广义函数与基本解

广义函数与基本解第一页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解

物理学家原本定义的函数是这样的“函数”：

。

第二页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解

物理学家在20世纪30年代就广泛使用函数讨论问题，并获得相当的成功。直到20世纪40年代末，Schwarz等人建立了广义函数基础理论，才为这类奇异“函数”建立了严格的数学理论。仅从以上三个方面看，扩充函数概念是很有必要的。下面我们给出广义函数的定义。第三页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解8.1基本空间8.1.1引言第四页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解记号第五页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解1.2基本空间和

首先考虑的基本空间是即具有紧支集的无限次可微函数组成的空间。所谓一个函数f(x)的支集，是指集合的闭包，记作在中定义收敛概念如下：第六页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第七页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第八页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第九页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解附注易知中的收敛性比中的收敛性强，反之未必对。例如可取为例8.1.1中的函数，并定义

易证。第十页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解1.3

基本空间若定义在

上的函数

满足条件则称它是速减函数。易证，条件(ii)与下述任一个条件等价：第十一页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第十二页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第十三页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解基本空间上的Fourier变换第十四页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解Fourier变换的性质第十五页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解一般地，对任一多重指标有第十六页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第十七页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第十八页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解

由此，可以导出分数指数的Sobolev空间。Parselval等式的重要性可见一斑。第十九页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解8.2广义函数空间8.2.1概念与例子

依次把基本空间和上的线形连续泛函叫作广义函数,广义函数和广义函数，它们各自的全体分别组成和广义函数空间。有时我们分别简称为广函和广函空间。广义函数又叫作分布，广义函数空间又叫分布空间。第二十页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第二十一页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第二十二页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第二十三页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解8.2.2广义函数的收敛性第二十四页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第二十五页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第二十六页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解8.2.3自变量的变换第二十七页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第二十八页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第二十九页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解8.2.4广义函数的微商与乘子第三十页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解广义函数微商的性质：第三十一页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第三十二页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第三十三页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第三十四页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第三十五页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解8.2.5广义函数的支集

一个广义函数逐点的值是没有意义的，但是我们有第三十六页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第三十七页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第三十八页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第三十九页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解8.2.6广义函数的卷积

为了给出广义函数卷积的合理定义，先从常义函数第四十页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解

于是，若使广函卷积是常以函数卷积的合理推广，应把两个广函f与g的卷积定义为第四十一页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第四十二页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解广函卷积的可交换性第四十三页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第四十四页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第四十五页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解广函卷积的性质：第四十六页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解

第四十七页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解

广义函数Fourier变换的性质：第四十八页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第四十九页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第五十页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解8.3基本解8.3.1基本解的概念

P(D)的基本解也叫做方程P(D)U=0的基本解。基本解不唯一，因为一个基本解加上方程P(D)U=0的任一个解也满足方程(8.3.1)，故通常只要求得一个具有奇性的基本解即可（即把满足齐次方程的线性叠加部分去掉）。第五十一页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解3第五十二页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第五十三页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第五十四页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解

现在看Cauchy问题第五十五页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第五十六页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解第五十七页，共六十页，2022年，8月28日第8章广义函数与基本解的基本解。第五十八页，共六十页，2022年，8月