最大剪应力发生在扭矩最大的截面的圆周上

截面的极惯性矩与扭转截面系数=d/D

对于直径为d的实心圆截面对于内、外直径分别为d和D圆环截面已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。例题

求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。弯曲内力的分析与计算梁的3种简化类型简支梁一端固定铰支座一端活动铰支座一端固定一端自由外伸梁一端固定铰支座活动铰支座位于梁中某个位置悬臂梁梁的剪力和弯矩的求解例题：悬臂梁在B、C二处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl作用。梁的全长为2l。

试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。

FPllABCMO=2FPlBA解：1．确定控制面和分段

本例将通过考察截开截面的右边部分平衡建立剪力方程和弯矩方程，因此可以不必确定左端的约束力。

2．建立Oxy坐标系以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系，

由于梁在固定端A处作用有约束力、自由端B处作用有集中力、中点C处作用有集中力偶，所以，截面A、B、C均为控制面。因此，需要分为AC和CB两段建立剪力和弯矩方程。

FPllABMO=2FPlCOyxBA解：3．建立剪力方程和弯矩方程FPllABMO=2FPlOyxCx1x2在AC和CB两段分别以坐标为x1和x2的横截面将截开，并在截开的横截面上，假设剪力FQ(x1)、FQ(x2)和弯矩M(x1)、M(x2)都是正方向，然后考察截开的右边部分梁的平衡，由平衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。

解：3．建立剪力方程和弯矩方程FQ(x)M(x)对于AC段梁的剪力和弯矩方程，在x1处截开后，考察右边部分的平衡。FPllABMO=2FPlOyxCFPMO=2FPll2l－x1CB

根据平衡方程

x1考察右边部分的平衡解：3．建立剪力方程和弯矩方程得到AC段的剪力方程与弯矩方程：

FQ(x1)M(x1)FPMO=2FPll2l－x1CBFQ(x2)M(x2)解：3．建立剪力方程和弯矩方程得到CB段的剪力方程与弯矩方程：

FPllABMO=2FPlOyxCFP2l－x2B对于CB段梁的剪力和弯矩方程，在x2处截开后，考察右边部分的平衡。根据平衡方程x2弯曲应力的分析与计算中性层与中性轴

中性层对整个梁而言中性轴对梁的某个截面而言中性轴两侧(上下)分别承受拉压,而中性轴上各点不受力弯曲正应力的分布规律Galileo(1564-1642)Mariotte(1620-1684)Coulomb(1736-1806)Navier(1785-1836)AAM

与中性轴距离相等的点，正应力相等；

正应力大小与其到中性轴距离成正比；

弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；

弯矩为负时，正应力上拉下压；M

中性轴上，正应力等于零最大弯曲正应力公式

工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是横截面上到中性轴最远处点上的正应力。这些点的y坐标值最大，即y=ymax。将y=ymax代入正应力公式得到称为横截面对z轴的弯曲截面系数，单位是m3。

任一点弯曲正应力公式：yzbhzyd弯曲截面模量

zydD例题

矩形截面简支梁承受均布载荷作用。已知：矩形的宽度b=20mm，高度h＝30mm；均布载荷集度q＝10kN/m；梁的长度l＝450mm。求：梁最大弯矩截面上1、2两点处的正应力。

解：1.确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值

根据静力学平衡方程

MA＝0和MB＝0，可以求得支座A和B处的约束力分别为

FRAFRB

解：1.确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值FRAFRB梁的中点处横截面上弯矩最大，数值为

解：2.计算惯性矩FRAFRB

根据矩形截面惯性矩的公式,本例题中，矩形截面对z轴的惯性矩

解：3．求弯矩最大截面上1、2两点的正应力FRAFRB

均布载荷作用在纵向对称面内，因此横截面的水平对称轴(z)就是中性轴。根据弯矩最大截面上弯矩的方向，可以判断：1点受拉应力，2点受压应力。1、2两点到中性轴的距离分别为

解：3．求弯矩最大截面上1、2两点的正应力

FRAFRB于是弯矩最大截面上，1、2两点的正应力分别为

压拉应力状态与强度准则应力状态中的主应力与最大剪应力平面应力状态的三个主应力一点的最大剪应力四个复杂应力状态下的强度设计准则最大拉应力准则

无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应力达到了一个共同